Continuidad. Discontinuidades (2ºBach)

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Revisión de 17:20 26 jun 2017

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Tabla de contenidos

1 Idea intuitiva de continuidad
2 Discontinuidades
3 Continuidad de una función en un punto
4 Tipos de discontinuidades

Idea intuitiva de continuidad

En este apartado pretendemos hacer una acercamiento al concepto de continuidad de una forma intuitiva, sin profundizar y sin usar el concepto de límite, el cual estudiaremos más adelante.

Una función entenderemos que es continua si podemos dibujar su gráfica de un solo trazo. Si en algún punto "se rompe" diremos que presenta una discontinuidad en dicho punto.

La continuidad en términos geométricos (7'15") Sinopsis:

Introducción al concepto de continuidad de forma intuitiva. Ejemplo gráfico de discontinuidades.

Propiedad

Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales son continuas en todos los puntos de su dominio de definición.

Ejemplos:

a) $f(x)=x^2-3x+1 \;\!$ es continua en todos los puntos de su dominio: $D_f=\mathbb{R}$ .

b) $f(x)=\cfrac{x+2}{x+5} \;\!$ es continua en su dominio: $D_f=\mathbb{R}- \lbrace 5 \rbrace$ .

Criterios de continuidad (5'01") Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Ejemplos: Criterios de continuidad

1. Ejemplos (13'02") Sinopsis:

40 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

2. Ejemplos (13'32") Sinopsis:

24 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

3. Ejemplos (10'33") Sinopsis:

17 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

4. Ejemplos (8'45") Sinopsis:

4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

5. Ejemplos (15'09") Sinopsis:

4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

Discontinuidades

Basicamente, nos podemos encontrar los siguientes tipos de discontinuidades en un punto $x=a\;$ :

$Discontinuidad \begin{cases} \begin{matrix} No \ evitable \\ (o \ esencial) \end{matrix} \begin{cases} De \ primera \ especie \begin{cases} De \ salto \ finito \\ De \ salto \ infinito \\ Asint\acute{o}tica \end{cases} \\ De \ segunda \ especie \end{cases} \\ \ \ Evitable \end{cases}$

Tipos de discontinuidades Descripción:

En esta escena podrás ver ejemplos de los distintos tipos de discontinuidades.

Discontinuidades evitables

Discontinuidad evitable: La función no está definida en el punto $x=a\;$ o bien el punto está desplazado.

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)

Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

Discontinuidades no evitables de primera especie

Discontinuidad de salto finito: La función da un salto al llegar a $x=a\;$ . Se define el salto como el valor absoluto de la diferencia, $\left| d-c \right|\;$ (ver gráfica adjunta).

Discontinuidad de salto infinito: La curva tiene una "rama infinita" en un solo lado del punto $x=a\;$ .

Discontinuidad asintótica. La curva tiene "ramas infinitas" en el punto $x=a\;$ . Decimos que la curva presenta una asíntota vertical en el punto $x=a\;$ .

Salto finito (Salto= $\left| d-c \right|\;$ )

Salto infinito

Asintótica

Discontinuidad no evitable de segunda especie

Discontinuidad de segunda especie: La función, al acercarse al punto x=a lo hace, por ejemplo, de forma "oscilante".

Segunda especie

Cuando veamos el concepto de límite formalizaremos estas definiciones que aquí hemos visto de forma intuitiva.

Ejercicio resuelto: Tipos de discontinuidades

Indica qué tipo de discontinuidad presentan las siguientes funciones y en qué punto:

a) $\ y=\cfrac{1}{x}$ b) $y=\cfrac{1}{(x-2)^2}$ c) $y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}$

d) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$ e) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 2 \\ 3 & \mbox{si }x=2 \end{cases}$

Solución:

a) En x=0 tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica.

b) En x=2 tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica.

c) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

d) En x=2 tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto.

e) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Continuidad de una función en un punto

Una función $f(x)\;$ es continua en un punto $a\;$ , si se cumple que:

$\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:

La función $f(x)\;$ tiene límite en $x=a\;$ : Existe $\lim_{x \to a} f(x)=L$
La función está definida en $x=a\;$ : Existe $f(a)\;$
Los dos valores anteriores coinciden: $\lim_{x \to a} f(x)=f(a)$

Continuidad de una función en un punto

Tutorial 1 (22'31") Sinopsis:

En este vídeo introduciremos el concepto de continuidad de forma gráfica, calculando los límites laterales a partir de la información de la curva.

Tutorial 2 (31'04") Sinopsis:

En este vídeo definiremos cuando una función es continua en un punto usando el concepto de límite y veremos algunos ejemplos en los que usaremos tablas de valores para calcular los límites laterales.

Tutorial 3 (13'37") Sinopsis:

La función "f" se dice continua por la izquierda (derecha) en el punto "a" si el límite de "f" en "a" por la izquierda (derecha) es finito y coincide con f(a). Se dice que "f" es continua en "a" si es continua por la izquierda y por la derecha en "a".

Tutorial 4 (10'57") Sinopsis:

Continuidad de una función. Ejemplos gráficos.

Continuidad de una función en un intervalo (4'19") Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Tipos de discontinuidades

Tipos de discontinuidades

Tutorial 1 (9'21") Sinopsis:

Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades

Tutorial 2 (16'07") Sinopsis:

Ejemplos de los distintos tipos de discontinuidad.

Tutorial 3 (5'33") Sinopsis:

Ejemplos gráficos de los distintos tipos de discontinuidad.

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad evitable en un punto $x=a\;$ si existe $\lim_{x \to a} f(x)=L \in \mathbb{R}$ pero éste no coincide con $f(a)\;$ , bien porque $f(x)\;$ no esté definida en $x=a\;$ o bien porque simplemente sean distintos.

Discontinuidad evitable

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}$ , pero $\not\exist f(a)$

Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

$\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}$ , pero $c \ne f(a)=d$

Ejemplo: Discontinuidad evitable

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad evitable:

a) $y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}$ b) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 1 \\ 3 & \mbox{si }x=1 \end{cases}$

Solución:

a) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

b) En x=2 tiene una discontinuidad evitable.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar las soluciones:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Discontinuidad evitable

Tutorial (10'09") Sinopsis:

La función "f" presenta "discontinuidad evitable" en el punto "a" si tiene límite finito en "a" pero no coincide con f(a). El términos geométricos significa que la gráfica de "f" tiene un "agujerito" en "a". Se "evita" la discontinuidad "rellenando" el agujerito; y para ello basta redefinir "f" de modo que f(a) coincida con el límite de "f" en "a".

1. Ejemplos (6') Sinopsis:

Ejemplos

2. Ejemplos (7'07") Sinopsis:

Ejercicio de examen para Ministro

Discontinuidad esencial de primera especie

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito en un punto $x=a\;$ si existen los límites laterales en dicho punto y son finitos, pero estos no coinciden:

$\lim_{x \to a^+} f(x) \ne \lim_{x \to a^-} f(x)$

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:

$salto=|\lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)|$

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con uno de los dos límites laterales.

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; \not\exist f(a)$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=c$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=d$

Salto finito (Salto=d-c)

$\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=e$

Ejemplo: Discontinuidad de salto finito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto finito y averigua el valor del salto:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$

Solución:

En x=2 tiene una discontinuidad de salto finito. El salto es igual a $| 2 - 1 | = 1$ .

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no, y puede coincidir o no con el límite lateral finito.

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

$\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Ejemplo: Discontinuidad de salto infinito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto ifinito:

$y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 0 \\ \cfrac{1}{x} & \mbox{si }x>0 \end{cases}$

Solución:

En x=0 tiene una discontinuidad de salto infinito.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no.

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

$\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty$

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Ejemplo: Discontinuidad asintótica

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad asintótica:

a) $y = \cfrac{2}{x+2}$ b) $y = \cfrac{1}{x^2}$

Solución:

a) En x=-2 tiene una discontinuidad asintótica.

b) En x=0 tiene una discontinuidad asintótica.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Discontinuidad de primera especie

Tutorial (4'57") Sinopsis:

La función "f" presenta "discontinuidad de primera especie" en el punto "a" si los límites laterales de "f" en "a" son distintos. El términos geométricos significa que la gráfica de "f" da un "salto" en "a".

1. Ejemplos (12'05") Sinopsis:

3 ejercicios sobre discontinuidades de primera especie

2. Ejemplos (16'38") Sinopsis:

3 ejercicios sobre discontinuidades de primera especie

Discontinuidad esencial de segunda especie

Una función $f(x)\;$ tiene una discontinuidad de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales.

Nota: $f(a)\;$ puede estar definida o no.

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \not \exist \lim_{x \to a^-} f(x)$

Es oscilante por ambos lados

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c$

Es oscilante por la derecha

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

$\not \exist \lim_{x \to a^-} f(x) \, ; \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

Es oscilante por la izquierda

"f(a)" puede estar definida o no

Ejemplo: Discontinuidad de segunda especie

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de segunda especie:

$y = sen \, \frac{1}{x}$

Solución:

En x=0 tiene una discontinuidad de segunda especie.

Puedes hacer uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Advertencia

Algunos autores incluyen dentro de las discontinuidades de segunda especie los siguientes casos:

No hay función a la derecha de a

No hay función a la izquierda de a

No hay función ni a la derecha ni a la izquierda de a

No obstante, en estos casos, nosotros no diremos que la función sea discontinua en "a". Para explicar esto con rigor es necesario recurrir a la definición formal de continuidad que se verá en cursos posteriores.

Como ejemplo de esto que estamos diciendo tienes el siguiente video:

Discontinuidad de segunda especie (11'06") Sinopsis:

La función "f" presenta "discontinuidad de segunda especie" en el punto "c" si no existe alguno de los límites laterales de "f" en "c".

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Continuidad._Discontinuidades_%282%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Funciones

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Continuidad. Discontinuidades (2ºBach)

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Idea intuitiva de continuidad

Discontinuidades

Discontinuidades evitables

Discontinuidades no evitables de primera especie

Discontinuidad no evitable de segunda especie

Continuidad de una función en un punto

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Discontinuidad evitable

Discontinuidad esencial de primera especie

Discontinuidad esencial de segunda especie

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