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Revisión de 10:52 4 jul 2017
(Pág. 184)
Ángulos
- Llamamos ángulo a cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen.
- Las semirrectas se llaman lados y el origen común de ambas, vértice.
- Llamaremos amplitud del ángulo al tamaño de cada una de las regiones.
En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.
Actividad en la que deberás construir un ángulo usando las herramientas de dibujo que se te proporcionan.
Ángulos: definición, clasificación y medida.
Ángulos: definición, clasificación y medida.
Concepto de ángulo. Elementos. Amplitud. Región angular
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Tipos de ángulos
Clasificación de los ángulos según su amplitud
Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:
- Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
- Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
- Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
- Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
- Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
- Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
- Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
- Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.
En esta escena podrás ver una animación con los distintos tipos de ángulos según su abertura.
Clasificación de los ángulos según su amplitud [Mostrar]
En este video vamos a ver cómo se clasifican los ángulos según su amplitud: rectos agudos, obtusos, llanos, completos, nulos, convexos y cóncavos.
En este video vamos a clasificar los ángulos según su amplitud de manera dinámica en: nulo, obtuso, llano, cóncavo, convexo, recto y agudo.
En este video vamos a ver la clasificación de los ángulos de acuerdo a sus medidas: ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo llano, ángulo completo, ángulo entrante o cóncavo, ángulo negativo y ángulo nulo.
Actividad en la que comprobarás tus conocimientos sobre los tipos de ángulos.
Relaciones entre ángulos
Con este video vamos a estudiar la clasificación de los ángulos de acuerdo a su relación: ángulos consecutivos, ángulos complementarios, ángulos suplementarios, ángulos conjugados, ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.
Plantilla:Angulos iguales y consecutivos
Plantilla:Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice
Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal
Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:
- Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.
- Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
- Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.
- Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
- Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
- Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.
Propiedades
- Ángulos alternos internos son iguales.
- Ángulos alternos externos son iguales.
- Ángulos correspondientes son iguales.
- Ángulos opuestos por el vértice son iguales.
- Ángulos conjugados internos son suplementarios.
- Ángulos conjugados externos son suplementarios.
- Ángulos adyacentes son suplementarios.
Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal [Mostrar]
En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas mediante otra recta transversal. También podrás ver cuando estos ángulos coinciden o son suplementarios.
|  Alternos internos: 4=6; 3=5 Alternos externos: 1=7; 2=8 Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7 Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8 Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4 Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8 Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5 |
Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal
Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:
- Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.
- Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
- Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.
- Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
- Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
- Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.
Propiedades
- Ángulos alternos internos son iguales.
- Ángulos alternos externos son iguales.
- Ángulos correspondientes son iguales.
- Ángulos opuestos por el vértice son iguales.
- Ángulos conjugados internos son suplementarios.
- Ángulos conjugados externos son suplementarios.
- Ángulos adyacentes son suplementarios.
Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal [Mostrar]
En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas mediante otra recta transversal. También podrás ver cuando estos ángulos coinciden o son suplementarios.
| Alternos internos: 4=6; 3=5 Alternos externos: 1=7; 2=8 Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7 Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8 Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4 Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8 Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5 |
Ángulos en los polígonos
Ángulos interiores y exteriores
- Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
- Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.
En el dibujo de la derecha, el ángulo  es interno y los ángulos  y  son sus correspondientes ángulos externos.
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Polígonos cóncavos y convexos
- Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
- Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
Ángulos en un triángulo
Propiedad
Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).
También puedes verlo en la siguiente escena de Geogebra.
En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.
Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.
Ángulos en un cuadrilátero
Propiedad
Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.
En la siguiente escena de Geogebra.
En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.
Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.
Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.
Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.
Ángulos en un polígono de n lados
- Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
- Ejemplos de aplicación.
- Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.
Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.
Suma de los ángulos interiores de un polígono.
- Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
- Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.
Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.
¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.
Ángulo exterior de un polígono regular
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
| Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.
En la figura está representado el ángulo  y su arco correspondiente AB.
La medida angular del arco AB es la de su ángulo central .
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En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo central y el arco de circunferencia que determina.
Ángulo inscrito
| Se llama ángulo inscrito en una circunferencia al que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.
En la figura está representado el ángulo inscrito  .
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Propiedades
Propiedades
- Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
- La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Las dos primeras propiedades se pueden comprobar (no es una demostración) en la siguiente escena:
En esta escena podrás comprobar la relación que hay entre ángulos centrales y ángulos inscritos en una circunferencia.
La tercera propiedad la puedes comprobar en esta otra escena:
En esta escena podrás comprobar qué propiedad tienen todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia.
En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo inscrito y su relación con el ángulo central correspondiente.
En esta actividad podrás ver cómo un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Otros ángulos
Ángulos en una circunferencia: Interior, central, inscrito, semiinscrito, interior y circunscrito.
En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que puede haber en una circunferencia: central, inscrito, semiinscrito, circunscrito, interior, exterior.
En esta escena podrás practicar el cálculo del valor de distintos tipos de ángulos en una circunferencia.
Ejercicios propuestos
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Ejercicios propuestos: Relaciones angulares
(Pág. 198)
 1, 4
 2, 3, 5
|
, 
y 
. Determina el valor de dichos ángulos.
, 
, 
y 
. Determina el valor de dichos ángulos.
lados es igual a 
.
.
.
