Ángulos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

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1 Ángulos
2 Tipos de ángulos
- 2.1 Clasificación de los ángulos según su amplitud
3 Relaciones entre ángulos
- 3.1 Ángulos de lados paralelos o perpendiculares
- 3.2 Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal
4 Ángulos en los polígonos
5 Ángulos en la circunferencia
6 Actividades y videotutoriales
7 Ejercicios propuestos

(Pág. 184)

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Ángulos

Llamamos ángulo a cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen.
Las semirrectas se llaman lados y el origen común de ambas, vértice.
Llamaremos amplitud del ángulo al tamaño de cada una de las regiones.

En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.

Definición de ángulo Descripción: [Mostrar]

Ángulos [Mostrar]

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Tipos de ángulos

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Clasificación de los ángulos según su amplitud

Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:

Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.

Clasificación de los ángulos según su amplitud Descripción: [Mostrar]

Clasificación de los ángulos según su amplitud [Mostrar]

Tipos de ángulos según su amplitud Descripción: [Mostrar]

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Relaciones entre ángulos

Dos ángulos son iguales si tienen la misma amplitud.
Ángulos complementarios son aquellos cuya suma es un ángulo recto.
Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es un ángulo llano.
Ángulos conjugados son aquellos cuya suma es un ángulo completo.
Dos ángulos son consecutivos si tienen el vértice y un lado en común.
Dos ángulos son adyacentes si tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. Por tanto son consecutivos y suplementarios simultáneamente.
Ángulos opuestos por el vértice son aquellos que cumplen que los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos consecutivos

a y c son opuestos por el vértice,

al igual que b y d

Relaciones entre ángulos [Mostrar]

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Ángulos de lados paralelos o perpendiculares

Proposición

Dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios.
Dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.

Ángulos de lados paralelos Descripción: [Mostrar]

Ángulos de lados perpendiculares Descripción: [Mostrar]

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Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:

Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.
Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.

Propiedades

Ángulos alternos internos son iguales.
Ángulos alternos externos son iguales.
Ángulos correspondientes son iguales.
Ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Ángulos conjugados internos son suplementarios.
Ángulos conjugados externos son suplementarios.
Ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal [Mostrar]

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal Descripción: [Mostrar]

Alternos internos: 4=6; 3=5

Alternos externos: 1=7; 2=8

Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7

Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8

Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4

Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8

Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal Descripción: [Mostrar]

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Ángulos en los polígonos

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Ángulos interiores y exteriores

Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo $\alpha \,$ es interno y los ángulos $\beta \,$ y $\beta' \,$ son sus correspondientes ángulos externos.

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Polígonos cóncavos y convexos

Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

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Ángulos en un triángulo

Propiedad

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Demostración:[Mostrar]

Suma de los ángulos interiores de un triángulo Descripción: [Mostrar]

Tutorial (2'37") Sinopsis: [Mostrar]

Problema (5'54") Sinopsis: [Mostrar]

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Ángulos en un cuadrilátero

Propiedad

Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Demostración:[Mostrar]

Suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero Descripción: [Mostrar]

Ángulos en el cuadrilátero [Mostrar]

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Ángulos en un polígono de n lados

Propiedades

La suma de los ángulos interiores de un polígono de $n\,$ lados es igual a $(n-2) \cdot 180^\circ$ .
Si el polígono de lados es regular:
- Cada ángulo interior mide $\cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ .
- Cada ángulo exterior mide $\cfrac{360^\circ}{n}$ .

Demostración:[Mostrar]

Ángulos interiores de un polígono [Mostrar]

Ángulos exteriores de un polígono regular (1´28") Sinopsis: [Mostrar]

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Ángulos en la circunferencia

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Ángulo central

Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

En la figura está representado el ángulo $\widehat{AOB}$ y su arco correspondiente AB.

La medida angular del arco AB es la de su ángulo central $\widehat{AOB}$ .

Ángulo central Descripción: [Mostrar]

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Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en una circunferencia al que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.

En la figura está representado el ángulo inscrito $\widehat{BAC}$ .

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Propiedades

Propiedades

Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Demostración:[Mostrar]