Progresiones geométricas (3ºESO Académicas)

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==Término general de una progresión geométrica== ==Término general de una progresión geométrica==
{{Término general de una progresión geométrica}} {{Término general de una progresión geométrica}}
-{{p}} 
-{{Ejemplo|titulo=Ejercicio resuelto: ''Progresión geométrica'' 
-|enunciado={{p}} 
-:En una progresión geométrica de términos positivos, <math>a_1=3\;</math> y <math>a_3 = 6\;</math>. 
-:Halla <math>a_n\;</math>, <math>a_{20}\;</math> y <math>a_{21}\;</math>. 
-|sol= 
-:<math>a_3=a_1 \cdot r^2 \rightarrow 6 = 3 \cdot r^2 \rightarrow r^2=\cfrac{6}{3}=2 \rightarrow r=\pm \sqrt{2}</math> 
- 
-:Como la progresión es de términos positivos, sólo nos vale el valor posivo: {{sube|porcentaje=20%|contenido=<math>r=\sqrt{2}</math>}}. 
-{{p}} 
-:<math>a_n= a_1 \cdot r^{n-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{n-1}</math> 
- 
-:<math>a_{20} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{20-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{19} = 3 \cdot 2^9 \cdot \sqrt{2} =1536 \sqrt{2}</math> 
- 
-:<math>a_{21} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{21-1} = 3 \cdot (\sqrt{2})^{20} = 3 \cdot 2^{10} =3072</math> 
-  
-}} 
{{p}} {{p}}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
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{{p}} {{p}}
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-==Suma de términos de una progresión geométrica==+ 
 +==Suma de los "n" primeros términos de una progresión geométrica==
{{Suma de términos de una progresión geométrica}} {{Suma de términos de una progresión geométrica}}
-{{p}} 
-{{Ejemplo|titulo=Ejercicio resuelto: ''Suma de términos de una progresión geométrica'' 
-|enunciado={{p}} 
-:Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año? 
-|sol= 
-:Al comenzar el primer año ingreso 1000 €, que se transforman en <math>1000 \cdot 1.04^5</math> al final del quinto año. 
- 
-:Al comenzar el segundo año ingreso 1000 €, que se transforman en <math>1000 \cdot 1.04^4</math> al final del quinto año. 
- 
-:Al comenzar el tercer año ingreso 1000 €, que se transforman en <math>1000 \cdot 1.04^3</math> al final del quinto año. 
- 
-:Al comenzar el cuarto año ingreso 1000 €, que se transforman en <math>1000 \cdot 1.04^2</math> al final del quinto año. 
- 
-:Al comenzar el quinto año ingreso 1000 €, que se transforman en <math>1000 \cdot 1.04^1</math> al final del quinto año. 
-{{p}} 
-:Si sumamos todas esas cantidades: 
-{{p}} 
-<center><math>1000 \cdot 1.04^1 + 1000 \cdot 1.04^2 + 1000 \cdot 1.04^3 + 1000 \cdot 1.04^4 + 1000 \cdot 1.04^5</math></center> 
-{{p}} 
-:estaremos sumando los cinco primeros términos de una progresión geométrica con <math>a_1= 1000 \cdot 1.04</math> y <math>r= 1.04\;</math> 
-{{p}} 
-<center><math>S_5 = \cfrac{a_1 \cdot (r^5 - 1)}{r-1} = \cfrac{1000 \cdot 1.04 \cdot (1.04^5 - 1)}{1.04 -1} = 5632.98</math> €</center> 
-}} 
{{p}} {{p}}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
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{{p}} {{p}}
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 +
==Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica== ==Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica==
{{Suma infinitos términos de una progresión geométrica}} {{Suma infinitos términos de una progresión geométrica}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo|titulo=Ejercicio resuelto: ''Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica''
 +|enunciado=Calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica en la que <math>a_1 = 10\;</math>{{b}} y{{b}} <math>r = \cfrac{2}{3}</math>.
 +|sol=
 +Al ser <math>r = \cfrac{2}{3} < 1</math>, se puede calcular la suma infinita:
 +{{p}}
 +<center><math>S_\infty =\cfrac{a_1}{1-r} =\cfrac{10}{1-\cfrac{2}{3}} = \cfrac{10}{\cfrac{1}{3}} = 30</math></center>
 +
 +}}
{{p}} {{p}}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
Línea 98: Línea 69:
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Producto de términos de una progresión geométrica==+==Producto de "n" primeros términos de una progresión geométrica==
{{Producto de términos de una progresión geométrica}} {{Producto de términos de una progresión geométrica}}
-===Actividades===+ 
 +==Ejercicios==
{{Actividades progresiones geometricas}} {{Actividades progresiones geometricas}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números|Reales]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números|Reales]]

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Tabla de contenidos

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(Pág. 68)

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Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, r\;\!, que llamaremos razón.

Escrito en forma recursiva:

a_n=a_{n-1} \cdot r \ , \ \forall n>1

Por ejemplo, la sucesión u_n\;:

Imagen:prog_geometrica.png

es una progresión geométrica de razón r = 2\;.

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Término general de una progresión geométrica

ejercicio

Término general de una progresión geométrica

El término general, a_n\;\!, de una progresión geométrica de razón r\;\! es:

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Progresión geométrica

En una progresión geométrica de términos positivos, a_1=3\; y a_3 = 6\;. Halla a_n\;, a_{20}\; y a_{21}\;.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Término general de una progresión geométrica

    (Pág. 69)

     3, 4

     1, 2, 5

(Pág. 70)

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Suma de los "n" primeros términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de términos de una progresión geométrica

La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

S_n=\frac{a_1 \cdot(r^n-1)}{r-1}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Suma de términos de una progresión geométrica

Si al comienzo de cada año ingresamos 1000 € en un banco al 4% anual, ¿cuánto dinero tendremos al final del quinto año?

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Suma de términos de una progresión geométrica

    (Pág.70)

     7, 9

     6, 8

(Pág. 71)

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Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

ejercicio

Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que 0<\; \mid r \mid \; <1 se obtiene así:

S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}

ejercicio

Ejercicio resuelto: Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica en la que a_1 = 10\;  y  r = \cfrac{2}{3}.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica

    (Pág.71)

     12

     10, 11

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Producto de "n" primeros términos de una progresión geométrica

ejercicio

Producto de "n" términos de una progresión geométrica

El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}

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Ejercicios

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