Plantilla:Raíces
De Wikipedia
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| Se llaman '''raíces exactas''' a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son '''inexactas''' y el resultado será un número irracional. | Se llaman '''raíces exactas''' a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son '''inexactas''' y el resultado será un número irracional. | ||
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| + | |sinopsis=Tutorial que explica las raíces exactas e inexactas y pone ejemplos de ambas. | ||
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Revisión de 08:34 8 ago 2017
Tabla de contenidos[esconder] |
Raíz n-ésima de un número
La raíz n-ésima 
de un número 
es otro número 
tal que 
y que escribimos simbólicamente ![b=\sqrt[n]{a}](/wikipedia/images/math/c/e/0/ce05f9d287d25fe0a5fd8e680bd177f5.png)
.
![\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a](/wikipedia/images/math/f/f/7/ff79017c635440f207b67b250c3660fb.png)
El número 
se llama radicando, el número 
índice y 
la raíz.
![\sqrt[5]{32}=2\;](/wikipedia/images/math/e/f/a/efae07f29bbbaaef03acb5b46afffb59.png)
porque 
.
Propiedades de las raíces
Propiedades
![\sqrt[n]{1}=1](/wikipedia/images/math/f/2/3/f2301fcbef74b110ad8d373f2b32a16b.png)
; ![\sqrt[n]{0}=0](/wikipedia/images/math/8/6/5/865db751c6cb2e12533fccdf8de1e1df.png)
, para cualquier valor del índice .
- Si
, ![\sqrt[n]{a}](/wikipedia/images/math/9/a/2/9a2b6d33f3d62a1e8bd99c76f3cb79f5.png)
existe cualquiera que sea el índice .
- Si
, sólo existe si el índice es impar.
- Si el índice es par y el radicando , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
- Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando .
![\sqrt[3]{1}=1](/wikipedia/images/math/d/5/3/d53d30c7123945d21786c0fb38eeeb18.png)
.
![\sqrt[5]{0}=0](/wikipedia/images/math/e/9/5/e95b8cee4e9e352608032036b0bd68d7.png)
.
![\sqrt[4]{16}=\pm 2](/wikipedia/images/math/3/5/c/35cc75069a6350b569ad8c8f72bf6ae2.png)
porque 
.
![\sqrt[3]{64}=4](/wikipedia/images/math/f/2/4/f2482a82a1ce97518a3bbef09d9575b5.png)
porque 
.
![\sqrt[3]{-8}=-2](/wikipedia/images/math/1/5/4/154ab22db729e6b6490caa36d8669830.png)
porque 
.
![\sqrt[4]{-8}= no \ existe](/wikipedia/images/math/a/2/1/a21d3d89fedd78f5c9a6378b3cf240f3.png)
porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).
![Como \ \ 6^3=216 \rightarrow \sqrt[3]{216}= ...](/wikipedia/images/math/3/c/3/3c378630d2615778e963ac624db86d87.png)
![Como \ \ (-6)^3=-216 \rightarrow \sqrt[3]{-216}= ...](/wikipedia/images/math/6/5/8/6587736293705d54e8f32954028d084c.png)
![Como \ \ 5^3=125 \rightarrow \sqrt[3]{125}= ...](/wikipedia/images/math/b/d/b/bdb68c764c3249b6a9780aa720742319.png)
![Como \ \ (-5)^3=-125 \rightarrow \sqrt[3]{-125}= ...](/wikipedia/images/math/e/7/0/e705216d0789f62aef7ec241081fabeb.png)
![Como \ \ 7^3=343 \rightarrow \sqrt[3]{343}= ...](/wikipedia/images/math/5/f/2/5f298eabe3ed377592f625e71f6488c0.png)
![Como \ \ (-7)^3=-343 \rightarrow \sqrt[3]{-343}= ...](/wikipedia/images/math/c/e/5/ce577674faca3babb2d3dfaac0413e21.png)
![Como \ \ 6^4=216 \ \ y \ \ (-6)^4 =216 \rightarrow \sqrt[4]{216}= ...](/wikipedia/images/math/c/b/4/cb4b33e4c8e211ead755140a2c66bba9.png)
![Como \ \ 2^5=32 \ \ y \ \ (-2)^5 =32 \rightarrow \sqrt[5]{32}= ... \ \ y \ \ \sqrt[5]{-32}= ...](/wikipedia/images/math/c/c/c/ccc2a79c409e95a6ea8eb4d3dd464bae.png)
![Como \ \ 3^6=729 \ \ y \ \ (-3)^6 =729 \rightarrow \sqrt[6]{729}= ...](/wikipedia/images/math/b/5/5/b554d8cc9395627f020eb1f365124e4e.png)
![Como \ \ 2^7=128 \ \ y \ \ (-2)^7 =-128 \rightarrow \sqrt[7]{128}= ... \ \ y \ \ \sqrt[7]{-128}= ...](/wikipedia/images/math/a/d/6/ad64ef0e208078f3159cae14f80cd300.png)
![Como \ \ 3^8=6561 \ \ y \ \ (-3)^8 =6561 \rightarrow \sqrt[8]{6561}= ...](/wikipedia/images/math/7/b/a/7ba166f1a52a30e3ea2be20046fc6f29.png)
![Como \ \ 2^9=512 \ \ y \ \ (-2)^9 =-512 \rightarrow \sqrt[9]{512}= ... \ \ y \ \ \sqrt[9]{-512}= ...](/wikipedia/images/math/3/a/9/3a962574019bdc46ed38d924b83f207c.png)
![Como \ \ 2^{10}=1024 \ \ y \ \ (-2)^{10} =1024 \rightarrow \sqrt[10]{1024}= ...](/wikipedia/images/math/7/e/d/7edae10fccfe7b465c672d8c9c045b91.png)
?
?
![\sqrt[3]{-27}\;](/wikipedia/images/math/7/f/9/7f964050f55904a351871c909842d531.png)
?
![\sqrt[3]{-64}\;](/wikipedia/images/math/1/a/c/1ac847b9288b852f7e2cd46adb661650.png)
?
![\sqrt[4]{-81}\;](/wikipedia/images/math/9/3/8/9380cfbe25a5f6b1f53b0e98557d5cb3.png)
?
![\sqrt[5]{-243}\;](/wikipedia/images/math/0/0/d/00d129c231e444389e6e90b5a1a8e808.png)
?
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
![\sqrt[3]{1}\;](/wikipedia/images/math/a/9/e/a9ed184fd0349444d061cc1d272e67c6.png)
; ![\sqrt[3]{-1}\;](/wikipedia/images/math/9/1/7/917ae3af6a2d50278779cc91cbbdea73.png)
![\sqrt[3]{8}\;](/wikipedia/images/math/1/3/2/132c2f74c8498afa99586eeab29a92a8.png)
; ![\sqrt[3]{-8}\;](/wikipedia/images/math/2/2/3/2232a48fe703bd572c3668d1f57c0066.png)
![\sqrt[3]{27}\;](/wikipedia/images/math/f/f/d/ffdb842d7cefcf30ac4e11b74ccdc8f3.png)
; ![\sqrt[3]{64}\;](/wikipedia/images/math/4/b/d/4bd0c615f84c6543e9f004c6bcfce737.png)
; ![\sqrt[3]{125}\;](/wikipedia/images/math/9/b/0/9b0b656102d06b662a6c1cfa6f46ee4c.png)
; ![\sqrt[3]{-125}\;](/wikipedia/images/math/b/d/6/bd68acb8f905cf5984575d47adbbe028.png)
![\sqrt[4]{1}\;](/wikipedia/images/math/4/2/3/42348ffb6e4d069c36b7529b4c3d61c7.png)
; ![\sqrt[4]{-1}\;](/wikipedia/images/math/3/0/4/3041c7b2e1985e0ce2b4e12419b1adfd.png)
![\sqrt[5]{32}\;](/wikipedia/images/math/5/a/4/5a4316aef4d84ea09023226c0b455ef1.png)
; ![\sqrt[5]{-32}\;](/wikipedia/images/math/e/4/b/e4b2e7ef8b833cd852ca9c1bedfade9b.png)
![\sqrt[6]{729}\;](/wikipedia/images/math/6/4/5/645cad2d63e42973a6e2a66d954d5272.png)
; ![\sqrt[6]{-729}\;](/wikipedia/images/math/c/8/9/c89f55205c50d79be31feca9e8e7fe21.png)
![\sqrt[7]{128}\;](/wikipedia/images/math/e/4/e/e4e24abf54c49df327ec72213ca1b2bd.png)
; ![\sqrt[7]{-128}\;](/wikipedia/images/math/5/7/f/57ff532d80dc61569bbab4448a648df4.png)
![\sqrt[4]{81}\;](/wikipedia/images/math/0/4/d/04d103e445158aa43cb56526c68b98c2.png)
![\sqrt[3]{-8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/b/b/c/bbc65bbad66511345d7cb3ac4f7a001c.png)
![\sqrt[3]{8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/3/e/c/3ec4111d51daf4478bc80d3d1bd1ef0a.png)
![\sqrt[4]{16}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/2/0/8/208788fa3a4920a05007fa9edad8dbc6.png)
![\sqrt[5]{32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/f/5/5/f552d101987249877deb51a2875a57db.png)
![\sqrt[5]{-32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/a/b/9/ab988d19836d333dfc399b9f3fefee8c.png)
![\sqrt[6]{1}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/7/0/6/70646a208681230895b71a7e18b7317b.png)
; ![\sqrt[3]{14}\;](/wikipedia/images/math/4/d/9/4d90b08a8a7ba14e1c60f25be0fb24ef.png)
; ![\sqrt[3]{20}\;](/wikipedia/images/math/f/a/a/faaf025a7b9f3b036eb836c60d8e4e34.png)
; ![\sqrt[3]{39}\;](/wikipedia/images/math/c/9/f/c9f16a3fa799c3b21b4f313600db621c.png)
La raíz como potencia de exponente fraccionario
Proposición: La raíz como potencia de exponente fraccionario
Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:
|
|
![\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}](/wikipedia/images/math/3/b/0/3b0234682d54453ceee722e89c782c2e.png)
Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario
Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario y calcula su valor:
![a)\ \sqrt[3] {125^4} \quad b)\ \sqrt {100^{-3}}](/wikipedia/images/math/5/9/e/59ebdba87736732560d47ebf9c21a75e.png)
(por ser el índice par tiene dos soluciones de signos opuestos)
Propiedades de las potencias de exponente fraccionario
Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.
Raíces exactas e inexactas
Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.
Raíces exactas e inexactas
Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, los exponentes de éstos deben ser todos divisibles por el índice de la raíz.
Ejemplo: Raíces exactas e inexactas
Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:
![a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0.0256}\quad c) \sqrt[3]{192}](/wikipedia/images/math/d/f/7/df7f4bb983c565de5f6c5ab3ff89efdd.png)
.
![\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6](/wikipedia/images/math/4/a/b/4ab09f3247f4181f74270a6db537c4a3.png)
![\sqrt[3]{216}](/wikipedia/images/math/2/a/6/2a60cb9da80e1f9abad0623c37ccfb67.png)
es racional.
.
![\sqrt[4]{0.0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\pm \cfrac{2^2}{10^1}=\pm \cfrac{4}{10}=\pm 0'4](/wikipedia/images/math/2/1/1/2111a7f15ed884cde82acb4bee2152c1.png)
![\sqrt[4]{0.0256}](/wikipedia/images/math/f/e/0/fe057f07425971a1f2db4869683fe6bd.png)
es racional.
.
![\sqrt[3]{192}](/wikipedia/images/math/b/d/f/bdfe841e1073096ee42922125fc7e19d.png)
es irracional.
![\sqrt[4]{16}](/wikipedia/images/math/0/8/5/08539911f08513b980a050e5bd399ead.png)
![\sqrt[5]{-243}](/wikipedia/images/math/6/3/5/635e97dd723ead900066d5383852216f.png)
![\sqrt[6]{64}](/wikipedia/images/math/4/7/2/472e429662dd1bbb544e8af33cf8e11b.png)
![\sqrt[3]{-216}](/wikipedia/images/math/1/9/0/1900c7889aa4b60b66f43b9dc348d52c.png)
Calculadora
Raíz cuadrada
 Calculadora: Raíz cuadrada Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Ejemplo:[Mostrar]
|
Raíz cúbica
Calculadora: Raíz cúbica Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla Ejemplo:[Mostrar]
|
![\sqrt [3] {8}](/wikipedia/images/math/f/5/2/f5234f8dd97fefc954cf62fa258a3b72.png)
Otras raíces
Calculadora: Otras raíces Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla Ejemplo:[Mostrar]
|
![\sqrt [4]{81}](/wikipedia/images/math/e/c/6/ec6e7957bf989cbaf4c80a2e4c59755c.png)
![\sqrt[3] {-512}](/wikipedia/images/math/d/5/0/d5007990ae7e9a5dddf6e4eff90d9a71.png)
