Semejanza de triángulos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Triángulos semejantes
2 Criterios de semejanza de triángulos
- 2.1 Aplicaciones de los criterios de semejanza
- 2.2 Teoremas del cateto y de la altura
3 Teorema de Tales
- 3.1 Triángulos en la posición de Tales
- 3.2 Actividades
4 Ejercicios propuestos
5 Apéndice

(Pág. 186)

Triángulos semejantes

Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.

Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:

Dos triángulos, $ABC\;$ y $A'B'C'\;$ , son semejantes, y lo notaremos $ABC \sim A'B'C'\;$ , si cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Los ángulos correspondientes u homólogos* son iguales:

$\widehat{A}=\widehat{A}'\, ,\ \widehat{B}=\widehat{B}'\, ,\ \widehat{C}=\widehat{C}'$

2. Los lados correspondientes u homólogos son proporcionales:

$\cfrac{c'}{c} = \cfrac {b'}{b} = \cfrac{a'}{a}=r$

Al valor $r\;\!$ se le llama razón de semejanza.

(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

Nota: Cuando veamos los criterios de semejanza de triángulos, veremos que para que dos triángulos sean semejantes bastará con que se cumpla una de las dos condiciones: que los lados homólogos sean proporcionales o que los ángulos homólogos sean iguales. En tal caso, la otra condición se cumplirá automáticamente.

Triángulos semejantes

Tutorial (2'13") Sinopsis:

Definición de triángulos semejantes.

Ejemplo (5'09") Sinopsis:

Ejemplo de semejanza de triángulos.

Relación entre las áreas de triángulos semejantes (2´45") Sinopsis:

En este video exploraremos el comportamiento del área respecto a la longitud de los lados de un triángulo equilátero.

Criterios de semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos simplifican el número de condiciones que deben comprobarse para que dos triángulos sean semejantes:

Criterios de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: $\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}$
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: $\widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'$
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: $\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'$

Criterios de semejanza de triángulos Descripción:

Actividades para aprender y practicar los criterios de semejanza de triángulos.

Criterios de semejanza de triángulos

Tutorial (32´54") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja los criterios de semejanza de triángulos y se resuelven algunos ejercicios sencillos en los que se aplican dichas propiedades.

00:00 a 06:08: Criterios de Igualdad (Congruencia) de Triángulos.
06:08 a 08:30: Definición de Triángulos Semejantes.
08:30 a 15:30: 1er criterio de semejanza, lados proporcionales.
- 11:00 - Ejemplo del 1er criterio de semejanza.
15:30 a 21:30: 2º criterio de semejanza, ángulos iguales.
- 17:00 - Ejemplo del 2º criterio de semejanza.
21:30 a 26:30: 3er criterio de semejanza, ángulo igual y sus lados proporcionales.
- 23:05 - Ejemplo del 3er criterio de semejanza.
26:30 a 32:54 : Ejercicio donde se aplica la semejaza de triángulos.

Ejemplos (6'17") Sinopsis:

Ejemplos de aplicación de los criterios de semejanza.

Problema 1 (2'16") Sinopsis:

Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 6 cm, y los lados de otro triángulo miden 9,12 y 18 cm. Comprueba si son semejantes.

Problema 2 (3'47") Sinopsis:

Dos ángulos de un triángulo miden 55º y 85º, y dos de los ángulos de otro triángulo miden 55º y 65º. ¿Son semejantes?.

Problema 3 (4'45") Sinopsis:

Cálculo altura inaccesible usando dos triángulos semejantes

Criterios de semejanza de triángulos Descripción:

En esta escena podrás ver los tres criterios de semejanza de triángulos.

Aplicaciones de los criterios de semejanza

Los criterios de semejanza que hemos visto tienen numerosas aplicaciones. Veamos algunas de ellas.

Aplicaciones de los criterios de semejanza Descripción:

Ejercicios de aplicación de los criterios de semejanza de triángulos:

Medición de alturas con sombras.
Medición de alturas con espejos.
¿Cómo pudo medir Tales la altura de una pirámide?

Medición de alturas con espejos Descripción:

En esta escena podrás hallar la altura de una casa utilizando un espejo y una cinta métrica.

Medición de alturas con sombras Descripción:

Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto (s. IV a. C) acerca de la altura de la Pirámide de Keops, cuando ya las pirámides rondaban los 2.000 años de edad, y éste respondió con un método de lo más ingenioso para medir dicha altura..

Aplicaciones de los criterios de semejanza (Ampliación)

Teorema de la bisectriz (8´43") Sinopsis:

El teorema de la bisectriz dice:

"La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo"

$\cfrac{BD}{AB}=\cfrac{DC}{AC}$

Problema (aplicación del teorema de la bisectriz) (5´46") Sinopsis:

Aplicación del teorema de la bisectriz.

Teorema de los puntos medios (7´47") Sinopsis:

Problema:

En un triángulo ABC se traza la mediana CM y desde A se traza el segmento AN que corta a la mediana CM en su punto medio T. Sabiendo que TN = 5 cm, calcula el valor de AT.

Solución:

Véase el video para ver la solución.

El problema anterior requiere la aplicación del teorema de los puntos medios:

Teorema de los puntos medios:

"Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo se traza una recta paralela a un segundo lado, esta recta corta en su punto medio al tercer lado, la longitud del segmento que se determina es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralela."

Demostración:

Los triángulos ABC y MBN son semejantes por estar en la posición de Tales. Además la razón de semejanza es claramente 2, por lo que lo que se nos pide es bastante inmediato.

Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa (8´00") Sinopsis:

Problema:

Halla el valor de "x" en la figura:

Solución:

Véase el video para ver la solución.

El problema anterior requiere la aplicación del teorema de la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo:

Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa:

"La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa."

Demostración:

Por M tracemos una paralela a CA, y sea D su punto de intersección con el cateto BC. Puesto que DM es paralela a CA y CA es perpendicular a BC, entonces DM es también perpendicular a BC. Por el teorema de los puntos medios se tiene que D es punto medio de BC ya que M lo es de AB). Pero entonces DM es mediatriz de BCM. De aquí que BM=CM (pues la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos).

Teoremas del cateto y de la altura

Teoremas del cateto y de la altura

Tutorial 1 (22´15") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra tanto el teorema de la altura como del cateto y aplica dichos teorema a la representación en la recta numérica de raíces cuadradas.

00:00 a 10:00: Demostración del Teorema de la Altura y del Cateto mediante la semejanza de triángulos.
10:00 a 10:35: Enunciado del Teorema de la Altura.
10:40 a 11:10: Enunciado del Teorema del Cateto.
11:10 a 15:40: Aplicación del Teorema de Pitágoras para representar raíces cuadradas..
15:50 a 19:45: Aplicación del Teorema de la Altura para representar raíces cuadradas..
19:45 a 22:15: Aplicación del Teorema del Cateto para representar raíces cuadradas.

Tutorial 2 (11´30") Sinopsis:

Teoremas de la altura y del cateto. Ejemplos.

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo, un cateto, $a\;$ , es media proporcional entre la hipotenusa, $h\;$ , y la proyección, $m\;$ , de dicho cateto sobre la hipotenusa, $c\;$ .

$\frac{a}{m}=\frac{c}{a} \ \rightarrow \ a^2=m \cdot c$

Y análogamente con el otro cateto, $b\;$ , y su proyección, $m\;$ :

$\frac{b}{n}=\frac{c}{b} \ \rightarrow \ b^2=n \cdot c$

Demostración:

Véase cualquiera de los siguientes videotutoriales.

Teorema del cateto

Tutorial 1 (5´31") Sinopsis:

Demostración del teorema del cateto.
Ejemplos.

Tutorial 2 (16´16") Sinopsis:

Demostración del teorema del cateto.
Ejemplo.

Problema 1 (6'17") Sinopsis:

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 16.5 cm y su proyección sobre la hipotenusa mide 7.5 cm. Halla el otro cateto, la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa.

Problema 2 (5'52") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo los catetos miden 20 y 21 cm. Calcula el valor de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Problema 4 (4'01") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 2 y 10 cm, respectivamente. Halla a medida de los catetos.

Problema 5 (6'07") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 12 cm, y su proyección sobre la hipotenusa 9 cm. Calcula la hipotenusa y el otro cateto.

Problema 6 (4'05") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 25 y 36 m, respectivamente. Halla a medida de la hipotenusa.

Teorema de la altura

En todo triángulo rectángulo, la altura, $h\;$ , sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ésta, $m\;$ y $n\;$ .

$\frac{h}{n}=\frac{m}{h}$

Demostración:

Véase cualquiera de los siguientes videotutoriales:

Teorema de la altura

Tutorial 1 (6´04") Sinopsis:

Demostración del teorema de la altura.
Ejemplos.

Tutorial 2 (13´57") Sinopsis:

Demostración del teorema de la altura.
Ejemplo.

Problema 1 (5'24") Sinopsis:

Las proyecciones de los actetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 18 m y 32 m, respectivamente. Halla la medida de los catetos y la de la altura sobre la hipotenusa.

Problema 2 (15'43") Sinopsis:

Problema de aplicación del teorema de la altura

Problema 3 (2'09") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 2 y 10 cm, respectivamente. Halla la altura sobre la hipotenusa.

Problema 4 (5'34") Sinopsis:

Una torre eléctrica está sujeta al suelo con dos tensores. La distancia entre los pies de ambos tensores es 50 m. Los cables que sujetan la torre forman un ángulo recto y miden 30 y 40 m, respectivamente. Calcula la altura de la torre.

Problema 5 (6'59") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo los catetos miden 20 y 21 cm, respectivamente. Calcula la altura del triángulo que cae sobre la hipotenusa.

Teorema de Tales

Primer teorema de Tales

Dos rectas paralelas, AB y A'B', que cortan a dos rectas secantes, d y d', determinan en éstas segmentos proporcionales:

$\frac {\overline{OA}} {\overline{OB}} = \frac {\overline{AA'}} {\overline{BB'}} = \frac {\overline{OA'}} {\overline{OB'}}$

Demostración:

Demostración (13´21") Sinopsis:

Demostración del primer teorema de Tales.

Ejemplos: Teorema de Tales

Ejemplo 1 (1'39") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 2 (2'25") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 3 (1'38") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 4 (3'02") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 5 (4'00") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Teorema de Tales Descripción:

En esta escena podrás comprobar el primer teorema de Tales.

Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales

Corolario

Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales.

Teorema de Tales. Triángulos en la posición de Tales

Tutorial 1 (7´18") Sinopsis:

Teorema de Tales. Ejemplos.

Tutorial 2 (23´57") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el teorema de Tales y se resuelven algunos ejercicios sencillos en los que se aplican dichas propiedades.

00:00 a 04:15: Repaso teórico de semejanza de triángulos.
04:15 a 06:48: Teorema de Tales (I), triángulos semejantes.
06:48 a 16:52: Ejercicios del Teorema de Tales (I).
16:52 a 18:15: Teorema de Tales (II), segmentos semejantes.
21:30 a Fin: Ejercicios del Teorema de Tales (II).

Ejercicio 1 (3'28") Sinopsis:

División de un segmento en partes proporcionales.

Ejercicio 2 (2'43") Sinopsis:

Dibujo y cálculo del 4º proporcional a tres segmentos dados.

Ejercicio 3 (2'51") Sinopsis:

Cálculo y dibujo del 3º proporcional a dos segmentos dados.

Ejercicio 4 (2´29") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación del primer teorema de Tales.

Ejercicio 5 (7´19") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación del primer teorema de Thales.

Teorema de Tales (otro forma de enunciarlo)

Tutorial (3´23") Sinopsis:

Otra forma equivalente de enunciar el teorema de Tales utilizando la semejanza de triángulos: Dos triángulos encajados (en la posición de Tales) son semejantes y en consecuencia sus lados son proporcionales.

Ejemplo 1 (1´14") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 2 (3´30") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 3 (3´24") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 4 (3´22") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 5 (2´10") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 5 (3´07") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Triángulos en la posición de Thales

Actividades

Teorema de Tales. Descripción:

Actividades para aprender y practicar el teorema de Tales.

División de un segmento en partes iguales Descripción:

Aplicaciones del teorema de Tales:

División de un segmento en partes iguales.
Dibujar fracciones en la recta real.

Ejercicios resueltos: Aplicaciones del teorema de Tales Descripción:

Ejercicios reaueltos de aplicación del teorema de Tales:

Triángulos en la posición de Tales.
División de un segmento en partes iguales.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Semejanza de triángulos

(Pág. 198)

7, 8, 9

Apéndice

Figuras semejantes

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes. Esto lo expresaremos matemáticamente diciendo que:
- Los segmentos correspondientes (homólogos) son proporcionales.
- Sus ángulos correspondientes (homólogos) son iguales.
Al ser los segmentos homólogos proporcionales, se cumple que la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada razón de semejanza.

(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

Ejemplos: Figuras semejantes

Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm. Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza. Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.
Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?

Solución:

Solución 1:

Razón de semejanza:

Si dividimos las longitudes del rectángulo pequeño entre las correspondientes del grande, obtenemos:

$\cfrac{3}{12}=\cfrac{2}{8}=0.25$

Por tanto la razón de semejanza es 0.25.

Observa como los dos rectángulos tienen todos sus ángulos de 90º, es decir, la reducción no ha afectado a los ángulos.

Porcentaje de reducción:

La razón de semejanza puede expresarse en porcentaje:

$0.25 \cdot 100= 25%\;$

Por tanto la fotocopia es una reducción del 25%.

Solución 2:

Llamemos a, b y c, a los lados del triángulo menor, y a´, b´ y c´, a los del mayor.

Sabemos que a´=12 cm, b´=8 cm y c´=16 cm.

Como la razón de semejanza es 0.75, al dividir los lados del triángulo mayor entre sus correspondientes del menor, el resultado deberá ser 0.75:

$\cfrac{a}{a'}=\cfrac{b}{b'}=\cfrac{c}{c'}=0.75$

Entonces:

$\cfrac{a}{12}=0.75 \ \rightarrow \ a=12 \cdot 0.75=9~ cm$

$\cfrac{b}{8}=0.75 \ \rightarrow \ b=8 \cdot 0.75=6~ cm$

$\cfrac{c}{16}=0.75 \ \rightarrow \ c=16 \cdot 0.75=12~ cm$

Figuras semejantes (5'55") Sinopsis:

Hola, les comparto este vídeo que es uno de mis favoritos y trata de las figuras semejantes, que son las figuras que tienen la misma forma, los mismos ángulos y distinto tamaño (lados proporcionales).

Figuras semejantes Descripción:

Actividades para que puedas aprender los concepto de semejanza y de razón de semejanza. También podrás aprender a construir figuras semejantes a una dada.

Figuras semejantes Descripción:

Observa los dos polígonos de la figura. Se dice que son semejantes porque cumplen las dos condiciones antes mencionadas:

Los ángulos correspondientes son todos iguales.
Los segmentos correspondientes son proporcionales.

En efecto,

1. Los ángulos son iguales ya que los lados correspondientes son paralelos.

2. Para comprobar que los lados son proporcionales usa los segmentos MN y XY que puedes mover libremente. Mide con ellos dos segmentos correspondientes AB y A'B' por ejemplo y calcula la razón de semejanza.

Mueve ahora el punto rojo para comprobar el valor de r.

Problemas: Figuras semejantes

Problema 1 (2'27") Sinopsis:

Dibuja un cuadrado semejante a otro de lado 2 cm, con razón de semejanza 3.

Problema 2 (3'18") Sinopsis:

María ha dibujado dos rectángulos. El primero tiene 4 cm de base y 7 cm de altura, y el segundo tiene 12 cm de base y 21 cm de altura. ¿Son semejantes? Calcula la razón de semejanza.

Problema 3 (4'33") Sinopsis:

Determina si son semejantes dos rectángulos, el primero de base 7 cm y altura 2 cm, y el segundo de base 14 cm y altura 4 cm. Calcula la razón de semejanza.

Problema 4 (3'43") Sinopsis:

Determina si son semejantes dos rectángulos, el primero de base 3 cm y altura 6 cm, y el segundo de base 6 cm y altura 10 cm.

Propiedades

Si dos figuras son semejantes y k es la constante de proporcionalidad, entonces:

La razón entre sus áreas es k².
La razón entre sus volúmenes k³.

Ejemplos: Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

Comprueba que si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero.
Comprueba que si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.

Solución:

Solución 1:

En efecto, como la razón entre los lados es $k=2\;$ , la razón entre sus áreas es $k^2=2^2=4\;$ .

Si hallamos el área de cada cuadrado lo podremos comprobar:

Área cuadrado pequeño= $5^2=25~cm^2\;$
Área cuadrado grande= $10^2=100~cm^2\;$

En efecto, el área del grande es el cuádruple del área del pequeño.

Solución 2:

En efecto, como la razón entre las aristas es $k=2\;$ , la razón entre sus volúmenes es $k^3=2^3=8\;$ .

Si hallamos los volúmenes de cada cubo lo podremos comprobar:

Volumen cubo pequeño= $5^3=125~cm^2\;$
Volumen cubo grande= $10^3=1000~cm^2\;$

En efecto, el volumen del grande es 8 veces el del pequeño.

Ejercicio: Relación entre las áreas de dos figuras semejantes

En una pizzería, la pizza pequeña tiene 23 cm de diámetro y es para una persona. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña, pero dicen que es para 4 personas. ¿Nos están engañando?

La respuesta en la siguiente actividad:

Relación entre las áreas de dos figuras semejantes Descripción:

Actividades en las que podrás ver la relación que existe entre las áreas de dos figuras semejantes.

Relación entre los perímetros, las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes (12'35") Sinopsis:

Aprenderás a calcular la razón de semejanza de figuras semejantes conociendo los perímetros, las áreas (o superficies) y los volúmenes cuando se trate de cuerpos geométricos. Utilizo varios ejemplos y problemas para practicar lo explicado.

Problemas: Relación entre las áreas de dos figuras semejantes

Problema 1 (2'39") Sinopsis:

Un pintor pinta un boceto de un mural que ocupa 2 m². Una vez acabado, el mural ha de ocupar una superficie de 50 m². ¿Cuál es la razón de semejanza que hay entre el mural y el boceto?

Problema 2 (2'46") Sinopsis:

La altura de un triángulo mide 10 cm y la base 6 cm. ¿Qué área tendrá un triángulo mayor semejante a éste con una razón de semejanza iguala a 4?

Problema 3 (2'47") Sinopsis:

Dos hexágonos regulares tienen sus lados en proporción 1/3. El área del mayor es 117 cm<up>2</sup>. ¿Cuánto vale el área del menor?

Problemas: Relación entre los volúmenes de dos figuras semejantes

Problema 1 (4'20") Sinopsis:

Tenemos un cubo con un volumen de 32 cm³ y otro cubo con un volumen de 12 cm³. ¿Qué relación tienen las aristas y las superficies, respectivamente?

Problema 2 (3'59") Sinopsis:

Un cono tiene una base de radio 3 cm y su altura es de 8 cm. Por otro lado, tenemos otro cono con un radio de la base de 6 cm y altura 16 cm. Indica si son semejantes ambos conos y, en tal caso, calcula la razón de semejanza y la razón entre sus volúmenes.

Problema 3 (3'54") Sinopsis:

Una pelota de jugar a la petanca tiene un diámetro de 10 cm, y una pelota de ping-pong tiene un diámetro de 4 cm. Calcula la razón entre sus volúmenes.

Polígonos semejantes

Dos polígonos son semejantes si cumplen que sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Propiedades

Si dos polígonos son semejantes y k es la constante de proporcionalidad, entonces:

La razón entre sus perímetros también es k.
La razón entre sus áreas es k².

Polígonos semejantes Descripción:

Observa los dos polígonos de la figura. Se dice que son semejantes porque cumplen las dos condiciones antes mencionadas:

Los ángulos correspondientes son todos iguales.
Los segmentos correspondientes son proporcionales.

En efecto,

1. Los ángulos son iguales ya que los lados correspondientes son paralelos.

Mueve ahora el punto rojo para comprobar el valor de r.

Polígonos semejantes

Tutorial (7'35") Sinopsis:

Polígonos semejantes. Razón de los perímetros y de las áreas.

Problema 1 (5'25") Sinopsis:

La razón entre dos cuadrados semejantes es 3/4. Calcula cuánto miden los lados del segundo sabiendo que los del primero miden 24 cm. Calcula el área del primero si la del segundo es 1024 cm².

Problema 2 (4'52") Sinopsis:

Los lados de un polígono miden 3, 5, 5, y 9 cm, respectivamente. ¿Cuánto miden cada uno de los lados de otro polígono semejante cuyo perímetro es de 30.8 cm?

Escalas

Cuando representamos una casa en un plano, un coche en una maqueta o la superficie terrestre en un mapa, estamos representando figuras semejantes a las reales. La razón de semejanza entre dichas figuras diremos que es la escala del mapa, de la maqueta o del plano.

La escala es el cociente entre la longitud de un segmento en la reproducción y el correspondiente segmento en la realidad. Esto es, la escala es la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad.

$escala=\cfrac{long.~reproduccion}{long.~realidad}$ .

Escalas, mapas y planos (10'46") Sinopsis:

En este vídeo trabajamos con Escalas en Mapas y Planos. A través de varios ejercicios, aprenderás a hallar el valor real de medidas en planos y viceversa, el valor que debe tener en el plano una medida real.

Ejemplo

Así, por ejemplo, decimos que un plano está a escala 1:100, si al realizar una medida de 1 cm en el plano, esta representa 100 cm en la realidad. Es lo mismo que decir que la razón de semejanza entre la figura dibujada y la real es $\cfrac{1}{100}$ .

Existen tres tipos de escalas:

Escala natural: Cuando el tamaño del objeto representado en el plano coincide con la realidad. (1:1).
Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño del objeto en el plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (1:2 ó 1:5), planos de viviendas (1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor (1:50.000 ó 1:100.000).
Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador. Ejemplos: 2:1 ó 10:1.

Escalas: ampliaciones y reducciones Descripción:

Actividades para que puedas aprender a trabajar con escalas.

Ejercicios resueltos: Escalas Descripción:

Ejercicios resueltos sobre escalas.

Problemas: Escalas

Problema 1 (3'50") Sinopsis:

En una fotografía, la imagen de un persona mide 12 cm, ¿qué escala se ha utilizado si la persona mide en realidad 1.80 m?.

Problema 2 (2'41") Sinopsis:

Los planos de un juguete están a escala 1:10. ¿Cuál es la longitud del juguete si en el plano mide 8 cm?.

Problema 3 (3'27") Sinopsis:

Queremos hacer una reproducción a escala 1:5 de un cuadro de 2 m de largo por 80 cm de ancho. Calcula las dimensiones de nuestra reproducción.

Problema 4 (2'36") Sinopsis:

Si el volumen de un depósito es de 25 000 m³, ¿qué volumen tiene una maqueta hecha a escala 1:20?

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Semejanza_de_tri%C3%A1ngulos_%283%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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 ===Polígonos semejantes===
-{{Caja_Amarilla|texto=Dos polígonos son '''semejantes''' si cumplen que sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.}}
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-{{AI_descartes|titulo1=Polígonos semejantes
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-#Los ángulos correspondientes son todos iguales.
-#Los segmentos correspondientes son proporcionales.
-En efecto,
-. Los ángulos son iguales ya que los lados correspondientes son paralelos.
-. Para comprobar que los lados son proporcionales usa los segmentos MN y XY que puedes mover libremente. Mide con ellos dos segmentos correspondientes  AB y A'B' por ejemplo y calcula la razón de semejanza.
-Mueve ahora el punto rojo para comprobar el valor de r.
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-|sinopsis=La razón entre dos cuadrados semejantes es 3/4. Calcula cuánto miden los lados del segundo sabiendo que los del primero miden 24 cm. Calcula el área del primero si la del segundo es 1024 cm<sup>2</sup>.
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Semejanza de triángulos (3ºESO Académicas)

De Wikipedia

Revisión de 16:16 17 sep 2017

Tabla de contenidos

Triángulos semejantes

Criterios de semejanza de triángulos

Aplicaciones de los criterios de semejanza

Teoremas del cateto y de la altura

Teorema de Tales

Triángulos en la posición de Tales

Actividades

Ejercicios propuestos

Apéndice

Figuras semejantes

Polígonos semejantes

Escalas

Vistas

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