Semejanza de triángulos (3ºESO Académicas)
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| - | ==Polígonos semejantes== | ||
| - | {{Caja_Amarilla|texto=Dos polígonos son semejantes si cumplen que sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.}} | ||
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| - | *La razón entre sus perímetros también es k. | + | {{Actividades: Teorema de Tales}} |
| - | *La razón entre sus áreas es k<sup>2</sup>. | + | |
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| - | |descripcion=Observa los dos polígonos de la figura. Se dice que son semejantes porque cumplen las dos condiciones antes mencionadas: | ||
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| - | #Los ángulos correspondientes son todos iguales. | ||
| - | #Los segmentos correspondientes son proporcionales. | ||
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| - | En efecto, | ||
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| - | 1. Los ángulos son iguales ya que los lados correspondientes son paralelos. | ||
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| - | 2. Para comprobar que los lados son proporcionales usa los segmentos MN y XY que puedes mover libremente. Mide con ellos dos segmentos correspondientes AB y A'B' por ejemplo y calcula la razón de semejanza. | ||
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| - | Mueve ahora el punto rojo para comprobar el valor de r. | ||
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| - | |sinopsis=La razón entre dos cuadrados semejantes es 3/4. Calcula cuánto miden los lados del segundo sabiendo que los del primero miden 24 cm. Calcula el área del primero si la del segundo es 1024 cm<sup>2</sup>. | ||
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| - | ==Figuras semejantes. Escalas== | ||
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| - | De manera intuitiva, dos figuras son '''semejantes''' si tienen la misma forma, pero el tamaño es diferente. | ||
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| - | Matematicamente, dos figuras son semejantes si cumplen: | ||
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| - | #Los ángulos correspondientes son iguales (misma forma). | ||
| - | #Los segmentos correspondientes son proporcionales. | ||
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| - | Se llama '''razón de semejanza''' o '''escala''', <math>r\;\!</math>, al cociente entre dos longitudes correspondientes. | ||
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| - | {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido=Escala y razón de semejanza significan lo mismo. Sin embargo, el término escala suele utilizarse a la hora de confeccionar planos o mapas. | ||
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| - | Así, por ejemplo, decimos que un plano está a escala 1:100 si 1 cm en el plano son 100 cm en la realidad. Es lo mismo que decir que la razón de semejanza entre la figura dibujada y la real es <math>r=\cfrac{1}{100}</math>.}} | ||
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| - | |sinopsis=En una fotografía, la imagen de un persona mide 12 cm, ¿qué escala se ha utilizado si la persona mide en realidad 1.80 m?. | ||
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| - | |sinopsis=Los planos de un juguete están a escala 1:10. ¿Cuál es la longitud del juguete si en el plano mide 8 cm?. | ||
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| ==Ejercicios propuestos== | ==Ejercicios propuestos== | ||
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(Pág. 186)
Triángulos semejantes
Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.
Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:
|  |
se le llama razón de semejanza.
(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.
Nota: Cuando veamos los criterios de semejanza de triángulos, veremos que para que dos triángulos sean semejantes bastará con que se cumpla una de las dos condiciones: que los lados homólogos sean proporcionales o que los ángulos homólogos sean iguales. En tal caso, la otra condición se cumplirá automáticamente.
Criterios de semejanza de triángulos
Los criterios de semejanza de triángulos simplifican el número de condiciones que deben comprobarse para que dos triángulos sean semejantes:
Criterios de semejanza de triángulos
- Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales:
- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales:
- Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido:
Aplicaciones de los criterios de semejanza
Los criterios de semejanza que hemos visto tienen numerosas aplicaciones. Veamos algunas de ellas.
Teoremas del cateto y de la altura
Teorema del cateto En todo triángulo rectángulo, un cateto,  Y análogamente con el otro cateto,  Teorema de la altura En todo triángulo rectángulo, la altura,  |  |
, es media proporcional entre la hipotenusa, 
, y la proyección, 
, de dicho cateto sobre la hipotenusa, 
.
, y su proyección, 
.
Teorema de Tales
Primer teorema de Tales
| Dos rectas paralelas, AB y A'B', que cortan a dos rectas secantes, d y d', determinan en éstas segmentos proporcionales:
 |  |
Triángulos en la posición de Tales
Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales |  |
Actividades
Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Semejanza de triángulos (Pág. 198)
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