Semejanza de triángulos

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1 Triángulos semejantes
2 Criterios de semejanza de triángulos
3 Teorema de Tales
- 3.1 Triángulos en la posición de Tales

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Triángulos semejantes

Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.

Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:

Dos triángulos, $ABC\;$ y $A'B'C'\;$ , son semejantes, y lo notaremos $ABC \sim A'B'C'\;$ , si cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Los ángulos correspondientes u homólogos* son iguales:

$\widehat{A}=\widehat{A}'\, ,\ \widehat{B}=\widehat{B}'\, ,\ \widehat{C}=\widehat{C}'$

2. Los lados correspondientes u homólogos son proporcionales:

$\cfrac{c'}{c} = \cfrac {b'}{b} = \cfrac{a'}{a}=r$

Al valor $r\;\!$ se le llama razón de semejanza.

(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

Nota: Cuando veamos los criterios de semejanza de triángulos, veremos que para que dos triángulos sean semejantes bastará con que se cumpla una de las dos condiciones: que los lados homólogos sean proporcionales o que los ángulos homólogos sean iguales. En tal caso, la otra condición se cumplirá automáticamente.

Triángulos semejantes [Mostrar]

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Criterios de semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos simplifican el número de condiciones que deben comprobarse para que dos triángulos sean semejantes:

Criterios de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: $\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}$
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: $\widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'$
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: $\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'$

Criterios de semejanza de triángulos Descripción: [Mostrar]

Criterios de semejanza de triángulos [Mostrar]

Criterios de semejanza de triángulos Descripción: [Mostrar]

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Aplicaciones de los criterios de semejanza

Los criterios de semejanza que hemos visto tienen numerosas aplicaciones. Veamos algunas de ellas.

Aplicaciones de los criterios de semejanza Descripción: [Mostrar]

Medición de alturas con espejos Descripción: [Mostrar]

Medición de alturas con sombras Descripción: [Mostrar]

Aplicaciones de los criterios de semejanza (Ampliación) [Mostrar]

Teorema de la bisectriz (8´43") Sinopsis: [Mostrar]

Problema (aplicación del teorema de la bisectriz) (5´46") Sinopsis: [Mostrar]

Teorema de los puntos medios (7´47") Sinopsis:[Mostrar]

Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa (8´00") Sinopsis:[Mostrar]

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Teoremas del cateto y de la altura

Teoremas del cateto y de la altura [Mostrar]

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo, un cateto, $a\;$ , es media proporcional entre la hipotenusa, $h\;$ , y la proyección, $m\;$ , de dicho cateto sobre la hipotenusa, $c\;$ .

$\frac{a}{m}=\frac{c}{a} \ \rightarrow \ a^2=m \cdot c$

Y análogamente con el otro cateto, $b\;$ , y su proyección, $m\;$ :

$\frac{b}{n}=\frac{c}{b} \ \rightarrow \ b^2=n \cdot c$

Demostración:[Mostrar]

Teorema del cateto [Mostrar]

Teorema de la altura

En todo triángulo rectángulo, la altura, $h\;$ , sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ésta, $m\;$ y $n\;$ .

$\frac{h}{n}=\frac{m}{h}$

Demostración:[Mostrar]

Teorema de la altura [Mostrar]

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Relación entre las áreas de figuras semejantes

Relación entre las áreas de triángulos semejantes (2´45") Sinopsis: [Mostrar]

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Teorema de Tales

Primer teorema de Tales

Dos rectas paralelas, AB y A'B', que cortan a dos rectas secantes, d y d', determinan en éstas segmentos proporcionales:

$\frac {\overline{OA}} {\overline{OB}} = \frac {\overline{AA'}} {\overline{BB'}} = \frac {\overline{OA'}} {\overline{OB'}}$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplos: Teorema de Tales [Mostrar]

Teorema de Tales Descripción: [Mostrar]

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Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales

Corolario

Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales.

Teorema de Tales. Triángulos en la posición de Tales [Mostrar]

Teorema de Tales (otro forma de enunciarlo) [Mostrar]

Triángulos en la posición de Thales

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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-. Los ángulos correspondientes son iguales:
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-. Los segmentos correspondientes son proporcionales:
-<center><math>\frac {\overline{A'B'}} {\overline{AB}} = \frac {\overline{A'C'}} {\overline{AC}} = \frac {\overline{B'C'}} {\overline{BC}}=r</math></center>
-Donde <math>r\;\!</math>, se la '''razón de semejanza'''.
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-Observa los dos polígonos de la figura. Se dice que son semejantes porque cumplen las dos condiciones antes mencionadas:
-#Los ángulos correspondientes son todos iguales.
-#Los segmentos correspondientes son proporcionales.
-En efecto,
-. Los ángulos son iguales ya que los lados correspondientes son paralelos.
-. Para comprobar que los lados son proporcionales usa los segmentos MN y XY que puedes mover libremente. Mide con ellos dos segmentos correspondientes  AB y A'B' por ejemplo y calcula la razón de semejanza.
-Mueve ahora el punto rojo para comprobar el valor de r.
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-===Escala===
-Ya hemos visto antes que escala y razón de semejanza significan lo mismo. El término escala suele utilizarse en planos o mapas. Así, por ejemplo, decimos que un plano está a escala 1:100 si 1 cm en el plano son 10 cm en la realidad. Es lo mismo que decir que la razón de semejanza entre la figura dibujada y la real es <math>r=\cfrac{1}{100}</math>.
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

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