Números naturales: Operaciones

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 16:53 11 sep 2007
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Resta y división de naturales)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión actual
Coordinador (Discusión | contribuciones)

Línea 6: Línea 6:
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Suma y multiplicación de naturales==+==Introducción==
-La '''suma''' (o adición) y la '''multiplicación''' (o producto) de dos números naturales es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son '''[http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica leyes de composición interna]'''.+{{AI_cidead
 +|titulo1=Para empezar
 +|descripcion=*Sabrías sumar de forma fácil y sin calculadora los 100 primeros números naturales?
 +*El misterioso número 6174.
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena1/1quincena1_presenta_1a.htm
 +}}
 +{{p}}
 +==Suma y resta de números naturales==
 +{{Suma y resta de números naturales}}
{{p}} {{p}}
-==Resta y división de naturales==+===Suma===
-La '''resta''' (o substracción) y la '''división''' (o cociente) de dos números naturales no siempre es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son '''[http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica leyes de composición externa]'''.+{{suma de naturales}}
{{p}} {{p}}
-===Propiedades de la suma y el producto de naturales===+===Propiedades de la suma de números naturales===
-La suma y la multiplicación cumplen las siguientes propiedades:+{{Propiedades de la suma de números naturales}}
-{{Caja Amarilla|texto=+{{p}}
-*'''Propiedad asociativa:''' +===Resta===
-::<math>(a+b)+c=a+(b+c)\,\!</math>+{{Resta de naturales}}
-::<math>(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b \cdot c)</math>+{{p}}
-*'''Propiedad conmutativa:''' +==Multiplicación o producto de números naturales==
-::<math>a+b=b+a\,\!</math>+{{Multiplicacion de naturales}}
-::<math>a \cdot b=b \cdot a</math>+{{p}}
-*'''Propiedad distributiva:''' +===Propiedades de la multiplicación de números naturales===
-::<math>a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c</math>+{{Propiedades de la multiplicación de números naturales}}
 +{{p}}
 +===Producto por 10, 100, 1000, ....===
 +{{Producto por 10, 100, 1000}}
 +{{p}}
 +==División de números naturales==
 +{{División de naturales}}
 +{{p}}
 +===Cociente por defecto y por exceso===
 +{{Cociente por defecto y por exceso}}
 +{{p}}
 +===Propiedades de la división de números naturales===
 +{{Propiedades de la división de números naturales}}
 +{{p}}
 +==Operaciones combinadas==
 +{{Operaciones combinadas con naturales}}
 +{{p}}
 +==Calculadora==
 +===Suma, resta, multiplicación y división===
 +{{Casio FX-100MS: Suma, resta, multiplicación y división}}
 + 
 +===Paréntesis===
 +{{Casio FX-100MS: Paréntesis}}
 + 
 +==Problemas==
 +{{AI_enlace
 +|titulo1=Autoevaluación
 +|descripcion=Problemas de autoevaluación sobre números naturales.
 +|url1=http://es.educaplay.com/es/recursoseducativos/1145104/numeros_naturales___6__.htm
}} }}
-{{p}} 
{{ejercicio {{ejercicio
|titulo=Problema: ''Operaciones con naturales'' |titulo=Problema: ''Operaciones con naturales''
Línea 34: Línea 69:
}} }}
}} }}
-{{p}} 
-==Sacar factor común== 
-La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones '''sacando factor común'''. Veamos un ejemplo 
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo 
-|titulo=Ejemplo: ''Sacar factor común'' 
-|enunciado= 
-:Saca factor común en la expresión <math>16xyz-24xz+4x\;\!</math> 
-|sol= 
-El factor común, que se repite en los tres sumandos, es <math>4x\,\!</math>. Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común <math>4x\,\!</math>, dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:{{p}} 
-<center><math>16xyz-24xz+4x\;\!=</math>{{p}} 
-<math>(4x) \cdot 4yz - (4x) \cdot 6z + (4x) \cdot 1=\;\!</math>{{p}} 
-<math>4x \cdot (4yz-6z+1)</math></center> 
-}} 
-{{p}} 
-{{ejercicio 
-|titulo=Ejercicios: ''Sacar factor común'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]
-|enunciado=+
- +
-'''1. '''Extrae factor común:+
- +
-:a) <math>-18a+20a-10a\,\!</math>{{b}}b) <math>15x-60x^2\,\!</math>{{b}}c) <math>5ba^2-3ab+2ba^3\;\!</math>+
-<p></p>+
-|sol=+
-a) <math>-8a\,\!</math>{{b}}b) <math>15x \cdot (1-4x)\,\!</math>{{b}}c) <math>ab \cdot (5a-3+2a^2)</math>+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-==División con naturales==+
-{{Caja_Amarilla|texto=La '''división''' puede verse como un reparto de un número de elementos ('''dividendo''') en un número de partes iguales ('''divisor'''), que da como resultado el número de elementos que corresponden a cada parte ('''cociente''') y un posible número de elementos sobrantes ('''resto'''). Si el resto es cero la división se llama '''exacta''', si no, se llama '''entera'''.+
-}}{{p}}+
-===Algoritmo de la división===+
-{{Teorema+
-|titulo=Algoritmo de la división+
-|enunciado=+
-:En toda división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.+
-{{caja|contenido=<math>D=d \cdot c + r</math>}}+
-:donde <math>D\;\!</math> es el dividendo, <math>d\;\!</math> el divisor, <math>c\;\!</math> el cociente y <math>r\;\!</math> el resto.+
-|demo=+
-Ver demostración en [http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_la_divisi%C3%B3n Wikipedia]+
-}}+
-{{p}}+
-{{ejercicio+
-|titulo=Problema: ''División con naturales''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-'''1. '''Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?+
-|sol=+
-El divisor es 14 (Aplicando la regla de la división)+
-}}+
-}}+

Revisión actual

Menú:
Enlaces internos Para repasar Para ampliar Enlaces externos
Indice
Descartes
Manual Casio
Operaciones I
Operaciones II
Tablas de multiplicar
Mi libreta 		WIRIS
Geogebra
Calculadora
Números naturales
Aritmética

Tabla de contenidos

[editar]

Introducción

Para empezar     Descripción:
  • Sabrías sumar de forma fácil y sin calculadora los 100 primeros números naturales?
  • El misterioso número 6174.

[editar]

Suma y resta de números naturales

Suma y resta de números naturales. Propiedades (7'28")     Sinopsis:

Videotutorial que resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la suma y resta de números naturales y sus propiedades.

Suma y resta de números naturales. Propiedades     Descripción:

Practica con las operaciones de suma y resta de números naturales y con sus propiedades.

[editar]

Suma

  • Sumar es unir, juntar, añadir.
  • La suma o adición de dos números naturales, a y b, da como resultado otro número natural, c. Se representa: a+b=c.
    • a y b reciben el nombre de sumandos.
    • El resultado, c, se denomina suma.

video
Suma de números naturales
Tutorial 1 (0'18")     Sinopsis:

El concepto de adición o suma en el conjunto de los números naturales.

Tutorial 2 (2'52")     Sinopsis:

El concepto de adición o suma en el conjunto de los números naturales.

Ejercicio 1 (4'05")     Sinopsis:

Calcula:

a) 51+27\;

b) 435+67\;

c) 542+1287+79\;

d) 51+27\;

Ejercicio 2 (3'29")     Sinopsis:

Calcula: 3081+56+310\;

Ejercicio 3 (4'03")     Sinopsis:

Calcula: 12187+1722+301+45\;

Ejercicio 4 (3'17")     Sinopsis:

Calcula: 4310+216+1062+6+55\;

Actividades: Cálculo mental con sumas     Descripción:

Cálculo mental con sumas.

[editar]

Propiedades de la suma de números naturales

ejercicio

Propiedades de la suma

  • Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b = b+a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

0 + a = a \,

ejercicio
Ejemplo:

Conmutativa:

8 + 6 = 6 + 8\,

14 = 14\,

Asociativa:

( 3 + 2 ) + 6 = 3 + ( 2 + 6 )\,

5 + 6 = 3 + 8\,

11 = 11\,

Elemento neutro:

3 + 0 = 3\,

video
Propiedades de la suma de números naturales
Tutorial 1 (3'31")     Sinopsis:

Propiedades de la suma de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 2 (4'34")     Sinopsis:

Propiedades de la suma de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 3a: Prop. conmutativa y asociativa (3'47")     Sinopsis:

Propiedades conmutativa y asociativa de la suma de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 3b: El elemento neutro (3'04")     Sinopsis:

El elemento neutro de la suma y del producto de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 4: Prop. conmutativa y asociativa (8'21")     Sinopsis:

A look behind the fundamental properties of the most basic arithmetic operation, addition.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Tutorial 5: Utilidad de las propiedades (3'04")     Sinopsis:

Aplicación de las propiedades asociativa y conmutativa de la suma. Ejemplos.

Ejercicio 1 (2'16")     Sinopsis:

Usa la propiedad conmutativa de la suma para escribir la expresión 5 + 8 + 5 de una manera diferente. Comprueba que ambas expresiones dan el mismo resultado.

Ejercicio 2 (2'06")     Sinopsis:

Usa la propiedad asociativa de la suma para escribir la expresión (77 + 2) + 2 de una manera diferente. Comprueba que ambas expresiones dan el mismo resultado.

video
Propiedades de la suma de números naturales
Actividad     Descripción:

Propiedades de la suma de números naturales.

Autoevaluación     Descripción:

Propiedades de la suma de números naturales.

[editar]

Resta

  • Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
  • La resta o sustracción de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
  • a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.

nota
Observación:

La resta de números naturales no cumple las propiedades de la suma:

  • No es operación interna: 1-3 \notin \mathbb{N}.
  • No cumple la propiedad conmutativa: 5-2 \ne 2-5
  • No cumple la propiedad asociativa: 4-(3-2) \ne (4-3)-2

video
Resta de números naturales
Tutorial 1 (4'10")     Sinopsis:

El concepto de sustracción en el conjunto de los números naturales.

Tutorial 2 (8'01")     Sinopsis:

Repaso de primaria sobre resta de números naturales.

Ejercicio 1 (5'38")     Sinopsis:

Calcula:

a) 486-144\;

b) 4542-768\;

Ejercicio 2 (3'10")     Sinopsis:

Calcula: 9282-3521\;

Ejercicio 3 (4'25")     Sinopsis:

Calcula: 12504-9377\;

Ejercicio 4 (4'39")     Sinopsis:

Calcula: 10000-9112\;

Actividades: Cálculo mental con restas     Descripción:

Cálculo mental con restas.

Autoevaluación: Resta de números naturales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la resta de números naturales.

[editar]

Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

Multiplicación de números naturales. Propiedades (9'54")     Sinopsis:

Videotutorial que resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la multiplicación de números naturales y sus propiedades.

  • Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
  • La multiplicación o producto de dos números naturales, a\; y b\;, se representa a \cdot b = c.
  • a\; y b\; se llaman factores y c se denomina producto.

ejercicio
Ejemplo

Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:

250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250 €

video
Multiplicación de números naturales
Tutorial (3'07")     Sinopsis:

El concepto de multiplicación en el conjunto de los números naturales.

Ejercicio 1 (5'00")     Sinopsis:

Calcula:

a) 457 \cdot 6\;

b) 5236 \cdot 25\;

Ejercicio 2 (2'16")     Sinopsis:

Calcula: 5216 \cdot 4\;

Ejercicio 3 (2'51")     Sinopsis:

Calcula: 16349 \cdot 8\;

Ejercicio 4 (5'29")     Sinopsis:

Calcula: 3477 \cdot 27\;

Ejercicio 5 (5'58")     Sinopsis:

Calcula: 73914 \cdot 83\;

Ejercicio 6 (6'33")     Sinopsis:

Calcula: 26715 \cdot 317\;

Ejercicio 7 (5'52")     Sinopsis:

Calcula: 723190 \cdot 529\;

Actividades: Cálculo mental con multiplicaciones     Descripción:

Cálculo mental con multiplicaciones.

video
Problemas
Problema 1     Descripción:

Para construir con palillos una fila de cuatro cuadrados contiguos se necesitan 13 palillos. ¿Cuántos palillos se necesitarán para construir una fila de 26 cuadrados contiguos?

Problema 2     Descripción:

Si 8 máquinas producen 1500 piezas, ¿cuántas piezas fabricarán 40 máquinas del mismo tipo?

[editar]

Propiedades de la multiplicación de números naturales

ejercicio

Propiedades de la multiplicación

  • Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:
a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a \cdot b = b \cdot a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

  • Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 \cdot a = a \,

ejercicio
Ejemplos:

Conmutativa:

8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,

48 = 48\,

Asociativa:

( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,

6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,

36 = 36\,

Distributiva:

3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,

3 \cdot 8 = 6 + 18 \,

24 = 24\,

video
Propiedades de la multiplicación de números naturales
Tutorial 1a: Propiedades conmutativa y asociativa (3'17")     Sinopsis:

Propiedades conmutativa y asociativa del producto de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 1b: Propiedad distributiva (3'20")     Sinopsis:

Propiedad distributiva de los números naturales. Ejemplos.

Tutorial 1c: El elemento neutro (3'04")     Sinopsis:

El elemento neutro de la suma y del producto de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 2: Propiedad distributiva y extracción de factor común (7'08")     Sinopsis:

Ejemplos de uso de la propiedad distributiva y de cómo se saca factor común.

Tutorial 3a: Propiedad asociativa y conmutativa (8'40")     Sinopsis:

Propiedad asociativa y conmutativa de forma visual.

Tutorial 3b: Propiedad distributiva (11'39")     Sinopsis:

Propiedad distributiva de forma visual.

Tutorial 3c: Utilidad de la propiedad asociativa (8'40")     Sinopsis:

Más formas de pensar en la multiplicación. Multiplicando usando la propiedad asociativa.

Tutorial 3d: Utilidad de la propiedad distributiva (6'25")     Sinopsis:

Otra forma de multiplicar usando la propiedad distributiva.

Tutorial 3e: Elemento neutro (1'36")     Sinopsis:

El elemento neutro de la multiplicación de números naturales es el 1.

Tutorial 4a: Propiedad conmutativa (6'23")     Sinopsis:

The commutative property is common to the operations of both addition and multiplication and is an important property of many mathematical systems.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Tutorial 4b: Propiedades asociativa y distributiva (5'23")     Sinopsis:

A look at the logic behind the associative and distributive properties of multiplication.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Ejercicio 1 (4'02")     Sinopsis:

Usa la propiedad conmutativa de la multiplicación para multiplicar 2 · 34 de diferente manera y comprueba que se obtienen los mismos resultados.

Ejercicio 2 (2'47")     Sinopsis:

Usa la propiedad asociativa de la multiplicación para multiplicar (12 · 3) · 10 de diferente manera y comprueba que se obtienen los mismos resultados.

Ejercicio 3 (2'36")     Sinopsis:

Usa la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma para calcular 4·(8 + 3).

Ejercicio 4 (1'48")     Sinopsis:

Usa la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la resta para calcular 5·(9 - 4).

Ejercicio 5 (4'08")     Sinopsis:

Usa la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma para sacar factor común en las siguientes expresiones:

a) 20 + 30
b) 90 + 27
c) 55 + 35
d) 12 + 75
Ejercicio 6 (4'02")     Sinopsis:

Multiplica 6 · 7981 usando la propiedad distributiva.

Ejercicio 7 (6'48")     Sinopsis:

Multiplica 78 · 65 usando la propiedad distributiva.

video
Propiedades del producto de números naturales

Propiedad conmutativa:

Actividad 1     Descripción:

Introducción a la propiedad conmutativa del producto de números naturales.

Actividad 2     Descripción:

Resumen de la propiedad conmutativa del producto de números naturales.

Autoevaluación     Descripción:

Propiedad conmutativa del producto de números naturales.

Propiedad asociativa:

Actividad 1     Descripción:

Introducción a la propiedad asociativa del producto de números naturales.

Actividad 2     Descripción:

Resumen de la propiedad asociativa del producto de números naturales.

Autoevaluación     Descripción:

Propiedad asociativa del producto de números naturales.

Propiedad distributiva:

Actividad 1     Descripción:

Introducción a la propiedad distributiva del producto sobre la suma de números naturales.

Actividad 2     Descripción:

Resumen de la propiedad distributiva del producto sobre la suma de números naturales.

Autoevaluación 1     Descripción:

Propiedad distributiva del producto sobre la suma de números naturales.

Autoevaluación 2     Descripción:

Saca factor común usando la propiedad distributiva del producto sobre la suma de números naturales.

Propiedades de la multiplicación:

Actividad 1     Descripción:

Propiedades del producto de números naturales.

Autoevaluación 2     Descripción:

Propiedades del producto de números naturales.

Autoevaluación 3     Descripción:

Propiedades del producto de números naturales.

Autoevaluación 4     Descripción:

Propiedades del producto de números naturales.

ejercicio

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Solución:

Podemos resolver el problema de dos formas:

  • Primera forma:
Alfredo-----> 15 \cdot 4 = 60
Teresa------> 15 \cdot 2 = 30
Total---------> 15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\, €
  • Segunda forma:
Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas
Luego en total gastan entre los dos: 15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90 €

[editar]

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

ejercicio
Ejemplos
  • 12 \cdot 10 = 120
  • 12 \cdot 100 = 1200
  • 12 \cdot 1000 = 12000

video
Multiplicación por 10, 100 y 1000
Tutorial 1 (5'15")     Sinopsis:

Multiplicar números de 1 dígito por 10, 100 y 1000.

Tutorial 2 (3'06")     Sinopsis:

Multiplicando números de 1 dígito por múltiplos de 10.

Tutorial 3 (6'36")     Sinopsis:

Multiplicar números de 1 dígito por múltiplos de 10, 100 y 1000.

Tutorial 4 (4'39")     Sinopsis:

Multiplicando dos múltiplos de 10.

video
Multiplicación por 10, 100 y 1000
Autoevaluación 1     Descripción:

Multiplica números de 1 dígito por 10, 100 y 1000.

Autoevaluación 2     Descripción:

Multiplica por decenas.

Autoevaluación 3     Descripción:

Multiplica dos múltiplos de 10.

Autoevaluación 4     Descripción:

Multiplica números de 1 dígito por un múltiplo de 10, 100 y 1000

[editar]

División de números naturales

El siguiente video resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la división de números naturales y sus propiedades.

División de números naturales. Propiedades (7'11")     Sinopsis:

Videotutorial que resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la división de números naturales y sus propiedades.

Sean D\; y d\; dos números naturales, con d \ne 0.

  • La división o cociente de D\; entre d\; consiste en ver cuantas veces está contenido d\; en D\;.
    • Se representa por D : d=c\;.
    • A D\; lo llamaremos dividendo, a d\; divisor y al resultado de la división, c\;, cociente.

  • Vamos a distinguir dos casos:
    • Si d\; está contenido en D\; un número "exacto" de veces (el cociente, c\;, es un número natural tal que D=d \cdot c\;), diremos que la división es exacta.
    • En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural r\;, menor que d\;, de manera que si dividimos D-r\; entre d\;, la división es exacta. A dicho número r\; lo llamaremos resto o residuo de la división.
20:4 = 5
Aumentar
20:4 = 5

ejercicio

Algoritmo de la división

Dados D\;\! y d\;\! , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, c\;\! y r\;\! , tales que:

D=d \cdot c + r

D\;\! es el dividendo, d\;\! el divisor, c\;\! el cociente y r\;\! el resto.

Demostración:
Ver demostración en Wikipedia

video
División de números naturales
Tutorial 1 (3'09")     Sinopsis:

El concepto de división exacta en el conjunto de los números naturales.

Tutorial 2 (7'08")     Sinopsis:

División exacta y entera de números naturales. Algoritmo de la división. Ejemplos.

Tutorial 1: Dividir por 1 o 2 cifras. (19'01")     Sinopsis:

Repaso sobre divisiones de números naturales por 1 o 2 cifras.

Tutorial 2: : Dividir por 1 cifra. (10'45")     Sinopsis:

Aprende a dividir por una cifra

Tutorial 3: Dividir por 2 cifras. (8'09")     Sinopsis:

Aprende a dividir por dos cifras

División por 1, 2 y 3 cifras     Descripción:

Ejercicios de divisiones por 1, 2 o 3 cifras.

video
División de números naturales
Actividad 1: División exacta     Descripción:

En esta actividad podrás comprobar si una división dada es exacta o no.

Actividad 2: Cálculo mental     Descripción:
Actividad 3: La división entera     Descripción:

Cálculo con divisiones.

Actividad 4     Descripción:

En una división con resto 24, ¿cuál es el valor mínimo del divisor?

Autoevaluación     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la división de números naturales y sus propiedades.

wolfram
División de números naturales
wolfram

Actividad: Cociente y resto

Calcula:

a) El cociente de dividir 123 entre 20.
b) El resto de dividir 123 entre 20.
c) Comprueba que se cumple el algoritmo de la división con los apartados anteriores.


Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Quotient[123,20]
b) Remainder[123,20]
c) 123=20*Quotient[123,20]+Remainder[123,20]

ejercicio

Ejercicio: División con naturales

Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?
Solución:
El divisor es 14 (Aplicando la regla de la división)

[editar]

Cociente por defecto y por exceso

ejercicio

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?
b) ¿Cuántos taxis se necesitan?
c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Solución:

a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. (43= 10 \cdot 4 + 3)
b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre.

c) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11.

[editar]

Propiedades de la división de números naturales

ejercicio

Propiedades

  • No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural
  • La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
  • Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.
  • Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.
Demostración:

Veamos ejemplos que ilustren estas propiedades:

  • La división de números naturales no es una operación interna: 3:5 \notin \mathbb{N}

  • La división de números naturales no cumple la propiedad conmutativa: 6:3 \ne 3:6
  • La división de números naturales no cumple la propiedad asociativa: 90:(6:3) \ne (90:6):3
  • La división de números naturales no cumple la propiedad distributiva: 12:(2+4) \ne (12:2)+(12:4)

  • Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.: 0:5=0\;

Para la última propiedad veremos un ejemplo:

Hagamos la división 360 : 50 \;

360 =50 \cdot 7 + 10 \;        (Cociente=7; Resto=10)

Ahora dividimos el dividendo y el divisor por 10:

360:10=36 \, ; \qquad 50:10=5 \;

y volvemos a hacer la división:

36 = 5 \cdot 7 + 1 \;        (Cociente=7; Resto=1)

Es decir, el cociente no varía y el resto queda dividido por 10.

[editar]

Operaciones combinadas

ejercicio

Jerarquía de las operaciones

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las multiplicaciones y las divisiones.
  2. Las sumas y las restas.

nota
Observaciones:
  • Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
  • Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
  • En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.
  • No se incluyen las potencias ni las raíces en este esquema, pues estas operaciones se veran en otro tema. Lo que haremos será resolverlas después de resolver los paréntesis, antes de las multiplicaciones y divisiones.

ejercicio
Ejemplo:

Efectúa las siguientes operaciones combinadas: 8+4 \cdot (5-2)

Solución:

  1. Los paréntesis \rightarrow 8+4 \cdot (5-2)= 8 + 4 \cdot 3
  2. Las multiplicaciones y divisiones \rightarrow 8 + 4 \cdot 3 = 8 + 12
  3. Las sumas y restas \rightarrow 8 + 12 = 20

video
Operaciones combinadas con números naturales
Tutorial 1 (6'41")     Sinopsis:

Prioridad en las operaciones combinadas de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 2 (6'34")     Sinopsis:

Prioridad en las operaciones combinadas de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 3 (13'08")     Sinopsis:

Prioridad en las operaciones combinadas de números naturales. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'16")     Sinopsis:

Prioridad en las operaciones combinadas de números naturales:

a) 5+4 \cdot 3+24:12\;

b) 7 \cdot (1+3)-(8-5) \cdot 3\;

c) (11-6) \cdot 5-2+(10-2 \cdot 2):2\;

Ejercicio 2 (6'17")     Sinopsis:

Calcula:

8+5 \cdot 4-(6+10:2)+44
Ejercicio 3 (5'21")     Sinopsis:

Calcula:

7 \cdot 2 + (7+3 \cdot (5-2)):4 \cdot 2
Ejercicio 4 (1'51")     Sinopsis:

Escribe una expresión numérica que modele la siguiente situación, sin efectuar las operaciones:

"Arturo encontró 4 canicas y las agregó a las 5 canicas que ya traía en el bolsillo. Más tarde participó en una competición con sus amigos en donde triplicó sus canicas."

Ejercicio 5 (2'29")     Sinopsis:

Calcula las siguientes expresiones y explica por qué los resultados obtenidos son diferentes:

a) (8-3) \cdot 8-3\;
b) 8-3 \cdot 8-3\;
Ejercicio 6 (9'00")     Sinopsis:

Correspondiente a 1º de ESO, en este vídeo se calculan una serie de operaciones combinadas con números naturales.

Ejercicio 7 (10'41")     Sinopsis:

Correspondiente a 1º de ESO, en este vídeo se calculan una serie de operaciones combinadas con números naturales.

Ejercicio 8 (11'28")     Sinopsis:

Correspondiente a 1º de ESO, en este vídeo se calculan una serie de operaciones combinadas con números naturales.

video
Operaciones combinadas con números naturales
Actividad 1a     Descripción:

Practica las operaciones combinadas con números naturales y con su jerarquía.

Actividad 1b     Descripción:

Ejercicios sobre operaciones combinadas.

Autoevaluación 1     Descripción:

Actividades de sumas y restas con 3 números.

Autoevaluación 2a     Descripción:

Operaciones combinadas sencillas.

Autoevaluación 2b     Descripción:

Operaciones combinadas con paréntesis.

Autoevaluación 2c     Descripción:

Traduce expresiones con paréntesis.

Autoevaluación 2d     Descripción:

Crea expresiones con paréntesis a partir de enunciados.

Autoevaluación 3a     Descripción:

Operaciones combinadas más complejas.

Autoevaluación 3b     Descripción:

Operaciones combinadas a partir de enunciados.

Aviso: Debes introducir la expresión sin efectuar los cálculos. Usa "x" para indicar las multiplicaciones.

Autoevaluación 4a     Descripción:

En esta escena podrás practicar la suma y resta con 4 números naturales, con o sin paréntesis.

Autoevaluación 4b     Descripción:

En esta escena podrás practicar operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis, con 3 números naturales.

Autoevaluación 4c     Descripción:

En esta escena podrás practicar operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis, con 4 números naturales.

Autoevaluación 5     Descripción:

Operaciones combinadas con 3 números.

Autoevaluación 6     Descripción:

Operaciones combinadas con 4 números:

En esta actividad debes escribir en la ventana bajo la escena el número que sigue al resolver la expresión y pulsar "intro". Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá.

Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.

Al picar sobre inicio aparecerá otra expresión diferente de operaciones combinadas. Resuelve varias de ellas.

Autoevaluación 7     Descripción:

Operaciones combinadas más complejas (más de 4 números).

wolfram
Operaciones combinadas
wolfram

Actividad: Operaciones combinadas

Calcula:

a) 12+3 \cdot 2-(5-3)


Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) 12+3·2-(5-3)

[editar]

Calculadora

[editar]

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

Ejemplo:
  • Operación: \cfrac {4}{2}- 3+7 \cdot 8


  • Procedimiento: 4\;\! División 2\;\! Resta 3\;\! Suma 7\;\! Multiplicación 8\;\! Obtener resultado


  • Solución: 55\;\!
[editar]

Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

Ejemplo:
  • Operación: (2+3) \cdot 4


  • Procedimiento: Abre paréntesis2\;\! Suma 3\;\!Cierra paréntesis Multiplicación 4\;\! Obtener resultado


  • Solución: 20\;\!
[editar]

Problemas

Autoevaluación     Descripción:

Problemas de autoevaluación sobre números naturales.

ejercicio

Problema: Operaciones con naturales

1. Una empresa compra una máquina de café por 6000 €. Cada mes se gasta 100 € en mantenimiento pero obtiene 350 € por la venta de café. Al cabo de 2 años y medio la vende por 4920 €. ¿Qué beneficio le ha aportado la máquina?
Solución:
6420 €

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales:_Operaciones"
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda