Radicales (1ºBach)

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{{p}} {{p}}
-==Raíces==+__TOC__
-{{Caja_Amarilla|texto=+(pág. 34)
-Sdefine '''raíz n-sima''' de un número real <math>a\;\!</math> (y se representa por <math>\sqrt[n]{a}</math>) como otro número real <math>b\;\!</math> tal que <math>b^n =a\;\!</math>. <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math>+{{Raíces}}
- +{{Radicales (nivel básico)}}
-Es decir: +{{Radicales (ampliación)}}
- +{{p}}
-<center><math>b=\sqrt[n]{a} \iff b^n =a</math></center>+==Racionalización de denominadores==
 +{{Racionalizacion}}
-El número <math>a\;\!</math> se llama '''radicando''', el número <math>n\;\!</math>, '''índice''' y <math>b\;\!</math> es la '''raíz'''. +==Ejercicios==
 +{{Ejercicios_vitutor
 +|titulo1=Ejercicios: ''Radicales''
 +|descripcion=Ejercicios resueltos sobre radicales.
 +|url1=http://www.vitutor.com/di/re/r_e.html
}} }}
-{{p}}+{{Videotutoriales|titulo=Radicales|enunciado=
-===La raíz como potencia de exponente fraccionario===+{{Video_enlace_matemovil
-{{Teorema|+|titulo1=Ejercicio 1
-titulo=Proposición+|duracion=9'52"
-|enunciado=+|sinopsis=
-*Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, <math>a\;\!</math>, y el exponente es <math>\cfrac{1}{n}</math>, siendo <math>n\;\!</math> el índice de la raíz. Ésto es:{{p}}+a) Transforma en radicales simples: <math>\sqrt{13-\sqrt{88}}</math>
-{{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}</math>}}+
-*De forma similar, también se cumple:{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}</math>}}+
-|demo=+
-Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz.+
-<center><math>(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n} \cdot n}=a^1=a</math></center>+b) Ordena: <math>\sqrt[2]{625} \ , \sqrt[40]{4^8} \ , \sqrt[60]{4^12}</math>
-Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga: 
- 
-<center><math>(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m</math></center> 
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=AxgLx8oD28Q&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=43
}} }}
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=+{{Video_enlace_matemovil
-{{p}}+|titulo1=Ejercicio 2
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:+|duracion=9'07"
 +|sinopsis=
 +a) Reduce: <math>\sqrt{\sqrt{41+12\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}}</math>
-<center><iframe>+b) Racionaliza: <math>\cfrac{\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}}</math>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_2.html+
-width=500+
-height=230+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Svyt8TclakU&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=44
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matemovil
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario''+|titulo1=Ejercicio 3
-|enunciado=+|duracion=18'11"
-::Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor: +|sinopsis=Resuelve:
-::<math>a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}</math>+
-|sol=+
-Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.+
-{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias33_2.html+
-width=570+
-height=240+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias33_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-{{p}}+
-==Radicales==+a) <math>\cfrac{x}{\sqrt[x]{x}}=1</math>
-===Definición===+
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''radical''' a cualquier expresión en la que aparezcan raíces}}+
-{{p}}+
-===Operaciones con radicales del mismo índice===+b) <math>\cfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}+\cfrac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\cfrac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{x}}}</math>
-{{p}}+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-'''Producto:'''{{p}}+
-Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos+
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=+
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales2_1.html+
-width=670+
-height=200+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales2_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-----+
-'''Cociente: '''{{p}}+
-Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.+
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido= 
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno. 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales2_2.html 
-width=670 
-height=200 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales2_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
----- 
-'''Potencia: ''' 
-{{p}} 
-Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice. 
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4ZRqV1Zkj8A&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=45
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.+
-<center><iframe>+
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-width=670+
-height=200+
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-</iframe></center>+
}} }}
-----+{{Video_enlace_matemovil
-'''Radical:'''+|titulo1=Ejercicio 4
-{{p}}+|duracion=8'17"
-Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.+|sinopsis=Resuelve: <math>\cfrac{2\sqrt{2\sqrt{8}}}{16^{x-1}}=\cfrac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}{4}</math>
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido= 
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno. 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales2_4.html 
-width=670 
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-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales2_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Radicales''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1.''' Operaciones con radicales del mismo índice. 
-|actividad= 
-Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.  
-<center><iframe>+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=MxWGvj3p15Y&list=PL3KGq8pH1bFRmhsCe2sPnUj199NNvQWQZ&index=46
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales2_5.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
}} }}
}} }}
-{{p}}+===Ejercicios propuestos===
-===Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando===+{{ejercicio
-{{Caja_Amarilla|texto=+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Radicales''
-'''Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.+|cuerpo=
-{{p}}+(Pág. 34-36)
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=+
-#<math>3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}</math>+
-#<math>3\sqrt{2}-\sqrt{3}=</math> (No se puede simplificar)+
-#<math>3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=</math> (No se puede simplificar)+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-===Extracción e introducción de factores en un radical===+[[Imagen:red_star.png|12px]]1a,c,e; 3a; 4b; 5a,d,e; 6a,d; 7c,d; 8c,e,f; 9b,d,f,i; 10a,d,f,h
-====Extracción de factores====+
-{{Caja_Amarilla|texto=Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto. +
-{{p}}+
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=+
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales3_1.html+
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales3_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-====Introducción de factores====+
-{{Caja_Amarilla|texto=Para introducir factores dentro de un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical. +
-{{p}}+
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=+
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.+
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales3_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Introducción y extracción de factores de un radical''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1.''' Introduce y extráe factores de radicales.+
-|actividad=+
-Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien. +
-<center><iframe>+[[Imagen:yellow_star.png|12px]]1b,d,f; 3b; 4a,c; 5b,c,f; 6b,c; 7a,b; 8a,b,d; 9a,c,e,g,h; 10b,c,e,g
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales3_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
}} }}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

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Tabla de contenidos

[esconder]

(pág. 34)

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Raíz n-ésima de un número

La raíz n-ésima (n \in \mathbb{N},\ n>1)de un número a \; es otro número b \; tal que b^n =a\;\! y que escribimos simbólicamente b=\sqrt[n]{a}.

\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a

El número a\;\! se llama radicando, el número n\;\! índice y b\;\! la raíz.

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Propiedades de las raíces

ejercicio

Propiedades

  • \sqrt[n]{1}=1  ;  \sqrt[n]{0}=0 , para cualquier valor del índice n\;\!.
  • Si a>0\;\!, \sqrt[n]{a} existe cualquiera que sea el índice n\;\!.
  • Si a<0\;\!, \sqrt[n]{a} sólo existe si el índice n\;\! es impar.
  • Si el índice n\;\! es par y el radicando a>0\;\!, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
  • Si el índice n\;\! es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando a\;\!.

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La raíz como potencia de exponente fraccionario

ejercicio

Proposición: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

ejercicio

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario y calcula su valor:

a)\ \sqrt[3] {125^4} \quad b)\ \sqrt {100^{-3}}

ejercicio

Propiedades de las potencias de exponente fraccionario

Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

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Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas de un número a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

ejercicio

Raíces exactas e inexactas

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, los exponentes de éstos deben ser todos divisibles por el índice de la raíz.

ejercicio

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0.0256}\quad c) \sqrt[3]{192}

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Raíces de fracciones

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Calculadora

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Raíz cuadrada

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

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Raíz cúbica

Calculadora

Calculadora: Raíz cúbica

Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla Raíz cúbica.

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Otras raíces

Calculadora

Calculadora: Otras raíces

Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla Raíz de índice x.

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Radical

  • Un radical es cualquier expresión del tipo:

k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}
  • Si dos radicales tienen el mismo índice diremos que son homogéneos.
  • Si dos radicales tienen el mismo índice y el mismo radicando diremos que son semejantes.

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Radicales equivalentes

Dos o más radicales son equivalentes si se pueden poner como potencias de exponente fraccionario con la misma base y cuyos exponentes sean fracciones equivalentes.

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Reducción de radicales a índice común

La amplificación y simplificación de radicales nos va a permitir reducir radicales a índice común realizando el mínimo común múltiplo de los índice al igual que para reducir fracciones a común denominador se hacía el m.c.m. de los denominadores. No olvidemos que índice y denominador del exponente es lo mismo.

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Ordenación de radicales

La reducción de radicales a índice común nos va a permitir ordenar cómodamente varios radicales:

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Operaciones con radicales

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Propiedades de las operaciones con radicales

ejercicio

Propiedades de las operaciones con radicales

1. \sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}

2. \left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}

3. \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}

4. \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}

5. \cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}

ejercicio

Ejercicios resueltos: Radicales. Propiedades

Simplificar: a) \sqrt[12]{x^9},    b) \left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6,    c) \sqrt{\sqrt[3]{a}},    d) \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9},    e) \sqrt{12} : \sqrt{3}

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Suma y resta de radicales semejantes

Para sumar y restar radicales, éstos deben ser semejantes, es decir, tener el mismo radicando y el mismo índice. En tal caso el radical el radical resultante tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada uno de los radicales.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales semejantes

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

1. 3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}

2. 3\sqrt{2}-\sqrt{3}

3. 3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}

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Actividades

En los siguientes videotutoriales vamos a repasar las operaciones con radicales vistas hasta ahora, antes de pasar a ver otros casos de mayor dificultad.

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Extracción e introducción de factores en un radical

El siguiente videotutorial resume lo que se va a a ver en este apartado:

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Extracción de factores

ejercicio

Procedimiento

Para extraer factores de un radical se divide el exponente (m) del factor entre el índice (n) del radical. A continuación, se saca el factor elevado al cociente (c) de la división, quedando dentro del radical el factor elevado al resto (r).

\sqrt[n]{a^m}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}

Para extraer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

ejercicio

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: \sqrt[3]{6000}

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Introducción de factores

ejercicio

Procedimiento

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

a \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}

ejercicio

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: 10 \sqrt[3]{6}

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Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Resta los siguientes radicales: \sqrt{48}-\sqrt{75}

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Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

ejercicio

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Reduce a un solo radical \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}

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Potencias de radicales

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Radicales dobles (Avanzado)

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Actividades

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Racionalización de denominadores

Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador.

Los dos videotutoriales siguientes resumen lo que vamos a ver en este apartado:

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Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

ejercicio

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

ejercicio

Ejemplo: Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Racionalizar \frac{{6}}{\sqrt{2}}

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Caso 2: Denominador con otras raíces

ejercicio

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz de índice distinto de dos en el denominador, se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción por una raíz con el mismo índice en la que cada exponente de los factores del radicando se calculará como:

  1. La diferencia entre el índice del radical y el exponente actual, caso de que el índice sea mayor o igual que el exponente actual.
  2. La diferencia entre el exponente actual y el múltiplo del indice más cercano a dicho exponente, caso de que el exponente actual supere al índice.

ejercicio

Ejemplo: Caso 2: Denominador con otras raíces

Racionalizar \frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}

[editar]

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces cuadradas

ejercicio

Procedimiento

Para racionalizar fracciones en cuyo denominador aparezcan binomios con alguna raíz cuadrada, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador, esto es, por la misma expresión en la que solo se le cambia el signo del segundo término del binomio.

ejercicio

Ejemplo: Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Racionalizar \frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

[editar]

Caso 4: Denominador con sumas y restas de raíces cúbicas (Avanzado)

Para este caso deberás conocer primero las siguientes identidades de la suma y diferencia de cubos:

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Actividades

[editar]

Ejercicios

[editar]

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Radicales

(Pág. 34-36)

1a,c,e; 3a; 4b; 5a,d,e; 6a,d; 7c,d; 8c,e,f; 9b,d,f,i; 10a,d,f,h

1b,d,f; 3b; 4a,c; 5b,c,f; 6b,c; 7a,b; 8a,b,d; 9a,c,e,g,h; 10b,c,e,g

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