Plantilla:Función inversa (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión actual

Función inversa o recíproca

Si $f\;$ es una función que lleva elementos de $X\;$ en elementos de $Y\;$ , en ciertas condiciones será posible definir la aplicación $f^{-1}\;$ que realice el camino de vuelta de $Y\;$ a $X\;$ . En ese caso diremos que $f^{-1}\;$ es la función inversa o recíproca de $f\;$ . Formalmente:

Sea $f\;$ una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto $X\;$ y cuya imagen sea el conjunto $Y\;$ (en tal caso $f:X \rightarrow Y$ es biyectiva). Entonces, la función recíproca o inversa de $f\;$ , denotada $f^{-1}\;$ , es la función de dominio $Y\;$ e imagen $X\;$ definida por la siguiente regla:

$f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow{}f(x) = y \,\!$

Comprendiendo las funciones inversas (6'11") Sinopsis:

Introducción a las funciones inversas.

Propiedades

Sea $f \colon X \rightarrow Y$ una función y $f^{-1}\;$ su inversa:

Las gráficas de $f\;$ y $f^{-1}\;$ son simétricas respecto de la recta $y=x\;$ .
La función $f^{-1}\;$ , al igual que $f\;$ , es una función biyectiva, que queda determinada de modo único por $f\;$ y que cumple:

a) $f^{-1} \circ f = I_X$

b) $f \circ f^{-1}=I_Y$

donde $I_X\;$ e $I_Y\;$ son las funciones identidad en $X\;$ e $Y\;$ respectivamente.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ^–1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ^–1 lleva 3 de vuelta en a.

[editar]

Obtención de la expresión analítica de la función inversa

Procedimiento

Para intentar hallar la expresión analítica de la inversa de y=f(x):

Se despeja (si se puede) la variable "x" para ponerla en función de la variable "y".
Se intercambian las dos incógnitas (donde aparece "x" se pone "y" y viceversa).
La expresión resultante es la de la función inversa de f.

Obtención de la expresión analítica de la función inversa

Ejemplo 1 (11'55") Sinopsis:

1 ejemplo sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.

Ejemplos 2 (6'53") Sinopsis:

2 ejemplos sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.

Ejemplos 3 (13'30") Sinopsis:

Algunos ejemplos sobre el cálculo de la función inversa y sobre la composición de funciones.

Ejemplo 4 (8'22") Sinopsis:

Obtención de la función inversa de $f(x)=\cfrac{2x+3}{5-x}\;$ previa demostración de su inyectividad.

Ejemplo 5 (14'07") Sinopsis:

1 ejemplo sobre el cálculo de la función inversa de una función trigonométrica.

Ejemplo: Función inversa

Halla la función inversa de la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2\;$ :

Solución:

Como la función $f(x)=x^2\;$ no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y a los que si podamos calcular su inversa:

$f(x)=x^2= \begin{cases} f_1(x)=x^2 \ , & si \ x \ge 0 \rightarrow f_1^{-1}(x)=\sqrt{x} \\ f_2(x)=x^2 \ , & si \ x < 0 \rightarrow f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} \end{cases}$

En la siguiente escena puedes ver $f(x)=x^2\;$ (en verde), $f_1^{-1}(x)=\sqrt{x}$ (en amarillo), y $f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x}$ (en turquesa):

Click aquí si no se ve bien la escena

Función inversa o recíproca Descripción:

En esta escena podrás introducir la expresión analítica de una función y obtener la expresión analítica de su inversa, así como ver sus respectivas representaciones gráficas. También se te propondrán algunas actividades.

Obtención del rango o recorrido de una función. (9'33") Sinopsis:

Ejemplo sobre el cálculo del rango o recorrido de una función mediante el cálculo del dominio de su función inversa.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Funci%C3%B3n_inversa_%281%C2%BABach%29"

 {{Caja_Amarilla
 |texto=
-Sea <math>f\;</math> una función real [[Función biyectiva|biyectiva]], cuyo dominio sea el conjunto <math>X\;</math> y cuya imagen sea el conjunto <math>Y\;</math>. Entonces, la  '''función recíproca o inversa''' de <math>f\;</math>, denotada <math>f^{-1}\;</math>, es la función de dominio <math>Y\;</math> e imagen <math>X\;</math> definida por la siguiente regla:
+Sea <math>f\;</math> una función real [[Función inyectiva|inyectiva]], cuyo dominio sea el conjunto <math>X\;</math> y cuya imagen sea el conjunto <math>Y\;</math> (en tal caso <math>f:X \rightarrow Y</math> es [[Función biyectiva|biyectiva]]). Entonces, la  '''función recíproca o inversa''' de <math>f\;</math>, denotada <math>f^{-1}\;</math>, es la función de dominio <math>Y\;</math> e imagen <math>X\;</math> definida por la siguiente regla:
-<center><math>f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x \,\!</math></center>
+<center><math>f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow{}f(x) = y \,\!</math></center>
 }}
 {{p}}
-{{Teorema|titulo=Propiedades
+{{Video_enlace_khan
+|titulo1=Comprendiendo las funciones inversas
+|duracion=6'11"
+|sinopsis=Introducción a las funciones inversas.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=fD5K29ds-Zw
+}}
+{{p}}
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Propiedades
 |enunciado=Sea <math>f \colon X \rightarrow Y</math> una función y <math>f^{-1}\;</math> su inversa:
 {{p}}
 donde <math>I_X\;</math> e <math>I_Y\;</math> son las [[Función identidad|funciones identidad]] en <math>X\;</math> e <math>Y\;</math> respectivamente.
-|demo=
 }}
 }}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Función inversa''|cuerpo=
+==Obtención de la expresión analítica de la función inversa==
-{{ai_cuerpo
+{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento|enunciado=
-|enunciado='''Actividad 1.'''  Representación gráfica de una función <math>f(x)\;</math> y de su inversa <math>f^{-1}(x)\;</math>.
+Para intentar hallar la expresión analítica de la inversa de y=f(x):
-|actividad=
-En esta escena tienes la gráfica de la función <math>f(x) = x^3\;</math> (en verde) y la de <math>f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}</math> (en amarillo). Observa que son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, la recta <math>y=x\;</math> (en rojo).
+#Se despeja (si se puede) la variable "x" para ponerla en función de la variable "y".
+#Se intercambian las dos incógnitas (donde aparece "x" se pone "y" y viceversa).
+#La expresión resultante es la de la función inversa de f.
+}}
 {{p}}
-<center><iframe>
+{{Videotutoriales|titulo=Obtención de la expresión analítica de la función inversa|enunciado=
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Analisis/El_pinta_graficas/grafic_4f.html
+{{Video_enlace_khan
-width=450
+|titulo1=Ejemplo 1
-height=380
+|duracion=11'55"
-name=myframe
+|sinopsis=1 ejemplo sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.
-</iframe></center>
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=zdQr2IWmtfw
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Analisis/El_pinta_graficas/grafic_4f.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+}}
+{{p}}
-Prueba a cambiar también la función <math>f(x)=x^3\;</math> por otras funciones, por ejemplo, <math>f(x)=x^2\;</math>. ¿Quien sería su función inversa?. ¿Que ocurre?. Recuerda que para que una función tenga inversa debe ser [[Función inyectiva |inyectiva]].
+{{Video_enlace_khan
+|titulo1=Ejemplos 2
-No olvides pulsar "Intro" al cambiar cada función.
+|duracion=6'53"
+|sinopsis=2 ejemplos sobre el cáculo de la función inversa y su interpretación gráfica.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4QOo3Y1p8eM
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Ejemplos 3
+|duracion=13'30"
+|sinopsis=Algunos ejemplos sobre el cálculo de la función inversa y sobre la composición de funciones.
+|url1=http://www.unicoos.com/clase/matematicas/1-bachiller/funciones/composicion-de-funciones/composicion-de-funciones-y-funcion-inversa
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace_julioprofe
+|titulo1=Ejemplo 4
+|duracion=8'22"
+|sinopsis=Obtención de la función inversa de <math>f(x)=\cfrac{2x+3}{5-x}\;</math> previa demostración de su inyectividad.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TxRpKrQJsdw
+}}
+{{Video_enlace_khan
+|titulo1=Ejemplo 5
+|duracion=14'07"
+|sinopsis=1 ejemplo sobre el cálculo de la función inversa de una función trigonométrica.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3ivTz5obhj4
 }}
 }}
 |enunciado=Halla la función inversa de la función <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> definida por <math>f(x)=x^2\;</math>:
 |sol=
-Como la función <math>f(x)=x^2\;</math> no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y alos que si podamos calcular su inversa:
+Como la función <math>f(x)=x^2\;</math> no es inyectiva, no podemos calcular su inversa. No obstante, podemos descomponerla en dos trozos que si sean funciones inyectivas por separado y a los que si podamos calcular su inversa:
 <center><math>f(x)=x^2=
 </iframe></center>
 <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Analisis/El_pinta_graficas/grafic_4g.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+}}
+{{p}}
+{{Geogebra_enlace
+|descripcion=En esta escena podrás introducir la expresión analítica de una función y obtener la expresión analítica de su inversa, así como ver sus respectivas representaciones gráficas. También se te propondrán algunas actividades.
+|enlace=[https://ggbm.at/tWDeFVRJ Función inversa o recíproca]
+}}
+{{p}}
+{{Video_enlace_unicoos
+|titulo1=Obtención del rango o recorrido de una función.
+|duracion=9'33"
+|sinopsis=Ejemplo sobre el cálculo del rango o recorrido de una función mediante el cálculo del dominio de su función inversa.
+|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/funciones/funcion-inversa/rango-recorrido-o-imagen-de-una-funcion
 }}
 {{p}}

Plantilla:Función inversa (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión actual

Función inversa o recíproca

Obtención de la expresión analítica de la función inversa

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas