Cociente de polinomios (3ºESO Académicas)
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Revisión actual
Tabla de contenidos[esconder] |
(Pág. 90)
División de monomios
Entenderemos la división entre monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.
; 55) 
; 56) 
; 57) 
; 59) 
; 60) 
; 61) 
; 63) 
; 64) 
; 65) 
División de un polinomio entre un monomio
Para dividir un polinomio ente un monomio se divide cada uno de los monomios que componen el polinomio entre el monomio.
División de polinomios
La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.
Dados dos polinomios 
(dividendo) y 
(divisor) de modo que el grado de sea mayor o igual que el grado de y el grado de sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios 
(cociente) y 
(resto) tales que:
que también podemos representar como:
- El grado de es igual a la diferencia entre los grados de y , mientras que el grado de será, como máximo, un grado menor que .
- Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.
División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma 
.
Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,
.
en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes 
:
son los coeficientes del polinomio cociente 
entre 
.
entre 
entre 
Divisibilidad de polinomios
Polinomios múltiplos y divisores
- Un polinomio
es divisor de otro, 
y lo representaremos por 
, si la división 
es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio tal que 
.
- En tal caso, diremos que es divisible por y que es un múltiplo de .
- También diremos que y
son factores del polnomio .
:
La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.
Polinomios irreducibles
Un polinomio es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Se dice que el polinomio 
es el máximo común divisor de los polinomios y , y lo expresaremos:
![m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;](/wikipedia/images/math/c/6/6/c66f3168e53561a04ed46aade0f24ca0.png)
si es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.
:
![m.c.d \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^2(x-3)\;](/wikipedia/images/math/9/6/c/96c02ce39375f7c1585c25c27c0c0fcb.png)
Se dice que el polinomio 
es el mínimo común múltiplo de los polinomios y , y lo expresaremos:
![m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;](/wikipedia/images/math/2/2/1/221e514439439421dc1201091dd735b3.png)
si es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.
![m.c.m \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;](/wikipedia/images/math/8/d/5/8d598eb8a1613c40ffc2eebba001fa1f.png)
Raíces de un polinomio
Un número 
es una raíz o un cero de un polinomio , si 
.
Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación 
.
Teorema del factor
es una raíz de un polinomio si y solo si 
es un factor de dicho polinomio.
y, por el Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo como producto de otros polinomios con menor grado que el de partida.
Normalmente buscaremos la factorización máxima, que es la que se obtiene cuando los polinomios de la descomposición son irreducibles.
Por el teorema del factor, encontrar las raíces del polinomio nos ayudará a factorizarlo.
.
.
, uno de cuyos lados mide 
.
y 
.
Factorización sacando factor común
Factorización usando productos notables
Factorización de polinomios de grado 2
Factorización de polinomios de segundo grado
Un polinomio de segundo grado, 
, con raíces rales, 
y 
, se puede factorizar de la forma
Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles
Factoriza los siguientes polinomios
- a)
- b)
, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 
. Entonces:
y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini
Teorema
Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.
también. Luego Procedimiento para factorizar polinomios por Ruffini
Para factorizar un polinomio P(x) mediante la regla de Ruffini seguiremos los siguientes pasos:
- Por el teorema anterior, los candidatos a raíces del polinomio P(x) son los divisores (positivos y negativos) del término independiente.
- Para cada candidato a raíz, "a", efectuaremos la división de P(x) entre (x-a), mediante la regla de Ruffini.
- Si el resto es cero, "a" será una raíz de P(x). Si no, seguiremos probando con el siguiente candidato.
- Si "a" resulta ser una raíz, entonces tendremos una primera factorización: P(x)=(x-a)· Q(x), donde Q(x) tiene un grado menos que P(x).
- Seguiremos probando con los candidatos (incluido el último que resultó ser raíz) para factorizar Q(x) por Ruffini.
- El proceso para cuando no quedan candidatos o Q(x) tiene grado 1.
:
es un factor:
es un factor:
sabiendo que sólo tiene raíces fraccionarias.
Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Cociente de polinomios (Pág. 91)
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