La relación de divisibilidad (1º ESO)

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Tabla de contenidos

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1 Introducción
2 Relación de divisibilidad
3 Cálculo de los múltiplos y divisores de un número
4 Actividades

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Introducción

Para empezar Descripción: [Mostrar]

(Pág. 44)

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Relación de divisibilidad

Dos números enteros $a\;$ y $b\;$ ( $a \ge b\;$ ) , están emparentados por la relación de divisibilidad cuando la división $a:b\;$ es exacta.

Ejemplos: [Mostrar]

Relación de divisibilidad [Mostrar]

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Múliplo y divisor

Si $a\;$ y $b\;$ $(a \ge b)\;$ están emparentados por la relación de divisibilidad, es decir, $a : b\;$ es exacta, entonces decimos que:

$a\;$ es multiplo $b\;$ y lo expresaremos simbólicamente: $a= \dot b$ .
$b\;$ es divisor de $a\;$ y lo expresaremos simbólicamente: $b|a \;\!$ .

Ejemplos: [Mostrar]

Proposición

Si $a\;$ es multiplo de $b\;$ , entonces existe un número entero $k\;\!$ tal que $a=b \cdot k$ .

Demostración:[Mostrar]

Múltiplos y divisores (2'05") Sinopsis:[Mostrar]

Observación: [Mostrar]

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Propiedades

Propiedades de los múltiplos

Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
Todo número natural $a\,$ tiene infinitos múltiplos, $a \cdot k$ , que se obtienen multiplicándolo por un número natural $k\,$ cualquiera.
El 0 es múltiplo de cualquier número.
La suma de dos o más multiplos de $a\,$ es otro múltiplo de $a\,$ .
La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Propiedades de los divisores

Todo número natural distinto de cero tiene al menos dos divisores: 1 y él mismo.
Todo divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él. Por tanto, el número de divisores es finito.
Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo de éste.
Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Relación de divisibilidad

(Pág. 45)

3, 7, 9, 10

1, 2, 4, 5, 6, 8, 11, 12, 13

(Pág. 46)

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Cálculo de los múltiplos y divisores de un número

Los siguiente videotutoriales condensan todo lo que se va a ver en este apartado.

Múltiplos y divisores de un número [Mostrar]

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Cálculo de los múltiplos de un número

La segunda de las propiedades de los múltiplos vista anteriormente me da una forma de calcular los múltiplos de un número natural.

Procedimiento

Para obtener los múltiplos de un número natural $a\;$ , multiplicaremos $a\;$ por cada uno de los números naturales:

$\{ \dot a \}=\{a \cdot 1, \, a \cdot 2, \, a \cdot 3, \, \cdots \}$

Ejemplo [Mostrar]

Ejercicio resuelto: Cálculo de los múltiplos de un número

Calcula los múltiplos de 17 comprendidos entre 150 y 200.

Solución:[Mostrar]

Múltiplos de un número [Mostrar]

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Cálculo de los divisores de un número

Procedimiento

Para encontar todos los divisores de un número, $a\,$ , buscamos las divisiones exactas $a:b=c\,$ . Entonces $b\,$ y $c\,$ son divisores de $a\,$ . Para ello procederemos de la siguiente manera:

Probaremos con $b = 1, 2, 3, ... \,$ .
Para cada valor de $b\,$ que dé división exacta ( $a= b \cdot k$ ), tendremos dos divisores: $b\,$ y $k\,$ .
Pararemos de probar cuando el cociente de la división $a:b\,$ sea menor o igual que $b\,$ .

Ejercicio resuelto: Cálculo de los divisores de un número

Calcula los divisores de 44.

Solución:[Mostrar]

Divisores de un número [Mostrar]

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Actividades

Múltiplos y divisores [Mostrar]

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Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por:	Criterio
2	El número acaba en 0 ó cifra par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.
7	La diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.
11	Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

Observación: [Mostrar]

Criterios de divisibilidad [Mostrar]

Criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5 (3´26") Sinopsis: [Mostrar]

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10 y 11 (8'08") Sinopsis:[Mostrar]

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 11 (7'35") Sinopsis:[Mostrar]

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5 y 6 (3´28") Sinopsis: [Mostrar]

Criterios de divisibilidad por 7, 8, 9, 10 y 11 (4´36") Sinopsis: [Mostrar]

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11 (14´50") Sinopsis:[Mostrar]

Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 7, 11 y 10ⁿ (24´50") Sinopsis:[Mostrar]

Criterios de divisibilidad por 6, 2ⁿ, 5ⁿ, 9 (15´46") Sinopsis:[Mostrar]

Criterio de divisibilidad por 3 (explicación) (8'06") Sinopsis: [Mostrar]

Criterio de divisibilidad por 9 (explicación) (8'13") Sinopsis: [Mostrar]

Ejemplo 1 (0'41") Sinopsis:[Mostrar]

Ejemplo 2 (0'58") Sinopsis:[Mostrar]

Ejemplo 3 (0'49") Sinopsis:[Mostrar]

Ejemplo 4 (0'30") Sinopsis:[Mostrar]

Ejemplo 5 (0'42") Sinopsis:[Mostrar]

Ejemplo 6 (0'25") Sinopsis:[Mostrar]

Ejemplo 7 (1'45") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicio 1 (12'04") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 2 (1'50") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicio 3 (9'07") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicio 4 (7'46") Sinopsis: [Mostrar]

Criterios de divisibilidad [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Los múltiplos y divisores de un número

(Pág. 48)

1a,c; 2d,e,f; 4; 6; 8; 9

1b,d; 2a,b,c,g,h; 3; 5; 7

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Actividades

Autoevaluación: La relación de divisibilidad Descripción: [Mostrar]

Actividad: Juego de los múltiplos y divisores Descripción: [Mostrar]

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Categorías: Matemáticas | Números

 __TOC__
 {{p}}
+==Introducción==
+{{AI_cidead
+|titulo1=Para empezar
+|descripcion=¿Qué normas sigue este baile de números?|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena2/1quincena2_presenta_1a.htm
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 (Pág. 44)
 ==Relación de divisibilidad==
-{{Caja_Amarilla|texto=
+{{Relacion de divisibilidad}}
-Dos números ''a'' y ''b'' están emparentados por la '''relación de divisibilidad''' cuando la división a:b es exacta.
-}}
 {{p}}
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=
+===Múliplo y divisor===
-*Un listón de 60 cm se puede partir, exactamente, en trozos de 15 cm, porque la división 60:15 es exacta (cociente=4; resto=0). Por tanto, 60 y 15 están emparentados por la relación de divisibilidad.
+{{Def Multiplo y divisor}}
-*Un listón de 60 cm no se puede partir, exactamente, en trozos de 25 cm, porque la división 60:25 no es exacta (cociente=2; resto=10). Así, 60 y 25 no están emparentados por la relación de divisibilidad.
+===Ejercicios propuestos===
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-==Multiplo y divisor==
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-*El mayor, {{Sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>a\;</math>}}, es '''multiplo''' del menor, {{Sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b\;</math>}} y lo expresaremos simbólicamente: {{Sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>a= \dot b</math>}}.
-*El menor, {{Sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b\;</math>}}, es '''divisor''' del mayor, {{Sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>a\;</math>}} y lo expresaremos simbólicamente: <math>b|a \;\!</math>.
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-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=
+(Pág. 46)
-*La división 60:15=4 es exacta. Entonces 60 es un múltiplo de 15 {{Sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>(60= \dot 15)</math>}} y 15 es un divisor de 60 {{Sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>(15|60 \;\!)</math>}}.
-*Fíjate que 4 también es divisor de 60 porque la división 60:4=15 es también exacta. Por tanto, los divisores siempre van por parejas.
+==Cálculo de los múltiplos y divisores de un número==
-}}
+Los siguiente videotutoriales condensan todo lo que se va a ver en este apartado.
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-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=
+{{Múltiplos y divisores de un número}}
-:Si {{Sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>a\;\!</math>}} es multiplo de {{Sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b\,</math>}} , entonces existe un número natural {{Sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>k\;\!</math>}} tal que {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a=b \cdot k</math>}}.
-|demo=En efecto, si ''a'' es multiplo de ''b'', entonces la división ''a:b'' es exacta. Si llamamos ''k'' al cociente, se cumple que {{Sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>a=b \cdot k</math>}}.}}
+===Cálculo de los múltiplos de un número===
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+* Es un juego de competición entre dos jugadores.
+* Cada jugador retira por turno un número sacándolo de la escena.
+* Los números retirados ya no se reponen.
+* El número que se retira debe ser múltiplo o divisor del retirado anteriormente y que figura en el recuadro.
+* Pierde el jugador que retire un número indebido o el que ya no pueda retirar un número.
+* Para no dar ventaja al primer jugador, se exige que el primer número retirado sea par.
+|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena2/1quincena2_ejercicios_1f.htm
+}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

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Múliplo y divisor

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Ejercicios propuestos

Cálculo de los múltiplos y divisores de un número

Cálculo de los múltiplos de un número

Cálculo de los divisores de un número

Actividades

Criterios de divisibilidad

Ejercicios propuestos

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