Plantilla:Perímetros y áreas

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Áreas y perímetros
3 Figuras poligonales
4 Figuras curvas
5 Ejercicios y videotutoriales

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Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Áreas de polígonos (9'58") Sinopsis:

La aventura más poligonera de Troncho y Poncho con un final en tres dimensiones.

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Áreas y perímetros

Empezaremos introduciendo los conceptos básicos necesarios para el cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.

Áreas y perímetros (3´36") Sinopsis:

Cómo encontrar el área y el perímetro de algunas figuras.

El área de una figura geométrica plana es la medida de su superficie.

El área

Tutorial 1 (1'35") Sinopsis:

¿Qué es superficie?
¿Qué es área?
¿Cómo se mide una superficie?

Tutorial 2 (1'35") Sinopsis:

Breve explicación de la definición de área y cómo encontrar el área de diferentes figuras.

Tutorial 3 (5´02") Sinopsis:

Un pequeño paseo por los conceptos básicos del cálculo de áreas de figuras planas.

Tutorial 4 (1´33") Sinopsis:

Introducción al área de polígonos.

Tutorial 5a (4´48") Sinopsis:

Introducción al área y unidades cuadradas.

Tutorial 5b (5´26") Sinopsis:

Transición de las unidades cuadradas a la fórmula del área.

Tutorial 5c (5´15") Sinopsis:

Medir el área con unidades cuadradas parciales.

Tutorial 5d (6´33") Sinopsis:

Área de un rectángulo como producto de dimensiones es lo mismo que contar cuadrados unitarios.

Tutorial 5e (5´38") Sinopsis:

Crear rectángulos con un área dada (parte 1).

Tutorial 5f (4´09") Sinopsis:

Crear rectángulos con un área dada (parte 2).

Tutorial 5g (4´48") Sinopsis:

Midiendo el mismo rectángulo con diferentes unidades cuadradas

Tutorial 6 (4´48") Sinopsis:

Concepto de área.

Ejercicio 1 (0´50") Sinopsis:

Halla el área de la siguiente figura.

El área

Actividad 1 Descripción:

Actividad 2a Descripción:

Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.

Actividad 2b Descripción:

Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.

Actividad 2c Descripción:

Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.

Actividad 2d Descripción:

Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.

Autoevaluación 1 Descripción:

Encuentra el área al contar cuadrados unitarios.

Autoevaluación 2 Descripción:

Encuentra el área al contar cuadrados unitarios.

Autoevaluación 3 Descripción:

Transición de cuadrados unitarios a la fórmula del área.

Autoevaluación 4 Descripción:

Crea rectángulos con un área determinada.

Autoevaluación 5 Descripción:

Área de cuadrados y rectángulos.

El perímetro de una figura geométrica plana es la suma de las longitudes de sus lados.

El perímetro

Tutorial (1'35") Sinopsis:

Introducción al perímetro.

Ejercicio 1 (1'29") Sinopsis:

Halla el perímetro de la siguiente figura.

Ejercicio 2 (5'55") Sinopsis:

Halla el perímetro de la siguiente figura.

Ejercicio 3 (8'57") Sinopsis:

Halla el lado que falta conociendo el perímetro de la siguiente figura.

El perímetro

Autoevaluación 1 Descripción:

Encuentra el perímetro al contar cuadrados unitarios.

Autoevaluación 2 Descripción:

Encuentra el perímetro cuando te dan las longitudes laterales.

Autoevaluación 3 Descripción:

Encuentra una longitud lateral faltante cuando te dan el perímetro.

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Figuras poligonales

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Cuadrado

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=a^2 \;\!$

Elementos:

$a\;$ : lado.

Área y perímetro del cuadrado

Tutorial (3'09") Sinopsis:

Área y perímetro del cuadrado. Ejemplo.

Problema 1 (1´16") Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado de 1.2 cm de lado.

Problema 2 (6'44") Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm.

Problema 3 (5'19") Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1 cm.

Área y perímetro del cuadrado

Actividad: Área y perímetro del cuadrado Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del cuadrado; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del cuadrado.

Autoevaluación: Área del cuadrado Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de cuadrados.

El cuadrado

Actividad: El cuadrado

a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.

b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.

c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.

d) Halla el ángulo central de un cuadrado.

e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.

f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) square edge length 5 cm area

b) square edge length 3 m perimeter

c) square edge length 20 mm diagonal length

d) square central angle

e) square interior angle

f) square interior angle sum

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Rectángulo

Perímetro:

$P=2 \cdot a+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

$b\;$ : base.

$a\;$ : altura.

Área y perímetro del rectángulo

Tutorial 1 (4'24") Sinopsis:

Área y perímetro del rectángulo. Ejemplo.

Tutorial 2 (0'55") Sinopsis:

Área del rectángulo. Ejemplo.

Área del rectángulo (demostración) (4'13") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área del rectángulo.

Problema 1 (4´28") Sinopsis:

Calcula el área en metros cuadrados de una finca que tiene forma rectangular con un lado de 2 km y una diagonal de 6 km.

Problema 2 (5´27") Sinopsis:

Determinar el área de un rectángulo que tiene 60 cm de perímetro, si la razón entre sus lados es 3:2.

Problema 3 (4´47") Sinopsis:

Carlos construyó una mesa rectangular con un perímetro de 20 pies y un área de 24 pies cuadrados. Sabiendo que la mesa es más larga que ancha y que los lados son números enteros, calcula por tanteo las dimensiones de la mesa.

Problema 4 (3´15") Sinopsis:

Juan construyó un corral rectangular de 21 pies de largo y 78 pies de perímetro. ¿Cuál es el ancho del corral?

Área y perímetro del rectángulo

Actividad Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rectángulo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rectángulo.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de rectángulos.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas verbales de área y perímetro de rectángulos.

El rectángulo

Actividad: El rectángulo

a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en

m 2

b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en

d a m 2

c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters

b) rectangle edge lengths 30 m, 5 dam perimeter in dekameters

c) rectangle edge lengths 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters

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Romboide

Perímetro:

$P=2 \cdot c+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

$b\;$ : base.

$a\;$ : altura.

$c\;$ : lado

Nota:

El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Área y perímetro del romboide

Tutorial 1 (1´39") Sinopsis:

Área y perímetro del romboide. Ejemplos.

Tutorial 2 (0'34") Sinopsis:

Área del paralelogramo. Ejemplo.

Área del romboide (demostración) (5´29") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área del romboide.

Problema 1 (1´56") Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un romboide de lados 20 cm y 13 cm, siendo la altura de 12 cm..

Problema 2 (8´34") Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un romboide a partir de la información que aparece dibujada.

Área del romboide

Actividad Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del romboide y practicar con ella.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de romboides.

El romboide

Actividad: El romboide

a) Halla el perímetro de un romboide de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.

b) Halla el área de un romboide de 50 cm de base y 2 dm de altura.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters

a) parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area

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Rombo

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=\cfrac {D \cdot d}{2}$

Elementos:

$a\;$ : lado.

$D\;$ : diagonal mayor.

$d\;$ : diagonal menor.

Nota:

El área es la mitad de la de un rectángulo cuyas dimensiones sean las diagonales del rombo.

Área y perímetro del rombo

Tutorial (1´50") Sinopsis:

Ejemplo de cálculo del área y del perímetro de un rombo.

Área del rombo (demostración) (2´52") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área de un rombo.

Nota: Hay un error al comienzo del video al enunciar la fórmula (dice "semiproducto de las longitudes de los lados" y debería decir "semiproducto de las longitudes de las diagonales"), aunque luego el resto de la demostración es correcta.

Problema 1 (8´12") Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 36 cm y 24 cm.

Problema 2 (4'00") Sinopsis:

El lado de un rombo mide 20 m y una de las diagonales 32 m. Calcula su área.

Problema 3 (4'53") Sinopsis:

Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 5 m y 6 m, respectivamente.

Problema 4 (4'39") Sinopsis:

Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 10 y 14 cm, respectivamente.

Área y perímetro del rombo

Actividad 1: Del rombo al rectángulo Descripción:

Actividad 2: Área y perímetro del rombo Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.

Autoevaluación: Área del rombo Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de rombos.

El rombo

Actividad: El rombo

a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en

d m 2

b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters

b) rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters

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Triángulo

Perímetro:

$P=b+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {b \cdot a}{2}$

Elementos:

$b\;$ : base.

$a\;$ : altura.

$c \ , d\;$ : lados.

Nota:

Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

Área y perímetro del triángulo

Tutorial 1 (6'58") Sinopsis:

Videotutorial que condensa todo lo que vamos a ver sobre medidas en los triángulos.

Tutorial 2 (3'55") Sinopsis:

Fórmula general y tres casos prácticos de cómo calcular el área de un triángulo.

Tutorial 3 (0'36") Sinopsis:

Deducción del área de un triángulo.

Tutorial 4 (5'29") Sinopsis:

Deduciendo la fórmula del área del triángulo.

Tutorial 5 (3'26") Sinopsis:

Demostración de área del triángulo.

Problema 1 (1'50") Sinopsis:

Calcula la altura de un triángulo de 34 cm² de área y 10 cm de base.

Problema 2 (3'00") Sinopsis:

El área de un triángulo isósceles es de 24 dm². Si sabemos que la altura relativa al lado desigual es de 100 cm, ¿cuántos cm mide este lado?

Problema 3 (4'09") Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 7 cm de lado.

Problema 4 (3'56") Sinopsis:

Calcula el la altura, el área y el perímetro de un triángulo isósceles de 8 cm de base y cuyos lados iguales miden 7 cm.

Problema 5 (5'34") Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 36 m de perímetro.

Área y perímetro del triángulo

Actividad 1 Descripción:

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo.

Actividad 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área y el perímetro de triángulos.

Actividad 4 Descripción:

Actividades sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados $a\;$ , $b\;$ , $c\;$ viene dada por:

$A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,$

donde $s\;$ es el semiperímetro: $s=\frac{a+b+c}{2}$ .

Demostración:

Nota: El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.

Supongamos un triángulo de lados $a\;$ , $b\;$ , $c\;$ , cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son $\hat{A}\;$ , $\hat{B}\;$ , $\hat{C}\;$ .

Por el teorema del coseno, tenemos que:

$\cos(\hat{C}) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:

$\sin(\hat{C}) = \sqrt{1-\cos^2(\hat{C})} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

La altura de un triángulo de base $a\;$ tiene una longitud $b sin(\hat{C})$ , por tanto siguiendo con la demostración

$A = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})$

$\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(\hat{C})$

$\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$

$\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.$

Fórmula de Herón Descripción:

En esta escena podrás calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

Fórmula de Herón

Ejercicio 1 (3´42") Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5.

Ejercicio 2 (3´42") Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 4.4, 6.7 y 9.3.

Ejercicio 3 (9´08") Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 24 cm y 7 cm.

El triángulo

Actividad: El triángulo

a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en

d m 2

b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.

c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1

m 2

d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters

b) triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area

c) isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths

c) equilateral triangle edge length 5cm area

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Trapecio

Perímetro:

$P=b+B+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}$

Elementos:

$B\;$ : base mayor.

$b\;$ : base menor.

$a\;$ : altura.

$c \ , d\;$ : lados oblicuos.

Área y perímetro del trapecio

Tutorial (4´26") Sinopsis:

El trapecio y su área. Ejemplo.

Área del trapecio (demostración) (4´27") Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área de un trapecio.

Problema 1 (4´36") Sinopsis:

Halla el área de un trapecio isósceles que tiene 9 cm de base menor, 12 cm de base mayor y 3 cm de altura.

Problema 2 (5´39") Sinopsis:

Halla el área de un trapecio isósceles que tiene 8 cm de base menor, 12 cm de base mayor y 5 cm de lados no paralelos.

Problema 3 (8´21") Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles que tiene 9 cm de base menor, 15 cm de base mayor y 5 cm de lados no paralelos.

Problema 4 (3'44") Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 6 cm y 2 cm, respectivamente. La altura mide 3 cm. Calcula su perímetro.

Problema 5 (4'10") Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 4 cm y 7 cm, y su altura 4 cm. Halla su perímetro.

Problema 6 (4'59") Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 8 cm y 6 cm, y su altura 5 cm. Halla su perímetro y su área.

Área del trapecio

Área del trapecio Descripción:

Esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del trapecio; en la segunda podrás aplicar dicha fórmula en un caso práctico.

Otra forma de calcular el área del trapecio Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del trapecio de otra manera. Además podrás realizar el cálculo del área en una actividad.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de trapecios.

Ejercicio resuelto: Área del trapecio

Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.

Solución:

Utilizando el teorema de Pitágoras se halla la altura a=10.7 cm. A continuación se aplica la fórmula para hallar el área.

Solución: $A= 492.2 cm^2\;$

El trapecio

Actividad: El trapecio

a) Halla el área de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y altura 4 cm.

b) Halla la altura de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y área 24

c m 2

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area

b) trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height

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Polígonos regulares

Perímetro:

$P=n \cdot b$

Área:

$A=\cfrac {P \cdot a}{2}$

Elementos:

$b\;$ : lado.

$a\;$ : apotema.

Nota:

$n\;$ : número de lados.

Áreas y perímetros en polígonos regulares

Tutorial 1 (5'14") Sinopsis:

Áreas y perímetros en polígonos regulares.

Tutorial 2 (5'48") Sinopsis:

Áreas de polígonos regulares. Ejemplo.

Tutorial 3 (4'57") Sinopsis:

Áreas de polígonos regulares. Ejemplo

Tutorial 4 (1'00") Sinopsis:

Áreas de polígonos regulares.

Problema 1 (2´01") Sinopsis:

Halla el área de un pentágono regular de 2.5 cm de lado y 2.16 cm de apotema.

Problema 2 (4´52") Sinopsis:

Halla el área de un hexágono regular de 9 cm de lado.

Problema 3 (5´06") Sinopsis:

Halla el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 6 dm de radio.

Problema 4 (3´11") Sinopsis:

La base de un edificio con forma de pentágono regular tiene una superficie de 1000 m². Si la distancia del centro del edificio a una de las puertas, situada en el punto medio de uno de sus lados, es de 12 m, ¿Cuánto mide cada lado del edificio?

Problema 5 (6'27") Sinopsis:

Calcula el área de una hexágono regular de 10 cm de lado.

Problema 6 (6'33") Sinopsis:

¿Cuántas baldosas con forma de hexágono regular de 80 cm de lado se necesitan para embaldosar una habitación de 13 m de largo por 9.4 m de ancho?

Problema 7 (3'08") Sinopsis:

Calcula el lado de un octógono regular de 4 cm de apotema y 110 cm² de área.

Área y perímetro de polígonos regulares

Del polígono regular al rectángulo Descripción:

Deducción del área de un polígono regular Descripción:

En esta escena podrás ver cómo se deduce el área de un polígono regular.

Cálculo del área de polígonos regulares Descripción:

En esta escena podrás calcular el área y el perímetro de algunos polígonos regulares.

Área del polígono regular Descripción:

Actividad sobre áreas de polígonos regulares.

Polígonos regulares Descripción:

En esta escena podrás estudiar los elementos de un polígono regular: lados, diagonales, apotema y ángulos. También podrás calcular el perímetro y el área. El número de lados puede elegirse entre 3 y 20.

Actividad: Área y perímetro del polígono regular Descripción:

Actividades guiadas sobre áreas de polígonos regulares.

Autoevaluación 1: Área del polígono regular Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de polígonos regulares.

Autoevaluación 2: Área del polígono regular Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de polígonos regulares.

Polígonos regulares

Actividad: Polígonos regulares

a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.

b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.

c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.

d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.

e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.

f) Halla el área (en

d m 2

) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.

g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) regular hexagon edge length 5cm area

b) regular hexagon radius 3m perimeter

c) regular pentagon central angle

d) regular octagon interior angle

e) regular 9-gon interior angle sum in deg

f) regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2

g) regular 6-gon radius 3 m incircle

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Figuras curvas

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Círculo

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot r$

Área:

$A=\pi \cdot r^2$

Elementos:

$r\;$ : radio.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

Área de un circulo y longitud de una circunferencia

Tutorial 1 (5'13") Sinopsis:

Área de un circulo y longitud de una circunferencia.
Longitud de un arco de circunferencia y área del sector circular.
Ejemplos.

Tutorial 2 (9'43") Sinopsis:

Área de un circulo y longitud de una circunferencia. Ejemplos.

Tutorial 3 (19´44") Sinopsis:

El círculo, su área y su perímetro. Ejemplos

Tutorial 4a (Longitud de la circunferencia) (2'07") Sinopsis:

Cálculo del perímetro del círculo o longitud de la circunferencia.

Tutorial 4b (Área del círculo) (4'40") Sinopsis:

Cálculo del área del círculo.

Tutorial 5 (Longitud de la circunferencia) (4'40") Sinopsis:

La longitud de la circunferencia y el número Pi. ¿Cómo calcular el número Pi de forma aproximada?

Tutorial 6 (Longitud de la circunferencia) (13'42") Sinopsis:

La circunferencia y el círculo. Elementos de la circunferencia. El número pi y el perímetro del círculo. Ejemplos.

Tutorial 7 (Área del círculo) (1'00") Sinopsis:

Obtención del área del círculo como aproximación del área de un polígono.

Tutorial 8 (11'12") Sinopsis:

Área del círculo y perímetro de la circunferencia.

Problema 1 (1'39") Sinopsis:

Obtener el área de un círculo que posee un diámetro de 30 cm.

Problema 2 (1'33") Sinopsis:

Obtener el perímetro de un círculo que posee un radio de 3 m.

Problema 3 (1'53") Sinopsis:

Obtener el radio de un círculo que posee una circunferencia de 17.2788 pies.

Problema 4 (4'55") Sinopsis:

Una máquina de dulces hace monedas de chocolate circulares. El diámetro de cada monedas es de 16 milímetros. ¿Cuál es el área de cada moneda?

Problema 5 (9´05") Sinopsis:

Determinar el diámetro y el área de un círculo cuya circunferencia mide 188.4 cm

Problema 6 (6´40") Sinopsis:

Si tienes un cuadrado de 15 cm de lado, calcula las longitudes de las circunferencias inscrita y circunscrita.

Problema 7 (1'33") Sinopsis:

Si un arco de 180º tiene por longitud 120 cm, calcula la longitud de la circunferencia.

Problema 8 (5'00") Sinopsis:

Si tienes una circunferencia circunscrita en un cuadrado de lado 8 cm, calcula su longitud y el perímetro del cuadrado.

Problema 9 (1'38") Sinopsis:

Una rueda de bicicleta tiene 45 cm de radio. Calcula la longitud que recorrerá la rueda después de 200 vueltas.

Problema 10 (4´21") Sinopsis:

Halla el área sombreada de la figura.

Ejercicio 11 (6´51") Sinopsis:

Halla el área sombreada de la figura.

Ejercicio 12 (4´18") Sinopsis:

Halla el área sombreada de la figura.

Problema 13 (4'34") Sinopsis:

Halla el área coloreada de la figura.

Acertijo (Problema del conejo bajo la cuerda) (4'56") Sinopsis:

Acertijo que plantea un problema similar al siguiente: Supongamos que la Tierra es esférica y que la rodeamos con una cuerda por el ecuador. Si alargamos esa cuerda un metro poniéndola como un círculo en torno a la Tierra. ¿Crees que habrá espacio suficiente para que pase un conejo por el hueco?

En el acertijo planteado en el video, la cuerda se alarga 20 m y nos pregunta si podríamos pasar por debajo de ella sin agacharnos.

Área y perímetro del círculo

Actividad 1: Longitud de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula de la longitud de la circunferencia de forma aproximada.

Actividad 2: Área del círculo Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del círculo "pelándolo".

Actividad 3: Longitud de la circunferencia Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se obtiene la longitud de la circunferencia. También podrás hacer unos tests.

Actividad 4: Aproximación de la longitud de la circunferencia y del área del círculo Descripción:

Actividades en las que podrás ver como se puede aproximar el área del círculo y la longitud de la circunferencia a partir del área y perímetro de polígonos regulares de muchos lados.

Actividad 5a Descripción:

Halla la longitud de un arco de circunferencia.

Actividad 5b Descripción:

¿Cuántos metros avanza una rueda de 30 cm de radio al dar una vuelta?

Actividad 5c Descripción:

El diámetro de un círculo mide 20 dm. ¿Cuántos decímetros cuadrados mide su área?

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo y la longitud de la circunferencia.

El círculo

Actividad: El círculo

a) Halla el área de un círculo de 3 m de radio.

b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.

c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18

π

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) circle radius 3m area

b) circle radius 3m perimeter

c) circle perimeter 18*pi m area

[editar]

Corona circular

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)$

Área:

$A=\pi \cdot (R^2-r^2)$

Elementos:

$r \ , R\;$ : radios respectivos.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

Área de la corona circular

Tutorial 1 (1'35") Sinopsis:

Fórmula del área de la corona circular. Ejemplo.

Tutorial 2 (4'58") Sinopsis:

Deducción de la fórmula del área de la corona circular. Ejemplo.

Problema 1 (2'19") Sinopsis:

Halla el área de una corona circular de radio mayor, 50 m, y radio menor, 15 m.

Problema 2 (3'21") Sinopsis:

Halla el área de una corona circular de radio mayor, 9 cm, y radio menor, 6 cm.

Perímetro de la corona circular (2'19") Sinopsis:

Halla el perímetro de una corona circular de radio mayor, 5 cm, y radio menor, 2 cm.

Área de la corona circular Descripción:

En esta escena podrás hallar el área de la corona circular.

La corona circular

Actividad: La corona circular

a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) annulus, inner radius 3m, outer radius 5m, area

[editar]

Sector circular

Longitud del arco:

$l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}=r \cdot \theta$

Perímetro:

$P = l+2 \cdot r$

Área:

$A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}=\cfrac{l \cdot r}{2}=\cfrac{r^2 \cdot \theta}{2}$

Elementos:

$r\;$ : radio.

$l\;$ : arco.

$\alpha\;\!$ : ángulo (en grados sexagesimales).

$\theta\;\!$ : ángulo $\alpha\;$ (en radianes).

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Demostración:

La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.

$\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$

Despejando el área del sector:

$A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}$

de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, $\pi r^2\;\!$ , se obtiene la fórmula.

Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.

$\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$

Despejando la longitud del sector:

$L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}$

de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, $2 \pi r\;\!$ , se obtiene la fórmula.

Área del sector circular

Tutorial (4´37") Sinopsis:

Obtención del área de un sector circular. Ejemplo

Ejercicios 1 (11'37") Sinopsis:

Fórmula que permite calcular el área de un sector circular a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 1)

Ejercicios 2 (14'11") Sinopsis:

Fórmula que permite calcular el área de un sector circular a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 2)

Ejercicio 3 (11'39") Sinopsis:

Fórmula que permite calcular la longitud de un arco de circunferencia a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 3)

Ejercicio 4 (7´49") Sinopsis:

Halla el área sombreada de la figura.

Longitud del arco de circunferencia

Ejercicios 1 (16'15") Sinopsis:

Fórmula que permite calcular la longitud de un arco de circunferencia a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 1)

Ejercicios 2 (20'42") Sinopsis:

2 ejercicios que hacen uso de la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia. (Nivel 2)

Ejercicios 3 (14'19") Sinopsis:

2 ejercicios que hacen uso de la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia. (Nivel 3)

Área del trapecio circular (7'06") Sinopsis:

Deducción de la fórmula del área del trapecio circular. Ejemplo.

Área del sector circular y longitud de su arco Descripción:

En esta escena podrás hallar el área del sector circular y la longitud del arco de circunferencia correspondiente.

El sector circular

Actividad: El sector circular

a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.

b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) circular sector, radius 3m, angle 45º, area

b) circular sector, radius 3m, angle 45º, perimeter

[editar]

Elipse

Perímetro:

$P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,$

Área:

$A=\pi a b\;$

Elementos:

$a\;$ : semieje mayor.

$b\;$ : semieje menor.

Notas:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

La fórmula del perímetro es una aproximación obtenida por Ramanujan. Una fórmula exacta requiere del uso de series.

Área y perímetro de la elipse Descripción:

En esta escena podrás hallar el área y el perímetro aproximado de la elipse.

La elipse

Actividad: La elipse

Halla el área de una elipse cuyos semiejes miden 3 y 5 cm, respectivamente.

Solución:

Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

ellipse area, semimajor axis=5 cm, semiminor axis=3 cm

[editar]

Segmento de parábola

Área:

$A=\cfrac{2}{3} \,a \, b$

Elementos:

$a \, , b\;$ : Lados del rectángulo circunscrito.

[editar]

Ejercicios y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales condensan las fórmulas vistas en esta página y resuelven varios ejercicios sobre áreas de figuras planas.

Áreas de figuras planas

Tutorial 1 (21'14") Sinopsis:

Tutorial que enuncia y razona las principales fórmulas de área de figuras geométricas básicas. Desde el rectángulo, pasando por el triángulo, rombo, trapecio... hasta el círculo y también aparece la explicación de qué es el número irracional pi.

Tutorial 2a (7'10") Sinopsis:

Área del rectángulo, cuadrado, romboide y trapecio.

Tutorial 2b (10'04") Sinopsis:

Área del triángulo, rombo y polígonos regulares.

Tutorial 2c (11'12") Sinopsis:

Área del círculo, de la corona circular y del sector circular.

Ejercicios 1 (6'31") Sinopsis:

Pasos a tener en cuenta en los ejercicios de áreas y perímetros de figuras planas.

Ejercicios 2 (15'45") Sinopsis:

Ejercicios de áreas y perímetros.

Ejercicios 3 (12'32") Sinopsis:

Ejercicios de áreas y perímetros.

Ejercicios 4 (11'49") Sinopsis:

Ejercicios de áreas y perímetros.

Ejercicios 5 (11'12") Sinopsis:

Ejercicios de áreas y perímetros.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Per%C3%ADmetros_y_%C3%A1reas"

Plantilla:Perímetros y áreas

De Wikipedia

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

Áreas y perímetros

Figuras poligonales

Cuadrado

Rectángulo

Romboide

Rombo

Triángulo

Trapecio

Polígonos regulares

Figuras curvas

Círculo

Corona circular

Sector circular

Elipse

Segmento de parábola

Ejercicios y videotutoriales

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas

-==Cuadrado==
+==Introducción==
-{{Tabla3
+Un toque divertido para empezar el tema:
-|celda1=
-[[Imagen:cuadrado.png|130px]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>P=4 \cdot a </math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=a^2 \;\!</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:a: lado.
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Cuadrado''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área del cuadrado.
-{{p}}
-|actividad=¿Cuál es el área del cuadrado? Es decir, ¿cuántos cuadraditos como el azul caben en el cuadrado?
-Modifica el polígono arrastrando el punto verde.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_cuadrado.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_cuadrado.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+{{Video_enlace_angelitoons
+|titulo1=Las aventuras de Troncho y Poncho: Áreas de polígonos
+|duracion=9'58"
+|sinopsis=La aventura más poligonera de Troncho y Poncho con un final en tres dimensiones.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DxE3bt-bUMg
 }}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:'''
-# Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 3 cm.
-# El área de un cuadrado es 5,76 <math>cm^2</math> . Calcula su perímetro.
 {{p}}
-|actividad=Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
+==Áreas y perímetros==
+{{Introducción áreas y perímetros de polígonos}}
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_cuadrado2.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_cuadrado2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
 {{p}}
-{{wolfram
-|titulo=Actividad: ''Cuadrado''
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-:a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.
+==Figuras poligonales==
-:b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.
-:c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.
-:d) Halla el ángulo central de un cuadrado.
-:e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.
-:f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.
-{{p}}
-|sol=
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-:a) {{consulta|texto=square edge length 5 cm area}}
+===Cuadrado===
-:b) {{consulta|texto=square edge length 3 m perimeter}}
+{{Area cuadrado}}
-:c) {{consulta|texto=square edge length 20 mm diagonal length}}
-:d) {{consulta|texto=square central angle}}
-:e) {{consulta|texto=square interior angle}}
-:f) {{consulta|texto=square interior angle sum}}
-{{widget generico}}
-}}
-}}
 {{p}}
-==Rectángulo==
-{{Tabla3
-|celda1=
-[[Imagen:rectangulo.png|200px]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot a+2 \cdot b </math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=a \cdot b</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:b: base.
-:a: altura.
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Rectángulo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área del rectángulo.
-{{p}}
-|actividad=¿Cuál será el área del polígono inicial? Es decir, ¿cuántos cuadraditos como el azul caben en el rectángulo? ¿Por qué?
-Modifica el polígono arrastrando los puntos verdes
+===Rectángulo===
+{{Area rectángulo}}
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rectangulo.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_redctangulo.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.
 {{p}}
-|actividad=Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
-<center><iframe>
+===Romboide===
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rectangulo2.html
+{{Area paralelogramo}}{{p}}
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rectangulo2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
+===Rombo===
-}}
+{{Area rombo}}
 {{p}}
-{{wolfram
-|titulo=Actividad: ''Recángulo''
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-:a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en <math>m^2</math>.
+===Triángulo===
-:b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en <math>dam^2</math>
+{{Area triangulo}}{{p}}
-:c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en  cm.
-{{p}}
+===Trapecio===
-|sol=
+{{Area trapecio}}{{p}}
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-:a) {{consulta|texto=rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters}}
+===Polígonos regulares===
-:b) {{consulta|texto=rectangle edge length 30 m, 5 dam perimeter in dekameters}}
+{{Área poligonos regulares}}
-:c) {{consulta|texto=rectangle edge length 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters}}
-{{widget generico}}
-}}
-}}
 {{p}}
-==Paralelogramo==
-{{Tabla3
-|celda1=
-[[Imagen:paralelogramo.png|220px]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot c+2 \cdot b </math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=a \cdot b</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:b: base.
-:a: altura.
-:c: lado
-* '''Nota:'''
-:El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.
-}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Paralelogramo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Deducción de la fórmula del área del paralelogramo.
-|actividad=
-El paralelogramo de la derecha tiene el mismo área que el rectángulo que tiene debajo. Para comprobarlo, mueve el punto que se indica y arrastralo hacia la izquierda.
-Por tanto el área del paralelogramo es el mismo que el del rectángulo.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area2_1.html
-width=430
-height=330
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Deducción de la fórmula del área del paralelogramo'''</center>
-<center>(Mueve el punto azul)</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area2_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cual es el área y el perímetro del paralelogramo?
-|actividad=
-Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
-<center><iframe>
+==Figuras curvas==
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area2_2.html
+===Círculo===
-width=430
+{{Area circulo}}
-height=330
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Cálculo del área y del perímetro del paralelogramo'''</center>
-<center>(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area2_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
 {{p}}
-{{wolfram
+===Corona circular===
-|titulo=Actividad: ''Paralelogramo''
+{{Area corona circular}}
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-:a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.
 {{p}}
-|sol=
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-:a) {{consulta|texto=parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters}}
+===Sector circular===
+{{Area sector circular}}
-{{widget generico}}
-}}
-}}
 {{p}}
-==Rombo==
+===Elipse===
-{{Tabla3
+{{Area elipse}}
-|celda1=
-[[Imagen:rombo.png|150px]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>P=4 \cdot a</math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {D \cdot d}{2}</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:a: lado.
-:D: diagonal mayor.
-:d: diagonal menor.
-* '''Nota:'''
-:Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.{{p}}
-}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Rombo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área del rombo.
 {{p}}
-|actividad=Modifica el polígono arrastrando los puntos verdes
+===Segmento de parábola===
+{{Area segmento parabola}}
-*¿Qué relación hay entre el área del rombo y la del rectángulo circunscrito?
-*¿Cuál será la formula que permita calcular el área de un rombo a partir de sus diagonales? ¿Por qué?
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rombo.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rombo.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo.
-|actividad=
-Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area3_2.html
-width=430
-height=330
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Cálculo del área y del perímetro del rombo'''</center>
-<center>(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area3_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 3:'''
-Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal.
-:a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado.
-:b) Utilizando la fórmula del área del rombo.
 {{p}}
-|actividad=
+==Ejercicios y videotutoriales==
-El cuadrado es un rombo que tiene las diagonales iguales.
+{{Ejercicios y videotutoriales de areas de figuras planas}}
-Para calcular el área del cuadrado puedes utilizar también la expresión del área del rombo.
-Comprueba en la figura que estas expresiones dan el mismo valor.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area3_3.html
-width=430
-height=330
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales'''</center>
-<center>(Mueve el vértice B para modificar la medida del lado)</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area3_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
 {{p}}
-{{wolfram
-|titulo=Actividad: ''Rombo''
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-:a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en <math>dm^2</math>.
-:b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.
-{{p}}
-|sol=
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-:a) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters}}
-:b) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters}}
-{{widget generico}}
-}}
-}}
-{{p}}
-==Triángulo==
-{{Tabla3
-|celda1={{p}}
-[[Imagen:triangulo.png|240px]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>P=b+c+d\;\!</math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {b \cdot a}{2}</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:b: base.
-:a: altura.
-:c, d: lados.
-* '''Nota:'''
-:Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.
-}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Triángulo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área del triángulo.
-{{p}}
-|actividad= Desliza el punto verde o utiliza los botones, observa lo que ocurre y razona:
-*¿A qué otra área es igual la del triángulo?
-Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar los puntos verdes.
-*¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un triángulo en función de sus dimensiones? ¿Por qué?
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo1.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-En esta otra escena, mueve el deslizador (punto verde) y razona:
-*¿A la mitad de qué otro área es igual la del triángulo?
-Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar el punto verde.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo2.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' La base  de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro.
-|actividad=
-Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area5_2.html
-width=430
-height=330
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales'''</center>
-<center>(Mueve los vértices del triángulo para variar la medida de los lados)</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area5_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
-{{p}}
-{{teorema
-|titulo=Fórmula de Herón
-|enunciado=La superficie de un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' viene dada por:
-<center><math>S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,</math></center>
-donde <math>p\;</math> es el semiperímetro: <math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>.
-|demo='''Nota:''' Esta demostración excede el nivel de este curso.
-Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente.
-Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''. Entonces tenemos que:
-:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
-por el Teorema del coseno:
-:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.
-La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración
-:<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math>
-:<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)</math>
-:<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math>
-:<math>\qquad = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.</math>
-}}
-{{p}}
-{{wolfram
-|titulo=Actividad: ''Triángulo''
-|cuerpo=
-{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado=
-:a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en <math>dm^2</math>.
-:b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.
-{{p}}
-|sol=
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
-:a) {{consulta|texto=triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters}}
-:b) {{consulta|texto=triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area}}
-{{widget generico}}
-}}
-}}
-{{p}}
-==Trapecio==
-{{Tabla3
-|celda1=
-[[Imagen:trapecio.png|180px]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>P=b+B+c+d\;\!</math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:B: base mayor.
-:b: base menor.
-:a: altura.
-:c, d: lados.
-}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Trapecio''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.
-|actividad=
-Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base <math>B+b\;\!</math> y altura <math>a\;\!</math>.
-El área del paralelogramo es:
-<center><math>(B+b) \cdot a</math></center>
-de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio:
-<center><math>\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math></center>
-{{p}}
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_1.html
-width=420
-height=310
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Deducción de la fórmula del área del trapecio'''</center>
-{{p}}
-<center>(Mueve el punto rojo)</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.
-|actividad=
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_2.html
-width=430
-height=310
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio'''</center>{{p}}
-<center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.
-|actividad={{p}}
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_3.html
-width=395
-height=280
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo'''</center>{{p}}
-<center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)
-</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.
-|actividad={{p}}
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/area4_4.html
-width=410
-height=280
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles'''</center>{{p}}
-<center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)</center>
-}}
-}}
-==Polígonos regulares==
-{{Tabla3
-|celda1=
-[[Imagen:poligono.png]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>P=n \cdot b</math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {P \cdot a}{2}</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:b: lado.
-:a: apotema.
-* '''Nota:'''
-:n: número de lados.
-}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Polígono regular''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área de un polígono regular.
-{{p}}
-|actividad=Desliza el punto verde y observa
-*¿A qué otro área es igual la del pentágono regular?
-*¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un pentágono regular en función de sus dimensiones? ¿Por qué?
-*¿Y la de un polígono regular de n lados?
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_pentagono.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_pentagono.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:'''
-# Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.
-# Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)
-{{p}}
-|actividad=
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_1.html
-width=730
-height=490
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Calculo del área y del perímetro de un polígono regular.'''</center>
-<center>(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-Pero, para determinar el área, necesitamos conocer, además del lado, la apotema. Si conocemos uno de ellos y el radio,  podemos hallar el otro por el Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente escena:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_2.html
-width=490
-height=340
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Calculo de la apotema, lado o radio de un polígono regular.'''</center>
-<center>(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 3:''' Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular.
-{{p}}
-|actividad=En esta escena puedes comprobar el área, perímetro, apotema y lado de un polígono regular haciendo variar al radio.
-Desliza el punto verde para modificar el número de lados.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_poligono.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_poligono.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
-==Círculo==
-{{Tabla3
-|celda1=
-[[Imagen:circulo.png]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot r</math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=\pi \cdot r^2</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:r: radio.
-* '''Nota:'''
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}
-:El perímetro es la longitud de la circunferencia.
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Círculo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.
-{{p}}
-|actividad=Desliza el punto verde y observa
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' Aproximación a la fórmula del área del círculo.
-{{p}}
-|actividad=Desliza el punto verde y observa
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html
-width=780
-height=460
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 3:''' En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html
-width=430
-height=300
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Calculo del área y del perímetro de un círculo.'''</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
-===Corona circular===
-{{Tabla3
-|celda1=
-[[Imagen:corona.png]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)</math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=\pi \cdot (R^2-r^2)</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:r, R: radios respectivos.
-* '''Nota:'''
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}
-:El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.
-}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Corona circular''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html
-width=650
-height=285
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Calculo del área de una corona circular'''</center>
-<center>(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
-===Sector circular===
-{{Tabla3
-|celda1=
-[[Imagen:sector.png|160px]]
-|celda2={{p}}
-* '''Perímetro:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>l=\cfrac{2  \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r</math>}}
-* '''Área:'''{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}</math>}}
-|celda3={{p}}
-* '''Elementos:'''
-:r: radio.
-:l: arco.
-:<math>\alpha\;\!</math>: ángulo (en grados sexagesimales).
-* '''Nota:'''
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}
-:El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.
-}} {{p}}
-{{Desplegable|titulo=Demostración:{{b}}|contenido=
-La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.
-<center><math>\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>
-Despejando el área del sector:
-<center><math>A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center>
-de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, <math>\pi r^2\;\!</math>, se obtiene la fórmula.
-Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.
-<center><math>\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>
-Despejando la longitud del sector:
-<center><math>L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center>
-de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, <math>2 \pi r\;\!</math>, se obtiene la fórmula.
-----
-}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Sector circular''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html
-width=430
-height=300
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>'''Calculo del área de un sector circular'''</center>
-<center>(Mueve el punto B para modificar el ángulo)</center><center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}