Plantilla:Perímetros y áreas
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- | ==Cuadrado== | + | ==Introducción== |
- | {{Tabla3 | + | Un toque divertido para empezar el tema: |
- | |celda1= | + | |
- | [[Imagen:cuadrado.png|130px]] | + | |
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- | * '''Perímetro:'''{{p}} | + | |
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- | * '''Área:'''{{p}} | + | |
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- | :a: lado. | + | |
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- | |actividad=¿Cuál es el área del cuadrado? Es decir, ¿cuántos cuadraditos como el azul caben en el cuadrado? | + | |
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- | Modifica el polígono arrastrando el punto verde. | + | |
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- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_cuadrado.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
+ | {{Video_enlace_angelitoons | ||
+ | |titulo1=Las aventuras de Troncho y Poncho: Áreas de polígonos | ||
+ | |duracion=9'58" | ||
+ | |sinopsis=La aventura más poligonera de Troncho y Poncho con un final en tres dimensiones. | ||
+ | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=DxE3bt-bUMg | ||
}} | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 2:''' | ||
- | # Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 3 cm. | ||
- | # El área de un cuadrado es 5,76 <math>cm^2</math> . Calcula su perímetro. | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | |actividad=Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena: | + | ==Áreas y perímetros== |
- | + | {{Introducción áreas y perímetros de polígonos}} | |
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_cuadrado2.html | + | |
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- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_cuadrado2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | + | ||
- | }} | + | |
- | }} | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{wolfram | ||
- | |titulo=Actividad: ''Cuadrado'' | ||
- | |cuerpo= | ||
- | {{ejercicio_cuerpo | ||
- | |enunciado= | ||
- | :a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado. | + | ==Figuras poligonales== |
- | :b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado. | + | |
- | :c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado. | + | |
- | :d) Halla el ángulo central de un cuadrado. | + | |
- | :e) Halla el ángulo interior de un cuadrado. | + | |
- | :f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado. | + | |
- | {{p}} | ||
- | |sol= | ||
- | Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: | ||
- | :a) {{consulta|texto=square edge length 5 cm area}} | + | ===Cuadrado=== |
- | :b) {{consulta|texto=square edge length 3 m perimeter}} | + | {{Area cuadrado}} |
- | :c) {{consulta|texto=square edge length 20 mm diagonal length}} | + | |
- | :d) {{consulta|texto=square central angle}} | + | |
- | :e) {{consulta|texto=square interior angle}} | + | |
- | :f) {{consulta|texto=square interior angle sum}} | + | |
- | + | ||
- | {{widget generico}} | + | |
- | }} | + | |
- | + | ||
- | }} | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Rectángulo== | ||
- | {{Tabla3 | ||
- | |celda1= | ||
- | [[Imagen:rectangulo.png|200px]] | ||
- | |celda2={{p}} | ||
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- | {{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot a+2 \cdot b </math>}} | ||
- | * '''Área:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>A=a \cdot b</math>}} | ||
- | |celda3={{p}} | ||
- | * '''Elementos:''' | ||
- | :b: base. | ||
- | :a: altura. | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Rectángulo''|cuerpo= | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área del rectángulo. | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad=¿Cuál será el área del polígono inicial? Es decir, ¿cuántos cuadraditos como el azul caben en el rectángulo? ¿Por qué? | ||
- | Modifica el polígono arrastrando los puntos verdes | + | ===Rectángulo=== |
- | + | {{Area rectángulo}} | |
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rectangulo.html | + | |
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- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_redctangulo.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | }} | + | |
- | {{ai_cuerpo | + | |
- | |enunciado='''Actividad 2:''' La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro. | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | |actividad=Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena: | ||
- | <center><iframe> | + | ===Romboide=== |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rectangulo2.html | + | {{Area paralelogramo}}{{p}} |
- | width=780 | + | |
- | height=460 | + | |
- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rectangulo2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | }} | + | ===Rombo=== |
- | }} | + | {{Area rombo}} |
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{wolfram | ||
- | |titulo=Actividad: ''Recángulo'' | ||
- | |cuerpo= | ||
- | {{ejercicio_cuerpo | ||
- | |enunciado= | ||
- | :a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en <math>m^2</math>. | + | ===Triángulo=== |
- | :b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en <math>dam^2</math> | + | {{Area triangulo}}{{p}} |
- | :c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm. | + | |
- | {{p}} | + | ===Trapecio=== |
- | |sol= | + | {{Area trapecio}}{{p}} |
- | Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: | + | |
- | :a) {{consulta|texto=rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters}} | + | ===Polígonos regulares=== |
- | :b) {{consulta|texto=rectangle edge lengths 30 m, 5 dam perimeter in dekameters}} | + | {{Área poligonos regulares}} |
- | :c) {{consulta|texto=rectangle edge lengths 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters}} | + | |
- | + | ||
- | {{widget generico}} | + | |
- | }} | + | |
- | + | ||
- | }} | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | ==Paralelogramo== | + | ==Figuras curvas== |
- | {{Tabla3 | + | ===Círculo=== |
- | |celda1= | + | {{Area circulo}} |
- | [[Imagen:paralelogramo.png|220px]] | + | |
- | |celda2={{p}} | + | |
- | * '''Perímetro:'''{{p}} | + | |
- | {{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot c+2 \cdot b </math>}} | + | |
- | * '''Área:'''{{p}} | + | |
- | {{Caja|contenido=<math>A=a \cdot b</math>}} | + | |
- | |celda3={{p}} | + | |
- | * '''Elementos:''' | + | |
- | :b: base. | + | |
- | :a: altura. | + | |
- | :c: lado | + | |
- | * '''Nota:''' | + | |
- | :El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo. | + | |
- | }} {{p}} | + | |
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Paralelogramo''|cuerpo= | + | |
- | {{ai_cuerpo | + | |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' Deducción de la fórmula del área del paralelogramo. | + | |
- | |actividad= | + | |
- | El paralelogramo de la derecha tiene el mismo área que el rectángulo que tiene debajo. Para comprobarlo, mueve el punto que se indica y arrastralo hacia la izquierda. | + | |
- | Por tanto el área del paralelogramo es el mismo que el del rectángulo. | + | |
- | + | ||
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area2_1.html | + | |
- | width=430 | + | |
- | height=330 | + | |
- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | <center>'''Deducción de la fórmula del área del paralelogramo'''</center> | + | |
- | <center>(Mueve el punto azul)</center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area2_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | }} | + | |
- | {{ai_cuerpo | + | |
- | |enunciado='''Actividad 2:''' La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cual es el área y el perímetro del paralelogramo? | + | |
- | |actividad= | + | |
- | Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena: | + | |
- | + | ||
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area2_2.html | + | |
- | width=430 | + | |
- | height=330 | + | |
- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | <center>'''Cálculo del área y del perímetro del paralelogramo'''</center> | + | |
- | <center>(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)</center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area2_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | }} | + | |
- | }} | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{wolfram | + | ===Corona circular=== |
- | |titulo=Actividad: ''Paralelogramo'' | + | {{Area corona circular}} |
- | |cuerpo= | + | |
- | {{ejercicio_cuerpo | + | |
- | |enunciado= | + | |
- | + | ||
- | :a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm. | + | |
- | :b) Halla el área de un paralelogramo de 50 cm de base y 2 dm de altura. | + | |
- | + | ||
{{p}} | {{p}} | ||
- | |sol= | ||
- | Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: | ||
- | :a) {{consulta|texto=parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters}} | + | ===Sector circular=== |
- | :a) {{consulta|texto=parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area}} | + | {{Area sector circular}} |
- | + | ||
- | {{widget generico}} | + | |
- | }} | + | |
- | + | ||
- | }} | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | + | ===Elipse=== | |
- | ==Rombo== | + | {{Area elipse}} |
- | {{Tabla3 | + | |
- | |celda1= | + | |
- | [[Imagen:rombo.png|150px]] | + | |
- | |celda2={{p}} | + | |
- | * '''Perímetro:'''{{p}} | + | |
- | {{Caja|contenido=<math>P=4 \cdot a</math>}} | + | |
- | * '''Área:'''{{p}} | + | |
- | {{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {D \cdot d}{2}</math>}} | + | |
- | |celda3={{p}} | + | |
- | * '''Elementos:''' | + | |
- | :a: lado. | + | |
- | :D: diagonal mayor. | + | |
- | :d: diagonal menor. | + | |
- | * '''Nota:''' | + | |
- | :Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.{{p}} | + | |
- | }} {{p}} | + | |
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Rombo''|cuerpo= | + | |
- | {{ai_cuerpo | + | |
- | |enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área del rombo. | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | |actividad=Modifica el polígono arrastrando los puntos verdes | + | ===Segmento de parábola=== |
- | + | {{Area segmento parabola}} | |
- | *¿Qué relación hay entre el área del rombo y la del rectángulo circunscrito? | + | |
- | *¿Cuál será la formula que permita calcular el área de un rombo a partir de sus diagonales? ¿Por qué? | + | |
- | + | ||
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rombo.html | + | |
- | width=780 | + | |
- | height=460 | + | |
- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_rombo.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | }} | + | |
- | {{ai_cuerpo | + | |
- | |enunciado='''Actividad 2:''' La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo. | + | |
- | |actividad= | + | |
- | Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena: | + | |
- | + | ||
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area3_2.html | + | |
- | width=430 | + | |
- | height=330 | + | |
- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | <center>'''Cálculo del área y del perímetro del rombo'''</center> | + | |
- | <center>(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)</center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area3_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | }} | + | |
- | {{ai_cuerpo | + | |
- | |enunciado='''Actividad 3:''' | + | |
- | Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal. | + | |
- | :a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado. | + | |
- | :b) Utilizando la fórmula del área del rombo. | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | |actividad= | + | ==Ejercicios y videotutoriales== |
- | El cuadrado es un rombo que tiene las diagonales iguales. | + | {{Ejercicios y videotutoriales de areas de figuras planas}} |
- | Para calcular el área del cuadrado puedes utilizar también la expresión del área del rombo. | + | |
- | Comprueba en la figura que estas expresiones dan el mismo valor. | + | |
- | + | ||
- | <center><iframe> | + | |
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area3_3.html | + | |
- | width=430 | + | |
- | height=330 | + | |
- | name=myframe | + | |
- | </iframe></center> | + | |
- | <center>'''El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales'''</center> | + | |
- | <center>(Mueve el vértice B para modificar la medida del lado)</center> | + | |
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area3_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | + | |
- | }} | + | |
- | }} | + | |
{{p}} | {{p}} | ||
- | {{wolfram | ||
- | |titulo=Actividad: ''Rombo'' | ||
- | |cuerpo= | ||
- | {{ejercicio_cuerpo | ||
- | |enunciado= | ||
- | |||
- | :a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en <math>dm^2</math>. | ||
- | :b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm. | ||
- | |||
- | {{p}} | ||
- | |sol= | ||
- | Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: | ||
- | |||
- | :a) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters}} | ||
- | :b) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters}} | ||
- | |||
- | {{widget generico}} | ||
- | }} | ||
- | |||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | ==Triángulo== | ||
- | {{Tabla3 | ||
- | |celda1={{p}} | ||
- | [[Imagen:triangulo.png|240px]] | ||
- | |celda2={{p}} | ||
- | * '''Perímetro:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>P=b+c+d\;\!</math>}} | ||
- | * '''Área:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {b \cdot a}{2}</math>}} | ||
- | |celda3={{p}} | ||
- | * '''Elementos:''' | ||
- | :b: base. | ||
- | :a: altura. | ||
- | :c, d: lados. | ||
- | * '''Nota:''' | ||
- | :Un triángulo es la mitad de un paralelogramo. | ||
- | }} {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Triángulo''|cuerpo= | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área del triángulo. | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad= Desliza el punto verde o utiliza los botones, observa lo que ocurre y razona: | ||
- | |||
- | *¿A qué otra área es igual la del triángulo? | ||
- | |||
- | Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar los puntos verdes. | ||
- | |||
- | *¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un triángulo en función de sus dimensiones? ¿Por qué? | ||
- | |||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo1.html | ||
- | width=780 | ||
- | height=460 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | |||
- | En esta otra escena, mueve el deslizador (punto verde) y razona: | ||
- | |||
- | *¿A la mitad de qué otro área es igual la del triángulo? | ||
- | |||
- | Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar el punto verde. | ||
- | |||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo2.html | ||
- | width=780 | ||
- | height=460 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | |||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 2:''' La base de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro. | ||
- | |actividad= | ||
- | Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena: | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area5_2.html | ||
- | width=430 | ||
- | height=330 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales'''</center> | ||
- | <center>(Mueve los vértices del triángulo para variar la medida de los lados)</center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area5_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | }} | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{teorema | ||
- | |titulo=Fórmula de Herón | ||
- | |enunciado=La superficie de un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' viene dada por: | ||
- | |||
- | <center><math>S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,</math></center> | ||
- | |||
- | donde <math>p\;</math> es el semiperímetro: <math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>. | ||
- | |demo='''Nota:''' Esta demostración excede el nivel de este curso. | ||
- | |||
- | Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente. | ||
- | |||
- | Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''. Entonces tenemos que: | ||
- | |||
- | :<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math> | ||
- | |||
- | por el Teorema del coseno: | ||
- | |||
- | :<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>. | ||
- | La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración | ||
- | :<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math> | ||
- | :<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)</math> | ||
- | :<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math> | ||
- | :<math>\qquad = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.</math> | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{wolfram | ||
- | |titulo=Actividad: ''Triángulo'' | ||
- | |cuerpo= | ||
- | {{ejercicio_cuerpo | ||
- | |enunciado= | ||
- | |||
- | :a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en <math>dm^2</math>. | ||
- | :b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón. | ||
- | :c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1 <math>m^2</math>. | ||
- | :d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm. | ||
- | |||
- | {{p}} | ||
- | |sol= | ||
- | Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: | ||
- | |||
- | :a) {{consulta|texto=triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters}} | ||
- | :b) {{consulta|texto=triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area}} | ||
- | :c) {{consulta|texto=isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths}} | ||
- | :c) {{consulta|texto=equilateral triangle edge length 5cm area}} | ||
- | |||
- | {{widget generico}} | ||
- | }} | ||
- | |||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | |||
- | ==Trapecio== | ||
- | {{Tabla3 | ||
- | |celda1= | ||
- | [[Imagen:trapecio.png|180px]] | ||
- | |celda2={{p}} | ||
- | * '''Perímetro:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>P=b+B+c+d\;\!</math>}} | ||
- | * '''Área:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math>}} | ||
- | |celda3={{p}} | ||
- | * '''Elementos:''' | ||
- | :B: base mayor. | ||
- | :b: base menor. | ||
- | :a: altura. | ||
- | :c, d: lados. | ||
- | }} {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Trapecio''|cuerpo= | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado=1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio. | ||
- | |actividad= | ||
- | Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base <math>B+b\;\!</math> y altura <math>a\;\!</math>. | ||
- | |||
- | El área del paralelogramo es: | ||
- | <center><math>(B+b) \cdot a</math></center> | ||
- | de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio: | ||
- | <center><math>\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math></center> | ||
- | {{p}} | ||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_1.html | ||
- | width=420 | ||
- | height=310 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''Deducción de la fórmula del área del trapecio'''</center> | ||
- | {{p}} | ||
- | <center>(Mueve el punto rojo)</center> | ||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado=2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm. | ||
- | |actividad= | ||
- | Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente: | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_2.html | ||
- | width=430 | ||
- | height=310 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio'''</center>{{p}} | ||
- | <center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)</center> | ||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado=3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm. | ||
- | |actividad={{p}} | ||
- | Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente: | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_3.html | ||
- | width=395 | ||
- | height=280 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo'''</center>{{p}} | ||
- | <center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados) | ||
- | </center> | ||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado=4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm. | ||
- | |actividad={{p}} | ||
- | Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente: | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/area4_4.html | ||
- | width=410 | ||
- | height=280 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles'''</center>{{p}} | ||
- | <center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)</center> | ||
- | }} | ||
- | |||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{wolfram | ||
- | |titulo=Actividad: ''Trapecio'' | ||
- | |cuerpo= | ||
- | {{ejercicio_cuerpo | ||
- | |enunciado= | ||
- | |||
- | :a) Halla el área de un trapecio de bases 5cm y 7 cm y altura 4 cm. | ||
- | :b) Halla la altura de un trapecio de bases 5cm y 7cm y área 24 <math>cm^2</math>. | ||
- | |||
- | {{p}} | ||
- | |sol= | ||
- | Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: | ||
- | |||
- | :a) {{consulta|texto=trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area}} | ||
- | :b) {{consulta|texto=trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height}} | ||
- | |||
- | {{widget generico}} | ||
- | }} | ||
- | |||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | |||
- | ==Polígonos regulares== | ||
- | {{Tabla3 | ||
- | |celda1= | ||
- | [[Imagen:poligono.png]] | ||
- | |celda2={{p}} | ||
- | * '''Perímetro:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>P=n \cdot b</math>}} | ||
- | * '''Área:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {P \cdot a}{2}</math>}} | ||
- | |celda3={{p}} | ||
- | * '''Elementos:''' | ||
- | :b: lado. | ||
- | :a: apotema. | ||
- | * '''Nota:''' | ||
- | :n: número de lados. | ||
- | }} {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Polígono regulares''|cuerpo= | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área de un polígono regular. | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad=Desliza el punto verde y observa | ||
- | |||
- | *¿A qué otro área es igual la del pentágono regular? | ||
- | *¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un pentágono regular en función de sus dimensiones? ¿Por qué? | ||
- | *¿Y la de un polígono regular de n lados? | ||
- | |||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_pentagono.html | ||
- | width=780 | ||
- | height=460 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_pentagono.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | |||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 2:''' | ||
- | # Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área. | ||
- | # Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular) | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad= | ||
- | Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente: | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_1.html | ||
- | width=730 | ||
- | height=490 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''Calculo del área y del perímetro de un polígono regular.'''</center> | ||
- | <center>(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)</center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | Pero, para determinar el área, necesitamos conocer, además del lado, la apotema. Si conocemos uno de ellos y el radio, podemos hallar el otro por el Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente escena: | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_2.html | ||
- | width=490 | ||
- | height=340 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''Calculo de la apotema, lado o radio de un polígono regular.'''</center> | ||
- | <center>(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)</center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 3:''' Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular. | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad=En esta escena puedes comprobar el área, perímetro, apotema y lado de un polígono regular haciendo variar al radio. | ||
- | |||
- | Desliza el punto verde para modificar el número de lados. | ||
- | |||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_poligono.html | ||
- | width=780 | ||
- | height=460 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_poligono.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | |||
- | }} | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{wolfram | ||
- | |titulo=Actividad: ''Polígonos regulares'' | ||
- | |cuerpo= | ||
- | {{ejercicio_cuerpo | ||
- | |enunciado= | ||
- | |||
- | :a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado. | ||
- | :b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio. | ||
- | :c) Halla el ángulo central de un pentágono regular. | ||
- | :d) Halla el ángulo interior de un octógono regular. | ||
- | :e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales. | ||
- | :f) Halla el área (en <math>dm^2</math>) de un hexágono regular de 4 cm de apotema. | ||
- | :g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio. | ||
- | |||
- | {{p}} | ||
- | |sol= | ||
- | Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: | ||
- | |||
- | :a) {{consulta|texto=regular hexagon edge length 5cm area}} | ||
- | :b) {{consulta|texto=regular hexagon radius 3m perimeter}} | ||
- | :c) {{consulta|texto=regular pentagon central angle}} | ||
- | :d) {{consulta|texto=regular octagon interior angle}} | ||
- | :e) {{consulta|texto=regular 9-gon interior angle sum in deg}} | ||
- | :f) {{consulta|texto=regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2}} | ||
- | :g) {{consulta|texto=regular 6-gon radius 3 m incircle}} | ||
- | |||
- | {{widget generico}} | ||
- | }} | ||
- | |||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | |||
- | ==Círculo== | ||
- | {{Tabla3 | ||
- | |celda1= | ||
- | [[Imagen:circulo.png]] | ||
- | |celda2={{p}} | ||
- | * '''Perímetro:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot r</math>}} | ||
- | * '''Área:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>A=\pi \cdot r^2</math>}} | ||
- | |celda3={{p}} | ||
- | * '''Elementos:''' | ||
- | :r: radio. | ||
- | * '''Nota:''' | ||
- | :<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}} | ||
- | :El perímetro es la longitud de la circunferencia. | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Círculo''|cuerpo= | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 1:''' Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia. | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad=Desliza el punto verde y observa | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html | ||
- | width=780 | ||
- | height=460 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 2:''' Aproximación a la fórmula del área del círculo. | ||
- | {{p}} | ||
- | |actividad=Desliza el punto verde y observa | ||
- | |||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html | ||
- | width=780 | ||
- | height=460 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | |||
- | }} | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado='''Actividad 3:''' En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia. | ||
- | |actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena: | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html | ||
- | width=430 | ||
- | height=300 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''Calculo del área y del perímetro de un círculo.'''</center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | }} | ||
- | }} | ||
- | ===Corona circular=== | ||
- | {{Tabla3 | ||
- | |celda1= | ||
- | [[Imagen:corona.png]] | ||
- | |celda2={{p}} | ||
- | * '''Perímetro:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)</math>}} | ||
- | * '''Área:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>A=\pi \cdot (R^2-r^2)</math>}} | ||
- | |celda3={{p}} | ||
- | * '''Elementos:''' | ||
- | :r, R: radios respectivos. | ||
- | * '''Nota:''' | ||
- | :<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}} | ||
- | :El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias. | ||
- | }} {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Corona circular''|cuerpo= | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado=1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente. | ||
- | |actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena: | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html | ||
- | width=650 | ||
- | height=285 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''Calculo del área de una corona circular'''</center> | ||
- | <center>(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)</center> | ||
- | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | }} | ||
- | }} | ||
- | |||
- | ===Sector circular=== | ||
- | {{Tabla3 | ||
- | |celda1= | ||
- | [[Imagen:sector.png|160px]] | ||
- | |celda2={{p}} | ||
- | * '''Perímetro:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r</math>}} | ||
- | * '''Área:'''{{p}} | ||
- | {{Caja|contenido=<math>A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}</math>}} | ||
- | |celda3={{p}} | ||
- | * '''Elementos:''' | ||
- | :r: radio. | ||
- | :l: arco. | ||
- | :<math>\alpha\;\!</math>: ángulo (en grados sexagesimales). | ||
- | * '''Nota:''' | ||
- | :<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}} | ||
- | :El perímetro es la longitud del arco más los dos radios. | ||
- | }} {{p}} | ||
- | {{Desplegable|titulo=Demostración:{{b}}|contenido= | ||
- | La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres. | ||
- | |||
- | |||
- | <center><math>\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center> | ||
- | |||
- | Despejando el área del sector: | ||
- | |||
- | <center><math>A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center> | ||
- | |||
- | |||
- | de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, <math>\pi r^2\;\!</math>, se obtiene la fórmula. | ||
- | |||
- | |||
- | Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres. | ||
- | |||
- | |||
- | <center><math>\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center> | ||
- | |||
- | Despejando la longitud del sector: | ||
- | |||
- | <center><math>L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center> | ||
- | |||
- | |||
- | de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, <math>2 \pi r\;\!</math>, se obtiene la fórmula. | ||
- | ---- | ||
- | }} | ||
- | {{p}} | ||
- | {{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Sector circular''|cuerpo= | ||
- | {{ai_cuerpo | ||
- | |enunciado=1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco. | ||
- | |actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena: | ||
- | |||
- | <center><iframe> | ||
- | url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html | ||
- | width=430 | ||
- | height=300 | ||
- | name=myframe | ||
- | </iframe></center> | ||
- | <center>'''Calculo del área de un sector circular'''</center> | ||
- | <center>(Mueve el punto B para modificar el ángulo)</center><center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
- | }} | ||
- | }} |
Revisión actual
Tabla de contenidos |
Introducción
Un toque divertido para empezar el tema:
La aventura más poligonera de Troncho y Poncho con un final en tres dimensiones.
Áreas y perímetros
Empezaremos introduciendo los conceptos básicos necesarios para el cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.
Cómo encontrar el área y el perímetro de algunas figuras.
El área de una figura geométrica plana es la medida de su superficie.
- ¿Qué es superficie?
- ¿Qué es área?
- ¿Cómo se mide una superficie?
Breve explicación de la definición de área y cómo encontrar el área de diferentes figuras.
Un pequeño paseo por los conceptos básicos del cálculo de áreas de figuras planas.
Introducción al área de polígonos.
Introducción al área y unidades cuadradas.
Transición de las unidades cuadradas a la fórmula del área.
Medir el área con unidades cuadradas parciales.
Área de un rectángulo como producto de dimensiones es lo mismo que contar cuadrados unitarios.
Crear rectángulos con un área dada (parte 1).
Crear rectángulos con un área dada (parte 2).
Midiendo el mismo rectángulo con diferentes unidades cuadradas
Concepto de área.
Halla el área de la siguiente figura.
Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.
Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.
Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.
Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.
Encuentra el área al contar cuadrados unitarios.
Encuentra el área al contar cuadrados unitarios.
Transición de cuadrados unitarios a la fórmula del área.
Crea rectángulos con un área determinada.
Área de cuadrados y rectángulos.
El perímetro de una figura geométrica plana es la suma de las longitudes de sus lados.
Introducción al perímetro.
Halla el perímetro de la siguiente figura.
Halla el perímetro de la siguiente figura.
Halla el lado que falta conociendo el perímetro de la siguiente figura.
Encuentra el perímetro al contar cuadrados unitarios.
Encuentra el perímetro cuando te dan las longitudes laterales.
Encuentra una longitud lateral faltante cuando te dan el perímetro.
Figuras poligonales
Cuadrado
Área y perímetro del cuadrado. Ejemplo.
Calcula el área de un cuadrado de 1.2 cm de lado.
Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm.
Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1 cm.
En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del cuadrado; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del cuadrado.
Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de cuadrados.
Actividad: El cuadrado
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
Rectángulo
Área y perímetro del rectángulo. Ejemplo.
Área del rectángulo. Ejemplo.
Demostración de la fórmula del área del rectángulo.
Calcula el área en metros cuadrados de una finca que tiene forma rectangular con un lado de 2 km y una diagonal de 6 km.
Determinar el área de un rectángulo que tiene 60 cm de perímetro, si la razón entre sus lados es 3:2.
Carlos construyó una mesa rectangular con un perímetro de 20 pies y un área de 24 pies cuadrados. Sabiendo que la mesa es más larga que ancha y que los lados son números enteros, calcula por tanteo las dimensiones de la mesa.
Juan construyó un corral rectangular de 21 pies de largo y 78 pies de perímetro. ¿Cuál es el ancho del corral?
En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rectángulo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rectángulo.
Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de rectángulos.
Problemas verbales de área y perímetro de rectángulos.
Actividad: El rectángulo
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
Romboide
Área y perímetro del romboide. Ejemplos.
Área del paralelogramo. Ejemplo.
Demostración de la fórmula del área del romboide.
Halla el área y el perímetro de un romboide de lados 20 cm y 13 cm, siendo la altura de 12 cm..
Halla el área y el perímetro de un romboide a partir de la información que aparece dibujada.
En esta escena podrás deducir la fórmula del área del romboide y practicar con ella.
Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de romboides.
Actividad: El romboide
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
Rombo
Ejemplo de cálculo del área y del perímetro de un rombo.
Demostración de la fórmula del área de un rombo.
Nota: Hay un error al comienzo del video al enunciar la fórmula (dice "semiproducto de las longitudes de los lados" y debería decir "semiproducto de las longitudes de las diagonales"), aunque luego el resto de la demostración es correcta.
Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 36 cm y 24 cm.
El lado de un rombo mide 20 m y una de las diagonales 32 m. Calcula su área.
Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 5 m y 6 m, respectivamente.
Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 10 y 14 cm, respectivamente.
En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.
Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de rombos.
Actividad: El rombo
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
|
Triángulo
|
|
Videotutorial que condensa todo lo que vamos a ver sobre medidas en los triángulos.
Fórmula general y tres casos prácticos de cómo calcular el área de un triángulo.
Deducción del área de un triángulo.
Deduciendo la fórmula del área del triángulo.
Demostración de área del triángulo.
Calcula la altura de un triángulo de 34 cm2 de área y 10 cm de base.
El área de un triángulo isósceles es de 24 dm2. Si sabemos que la altura relativa al lado desigual es de 100 cm, ¿cuántos cm mide este lado?
Calcula el área de un triángulo equilátero de 7 cm de lado.
Calcula el la altura, el área y el perímetro de un triángulo isósceles de 8 cm de base y cuyos lados iguales miden 7 cm.
Calcula el área de un triángulo equilátero de 36 m de perímetro.
En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo.
Ejercicios de autoevaluación sobre el área y el perímetro de triángulos.
Actividades sobre el área del triángulo.
Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.
Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.
Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.
Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.
Fórmula de Herón
Nota: El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.
Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.
Supongamos un triángulo de lados , , , cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son , , .
Por el teorema del coseno, tenemos que:
Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:
- .
La altura de un triángulo de base tiene una longitud , por tanto siguiendo con la demostración
En esta escena podrás calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.
Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5.
Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 4.4, 6.7 y 9.3.
Determinar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 24 cm y 7 cm.
Actividad: El triángulo
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Trapecio
El trapecio y su área. Ejemplo.
Demostración de la fórmula del área de un trapecio.
Halla el área de un trapecio isósceles que tiene 9 cm de base menor, 12 cm de base mayor y 3 cm de altura.
Halla el área de un trapecio isósceles que tiene 8 cm de base menor, 12 cm de base mayor y 5 cm de lados no paralelos.
Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles que tiene 9 cm de base menor, 15 cm de base mayor y 5 cm de lados no paralelos.
Las bases de un trapecio rectángulo miden 6 cm y 2 cm, respectivamente. La altura mide 3 cm. Calcula su perímetro.
Las bases de un trapecio rectángulo miden 4 cm y 7 cm, y su altura 4 cm. Halla su perímetro.
Las bases de un trapecio rectángulo miden 8 cm y 6 cm, y su altura 5 cm. Halla su perímetro y su área.
Esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del trapecio; en la segunda podrás aplicar dicha fórmula en un caso práctico.
En esta escena podrás deducir la fórmula del área del trapecio de otra manera. Además podrás realizar el cálculo del área en una actividad.
Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de trapecios.
Ejercicio resuelto: Área del trapecio
Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.
Utilizando el teorema de Pitágoras se halla la altura a=10.7 cm. A continuación se aplica la fórmula para hallar el área.
Solución:
Actividad: El trapecio
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Polígonos regulares
Áreas y perímetros en polígonos regulares.
Áreas de polígonos regulares. Ejemplo.
Áreas de polígonos regulares. Ejemplo
Áreas de polígonos regulares.
Halla el área de un pentágono regular de 2.5 cm de lado y 2.16 cm de apotema.
Halla el área de un hexágono regular de 9 cm de lado.
Halla el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 6 dm de radio.
La base de un edificio con forma de pentágono regular tiene una superficie de 1000 m2. Si la distancia del centro del edificio a una de las puertas, situada en el punto medio de uno de sus lados, es de 12 m, ¿Cuánto mide cada lado del edificio?
Calcula el área de una hexágono regular de 10 cm de lado.
¿Cuántas baldosas con forma de hexágono regular de 80 cm de lado se necesitan para embaldosar una habitación de 13 m de largo por 9.4 m de ancho?
Calcula el lado de un octógono regular de 4 cm de apotema y 110 cm2 de área.
En esta escena podrás ver cómo se deduce el área de un polígono regular.
En esta escena podrás calcular el área y el perímetro de algunos polígonos regulares.
Actividad sobre áreas de polígonos regulares.
En esta escena podrás estudiar los elementos de un polígono regular: lados, diagonales, apotema y ángulos. También podrás calcular el perímetro y el área. El número de lados puede elegirse entre 3 y 20.
Actividades guiadas sobre áreas de polígonos regulares.
Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de polígonos regulares.
Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de polígonos regulares.
Actividad: Polígonos regulares
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Figuras curvas
Círculo
- Área de un circulo y longitud de una circunferencia.
- Longitud de un arco de circunferencia y área del sector circular.
- Ejemplos.
Área de un circulo y longitud de una circunferencia. Ejemplos.
El círculo, su área y su perímetro. Ejemplos
Cálculo del perímetro del círculo o longitud de la circunferencia.
Cálculo del área del círculo.
La longitud de la circunferencia y el número Pi. ¿Cómo calcular el número Pi de forma aproximada?
La circunferencia y el círculo. Elementos de la circunferencia. El número pi y el perímetro del círculo. Ejemplos.
Obtención del área del círculo como aproximación del área de un polígono.
Área del círculo y perímetro de la circunferencia.
Obtener el área de un círculo que posee un diámetro de 30 cm.
Obtener el perímetro de un círculo que posee un radio de 3 m.
Obtener el radio de un círculo que posee una circunferencia de 17.2788 pies.
Una máquina de dulces hace monedas de chocolate circulares. El diámetro de cada monedas es de 16 milímetros. ¿Cuál es el área de cada moneda?
Determinar el diámetro y el área de un círculo cuya circunferencia mide 188.4 cm
Si tienes un cuadrado de 15 cm de lado, calcula las longitudes de las circunferencias inscrita y circunscrita.
Si un arco de 180º tiene por longitud 120 cm, calcula la longitud de la circunferencia.
Si tienes una circunferencia circunscrita en un cuadrado de lado 8 cm, calcula su longitud y el perímetro del cuadrado.
Una rueda de bicicleta tiene 45 cm de radio. Calcula la longitud que recorrerá la rueda después de 200 vueltas.
Halla el área coloreada de la figura.
Acertijo que plantea un problema similar al siguiente: Supongamos que la Tierra es esférica y que la rodeamos con una cuerda por el ecuador. Si alargamos esa cuerda un metro poniéndola como un círculo en torno a la Tierra. ¿Crees que habrá espacio suficiente para que pase un conejo por el hueco?
En el acertijo planteado en el video, la cuerda se alarga 20 m y nos pregunta si podríamos pasar por debajo de ella sin agacharnos.
En esta escena podrás deducir la fórmula de la longitud de la circunferencia de forma aproximada.
En esta escena podrás deducir la fórmula del área del círculo "pelándolo".
Actividad en la que podrás ver como se obtiene la longitud de la circunferencia. También podrás hacer unos tests.
Actividades en las que podrás ver como se puede aproximar el área del círculo y la longitud de la circunferencia a partir del área y perímetro de polígonos regulares de muchos lados.
Halla la longitud de un arco de circunferencia.
¿Cuántos metros avanza una rueda de 30 cm de radio al dar una vuelta?
El diámetro de un círculo mide 20 dm. ¿Cuántos decímetros cuadrados mide su área?
Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo.
Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo.
Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo y la longitud de la circunferencia.
Actividad: El círculo
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Corona circular
Fórmula del área de la corona circular. Ejemplo.
Deducción de la fórmula del área de la corona circular. Ejemplo.
Halla el área de una corona circular de radio mayor, 50 m, y radio menor, 15 m.
Halla el área de una corona circular de radio mayor, 9 cm, y radio menor, 6 cm.
Halla el perímetro de una corona circular de radio mayor, 5 cm, y radio menor, 2 cm.
En esta escena podrás hallar el área de la corona circular.
Sector circular
La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.
Despejando el área del sector:
de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, , se obtiene la fórmula.
Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.
Despejando la longitud del sector:
de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, , se obtiene la fórmula.
Obtención del área de un sector circular. Ejemplo
Fórmula que permite calcular el área de un sector circular a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 1)
Fórmula que permite calcular el área de un sector circular a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 2)
Fórmula que permite calcular la longitud de un arco de circunferencia a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 3)
Fórmula que permite calcular la longitud de un arco de circunferencia a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 1)
2 ejercicios que hacen uso de la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia. (Nivel 2)
2 ejercicios que hacen uso de la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia. (Nivel 3)
Deducción de la fórmula del área del trapecio circular. Ejemplo.
En esta escena podrás hallar el área del sector circular y la longitud del arco de circunferencia correspondiente.
Actividad: El sector circular
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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Elipse
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En esta escena podrás hallar el área y el perímetro aproximado de la elipse.
Segmento de parábola
Ejercicios y videotutoriales
Los siguientes videotutoriales condensan las fórmulas vistas en esta página y resuelven varios ejercicios sobre áreas de figuras planas.
Tutorial que enuncia y razona las principales fórmulas de área de figuras geométricas básicas. Desde el rectángulo, pasando por el triángulo, rombo, trapecio... hasta el círculo y también aparece la explicación de qué es el número irracional pi.
Área del rectángulo, cuadrado, romboide y trapecio.
Área del triángulo, rombo y polígonos regulares.
Área del círculo, de la corona circular y del sector circular.
Pasos a tener en cuenta en los ejercicios de áreas y perímetros de figuras planas.
Ejercicios de áreas y perímetros.
Ejercicios de áreas y perímetros.
Ejercicios de áreas y perímetros.
Ejercicios de áreas y perímetros.