Plantilla:Perímetros y áreas

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Línea 1: Línea 1:
-==Cuadrado==+==Introducción==
-{{Caja_Amarilla|texto=+Un toque divertido para empezar el tema:
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:cuadrado.png|130px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=4 \cdot a </math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=a^2 \;\!</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>a\;</math>: lado.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del cuadrado; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del cuadrado.+
-|enlace=[https://ggbm.at/JujCAg6D Área y perímetro del cuadrado ]+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El cuadrado|contenido=+{{Video_enlace_angelitoons
-{{wolfram+|titulo1=Las aventuras de Troncho y Poncho: Áreas de polígonos
-|titulo=Actividad: ''El cuadrado''+|duracion=9'58"
-|cuerpo=+|sinopsis=La aventura más poligonera de Troncho y Poncho con un final en tres dimensiones.
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-:a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DxE3bt-bUMg
-:b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.+
-:c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.+
-:d) Halla el ángulo central de un cuadrado.+
-:e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.+
-:f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=square edge length 5 cm area}}+
-:b) {{consulta|texto=square edge length 3 m perimeter}}+
-:c) {{consulta|texto=square edge length 20 mm diagonal length}}+
-:d) {{consulta|texto=square central angle}}+
-:e) {{consulta|texto=square interior angle}}+
-:f) {{consulta|texto=square interior angle sum}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
- +==Áreas y perímetros==
-==Rectángulo==+{{Introducción áreas y perímetros de polígonos}}
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:rectangulo.png|200px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot a+2 \cdot b </math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=a \cdot b</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>b\;</math>: base.+
-:<math>a\;</math>: altura.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rectángulo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rectángulo.+
-|enlace=[https://ggbm.at/v3v8CeDM Área y perímetro del rectángulo]+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{wolfram desplegable|titulo=El rectángulo|contenido= 
-{{wolfram 
-|titulo=Actividad: ''El rectángulo'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-:a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en <math>m^2</math>.+==Figuras poligonales==
-:b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en <math>dam^2</math>+
-:c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.+
-{{p}} 
-|sol= 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
-:a) {{consulta|texto=rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters}}+===Cuadrado===
-:b) {{consulta|texto=rectangle edge lengths 30 m, 5 dam perimeter in dekameters}}+{{Area cuadrado}}
-:c) {{consulta|texto=rectangle edge lengths 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-==Paralelogramo== 
-{{Caja_Amarilla|texto= 
-{{Tabla3 
-|celda1= 
-[[Imagen:paralelogramo.png|220px]] 
-|celda2={{p}} 
-* '''Perímetro:'''{{p}} 
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot c+2 \cdot b </math>}} 
-* '''Área:'''{{p}} 
-{{Caja|contenido=<math>A=a \cdot b</math>}} 
-|celda3={{p}} 
-* '''Elementos:''' 
-:<math>b\;</math>: base. 
-:<math>a\;</math>: altura. 
-:<math>c\;</math>: lado 
-* '''Nota:''' 
-:El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo. 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{Geogebra_enlace 
-|descripcion=En esta escena podrás deducir la fórmula del área del paralelogramo y practicar con ella. 
-|enlace=[https://ggbm.at/TgrmaQgT Área del paralelogramo ] 
-}} 
-{{p}} 
-{{wolfram desplegable|titulo=El paralelogramo|contenido= 
-{{wolfram 
-|titulo=Actividad: ''El paralelogramo'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
- 
-:a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm. 
-:b) Halla el área de un paralelogramo de 50 cm de base y 2 dm de altura. 
 +===Rectángulo===
 +{{Area rectángulo}}
{{p}} {{p}}
-|sol= 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
-:a) {{consulta|texto=parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters}}+===Romboide===
-:a) {{consulta|texto=parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area}}+{{Area paralelogramo}}{{p}}
-{{widget generico}}+===Rombo===
-}}+{{Area rombo}}
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-==Rombo==+===Triángulo===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Area triangulo}}{{p}}
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:rombo.png|150px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=4 \cdot a</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {D \cdot d}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>a\;</math>: lado.+
-:<math>D\;</math>: diagonal mayor.+
-:<math>d\;</math>: diagonal menor.+
-* '''Nota:'''+
-:Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.{{p}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.+
-|enlace=[https://ggbm.at/XXSVrP87 Área y perímetro del rombo ]+
-}}+
-{{p}}+
-{{p}}+===Trapecio===
- +{{Area trapecio}}{{p}}
-{{wolfram desplegable|titulo=El rombo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El rombo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en <math>dm^2</math>.+
-:b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.+
 +===Polígonos regulares===
 +{{Área poligonos regulares}}
{{p}} {{p}}
-|sol= 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
-:a) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters}}+==Figuras curvas==
-:b) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters}}+===Círculo===
- +{{Area circulo}}
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Triángulo==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1={{p}}+
-[[Imagen:triangulo.png|240px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=b+c+d\;\!</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {b \cdot a}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>b\;</math>: base.+
-:<math>a\;</math>: altura.+
-:<math>c \ , d\;</math>: lados.+
-* '''Nota:'''+
-:Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo.+
-|enlace=[https://ggbm.at/mwSJZbYS Área del triángulo]+
-}}+
-{{p}}+
-{{teorema+
-|titulo=Fórmula de Herón+
-|enunciado=La superficie de un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' viene dada por:+
- +
-<center><math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,</math></center>+
- +
-donde <math>s\;</math> es el semiperímetro: <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>.+
-|demo='''Nota:''' El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.+
- +
-Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente. +
- +
-Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''.+
- +
-Por el teorema del coseno, tenemos que:+
- +
-:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>+
- +
-Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:+
- +
-:<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.+
- +
-La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración+
-:<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math>+
-:<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)</math>+
-:<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math>+
-:<math>\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El triángulo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El triángulo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en <math>dm^2</math>.+
-:b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.+
-:c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1 <math>m^2</math>.+
-:d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters}}+
-:b) {{consulta|texto=triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area}}+
-:c) {{consulta|texto=isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths}}+
-:c) {{consulta|texto=equilateral triangle edge length 5cm area}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Trapecio==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:trapecio.png|180px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=b+B+c+d\;\!</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>B\;</math>: base mayor.+
-:<math>b\;</math>: base menor.+
-:<math>a\;</math>: altura.+
-:<math>c \ , d\;</math>: lados.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Trapecio''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.+
-|actividad=+
-Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base <math>B+b\;\!</math> y altura <math>a\;\!</math>.+
- +
-El área del paralelogramo es:+
-<center><math>(B+b) \cdot a</math></center>+
-de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio:+
-<center><math>\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math></center>+
-{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_1.html+
-width=420+
-height=310+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Deducción de la fórmula del área del trapecio'''</center>+
-{{p}}+
-<center>(Mueve el punto rojo)</center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.+
-|actividad=+
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_2.html+
-width=430+
-height=310+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio'''</center>{{p}}+
-<center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)</center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.+
-|actividad={{p}}+
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area4_3.html+
-width=395+
-height=280+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo'''</center>{{p}}+
-<center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)+
-</center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.+
-|actividad={{p}}+
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/area4_4.html+
-width=410+
-height=280+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles'''</center>{{p}}+
-<center>(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)</center>+
-}}+
- +
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El trapecio|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El trapecio''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un trapecio de bases 5cm y 7 cm y altura 4 cm.+
-:b) Halla la altura de un trapecio de bases 5cm y 7cm y área 24 <math>cm^2</math>.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area}}+
-:b) {{consulta|texto=trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Polígonos regulares==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:poligono.png]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=n \cdot b</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {P \cdot a}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>b\;</math>: lado.+
-:a<math>\;</math>: apotema.+
-* '''Nota:'''+
-:<math>n\;</math>: número de lados.+
-}}+
-}} {{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Polígono regulares''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área de un polígono regular.+
-{{p}}+
-|actividad=Desliza el punto verde y observa+
- +
-*¿A qué otro área es igual la del pentágono regular?+
-*¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un pentágono regular en función de sus dimensiones? ¿Por qué?+
-*¿Y la de un polígono regular de n lados?+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_pentagono.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_pentagono.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2:''' +
-# Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.+
-# Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)+
-{{p}}+
-|actividad=+
-Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_1.html+
-width=730+
-height=490+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo del área y del perímetro de un polígono regular.'''</center>+
-<center>(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)</center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-Pero, para determinar el área, necesitamos conocer, además del lado, la apotema. Si conocemos uno de ellos y el radio, podemos hallar el otro por el Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente escena:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_2.html+
-width=490+
-height=340+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo de la apotema, lado o radio de un polígono regular.'''</center>+
-<center>(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)</center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area6_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 3:''' Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular.+
-{{p}}+
-|actividad=En esta escena puedes comprobar el área, perímetro, apotema y lado de un polígono regular haciendo variar al radio.+
- +
-Desliza el punto verde para modificar el número de lados.+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_poligono.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_poligono.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
- +
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=Polígonos regulares|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''Polígonos regulares''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.+
-:b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.+
-:c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.+
-:d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.+
-:e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.+
-:f) Halla el área (en <math>dm^2</math>) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.+
-:g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=regular hexagon edge length 5cm area}}+
-:b) {{consulta|texto=regular hexagon radius 3m perimeter}}+
-:c) {{consulta|texto=regular pentagon central angle}}+
-:d) {{consulta|texto=regular octagon interior angle}}+
-:e) {{consulta|texto=regular 9-gon interior angle sum in deg}}+
-:f) {{consulta|texto=regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2}}+
-:g) {{consulta|texto=regular 6-gon radius 3 m incircle}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Círculo==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:circulo.png]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot r</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\pi \cdot r^2</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>r\;</math>: radio.+
-* '''Nota:'''+
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}+
-:El perímetro es la longitud de la circunferencia.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Círculo''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.+
-{{p}}+
-|actividad=Desliza el punto verde y observa+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2:''' Aproximación a la fórmula del área del círculo.+
-{{p}}+
-|actividad=Desliza el punto verde y observa+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 3:''' En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia. +
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html+
-width=430+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo del área y del perímetro de un círculo.'''</center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El círculo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El círculo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un círculo de 3 m de radio.+
-:b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.+
-:c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18 <math>\pi</math> m.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=circle radius 3m area}}+
-:b) {{consulta|texto=circle radius 3m perimeter}}+
-:c) {{consulta|texto=circle perimeter 18*pi m area}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Corona circular=== ===Corona circular===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Area corona circular}}
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:corona.png]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\pi \cdot (R^2-r^2)</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>r \ , R\;</math>: radios respectivos.+
-* '''Nota:'''+
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}+
-:El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Corona circular''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente. 
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena: 
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-<center>'''Calculo del área de una corona circular'''</center> 
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
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-{{wolfram 
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-|enunciado= 
- 
-:a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m. 
- 
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-|sol= 
- 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
- 
-:a) {{consulta|texto=annulus, inner radius 3m, outer radius 5m, area}} 
- 
-{{widget generico}} 
-}} 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
===Sector circular=== ===Sector circular===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Area sector circular}}
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:sector.png|160px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>r\;</math>: radio.+
-:<math>l\;</math>: arco.+
-:<math>\alpha\;\!</math>: ángulo (en grados sexagesimales).+
-* '''Nota:'''+
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}+
-:El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.+
-}}+
-}} {{p}}+
-{{Desplegable|titulo=Demostración:{{b}}|contenido=+
-La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres. +
- +
- +
-<center><math>\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>+
- +
-Despejando el área del sector:+
- +
-<center><math>A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center>+
- +
- +
-de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, <math>\pi r^2\;\!</math>, se obtiene la fórmula.+
- +
- +
-Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.+
- +
- +
-<center><math>\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>+
- +
-Despejando la longitud del sector:+
- +
-<center><math>L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center>+
- +
- +
-de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, <math>2 \pi r\;\!</math>, se obtiene la fórmula.+
-----+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Sector circular''|cuerpo=+===Elipse===
-{{ai_cuerpo+{{Area elipse}}
-|enunciado=1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.+
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:+
- +
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-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html+
-width=430+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo del área de un sector circular'''</center>+
-<center>(Mueve el punto B para modificar el ángulo)</center><center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{wolfram desplegable|titulo=El sector circular|contenido=+===Segmento de parábola===
-{{wolfram+{{Area segmento parabola}}
-|titulo=Actividad: ''El sector circular''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.+
-:b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.+
- +
{{p}} {{p}}
-|sol=+==Ejercicios y videotutoriales==
- +{{Ejercicios y videotutoriales de areas de figuras planas}}
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=circular sector, radius 3m, angle 45º, area}}+
-:b) {{consulta|texto=circular sector, radius 3m, angle 45º, perimeter}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

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Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Áreas de polígonos (9'58")     Sinopsis:

La aventura más poligonera de Troncho y Poncho con un final en tres dimensiones.

[editar]

Áreas y perímetros

Empezaremos introduciendo los conceptos básicos necesarios para el cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.

Áreas y perímetros (3´36")     Sinopsis:

Cómo encontrar el área y el perímetro de algunas figuras.

El área de una figura geométrica plana es la medida de su superficie.

video
El área
Tutorial 1 (1'35")     Sinopsis:
  • ¿Qué es superficie?
  • ¿Qué es área?
  • ¿Cómo se mide una superficie?
Tutorial 2 (1'35")     Sinopsis:

Breve explicación de la definición de área y cómo encontrar el área de diferentes figuras.

Tutorial 3 (5´02")     Sinopsis:

Un pequeño paseo por los conceptos básicos del cálculo de áreas de figuras planas.

Tutorial 4 (1´33")     Sinopsis:

Introducción al área de polígonos.

Tutorial 5a (4´48")     Sinopsis:

Introducción al área y unidades cuadradas.

Tutorial 5b (5´26")     Sinopsis:

Transición de las unidades cuadradas a la fórmula del área.

Tutorial 5c (5´15")     Sinopsis:

Medir el área con unidades cuadradas parciales.

Tutorial 5d (6´33")     Sinopsis:

Área de un rectángulo como producto de dimensiones es lo mismo que contar cuadrados unitarios.

Tutorial 5e (5´38")     Sinopsis:

Crear rectángulos con un área dada (parte 1).

Tutorial 5f (4´09")     Sinopsis:

Crear rectángulos con un área dada (parte 2).

Tutorial 5g (4´48")     Sinopsis:

Midiendo el mismo rectángulo con diferentes unidades cuadradas

Tutorial 6 (4´48")     Sinopsis:

Concepto de área.

Ejercicio 1 (0´50")     Sinopsis:

Halla el área de la siguiente figura.

video
El área
Actividad 1     Descripción:
Actividad 2a     Descripción:

Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.

Actividad 2b     Descripción:

Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.

Actividad 2c     Descripción:

Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.

Actividad 2d     Descripción:

Halla el área de una figura dada sobre una cuadrícula.

Autoevaluación 1     Descripción:

Encuentra el área al contar cuadrados unitarios.

Autoevaluación 2     Descripción:

Encuentra el área al contar cuadrados unitarios.

Autoevaluación 3     Descripción:

Transición de cuadrados unitarios a la fórmula del área.

Autoevaluación 4     Descripción:

Crea rectángulos con un área determinada.

Autoevaluación 5     Descripción:

Área de cuadrados y rectángulos.

El perímetro de una figura geométrica plana es la suma de las longitudes de sus lados.

video
El perímetro
Tutorial (1'35")     Sinopsis:

Introducción al perímetro.

Ejercicio 1 (1'29")     Sinopsis:

Halla el perímetro de la siguiente figura.

Ejercicio 2 (5'55")     Sinopsis:

Halla el perímetro de la siguiente figura.

Ejercicio 3 (8'57")     Sinopsis:

Halla el lado que falta conociendo el perímetro de la siguiente figura.

video
El perímetro
Autoevaluación 1     Descripción:

Encuentra el perímetro al contar cuadrados unitarios.

Autoevaluación 2     Descripción:

Encuentra el perímetro cuando te dan las longitudes laterales.

Autoevaluación 3     Descripción:

Encuentra una longitud lateral faltante cuando te dan el perímetro.

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Figuras poligonales

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Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a\;: lado.

video
Área y perímetro del cuadrado
Tutorial (3'09")     Sinopsis:

Área y perímetro del cuadrado. Ejemplo.

Problema 1 (1´16")     Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado de 1.2 cm de lado.

Problema 2 (6'44")     Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm.

Problema 3 (5'19")     Sinopsis:

Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1 cm.

video
Área y perímetro del cuadrado
Actividad: Área y perímetro del cuadrado     Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del cuadrado; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del cuadrado.

Autoevaluación: Área del cuadrado     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de cuadrados.

wolfram
El cuadrado
wolfram

Actividad: El cuadrado

a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.
b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.
c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.
d) Halla el ángulo central de un cuadrado.
e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.
f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) square edge length 5 cm area
b) square edge length 3 m perimeter
c) square edge length 20 mm diagonal length
d) square central angle
e) square interior angle
f) square interior angle sum

[editar]

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.

video
Área y perímetro del rectángulo
Tutorial 1 (4'24")     Sinopsis:

Área y perímetro del rectángulo. Ejemplo.

Tutorial 2 (0'55")     Sinopsis:

Área del rectángulo. Ejemplo.

Área del rectángulo (demostración) (4'13")     Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área del rectángulo.

Problema 1 (4´28")     Sinopsis:

Calcula el área en metros cuadrados de una finca que tiene forma rectangular con un lado de 2 km y una diagonal de 6 km.

Problema 2 (5´27")     Sinopsis:

Determinar el área de un rectángulo que tiene 60 cm de perímetro, si la razón entre sus lados es 3:2.

Problema 3 (4´47")     Sinopsis:

Carlos construyó una mesa rectangular con un perímetro de 20 pies y un área de 24 pies cuadrados. Sabiendo que la mesa es más larga que ancha y que los lados son números enteros, calcula por tanteo las dimensiones de la mesa.

Problema 4 (3´15")     Sinopsis:

Juan construyó un corral rectangular de 21 pies de largo y 78 pies de perímetro. ¿Cuál es el ancho del corral?

video
Área y perímetro del rectángulo
Actividad     Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rectángulo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rectángulo.

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de rectángulos.

Autoevaluación 2     Descripción:

Problemas verbales de área y perímetro de rectángulos.

wolfram
El rectángulo
wolfram

Actividad: El rectángulo

a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en m2.
b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en dam2
c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters
b) rectangle edge lengths 30 m, 5 dam perimeter in dekameters
c) rectangle edge lengths 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters

[editar]

Romboide

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c\;: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

video
Área y perímetro del romboide
Tutorial 1 (1´39")     Sinopsis:

Área y perímetro del romboide. Ejemplos.

Tutorial 2 (0'34")     Sinopsis:

Área del paralelogramo. Ejemplo.

Área del romboide (demostración) (5´29")     Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área del romboide.

Problema 1 (1´56")     Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un romboide de lados 20 cm y 13 cm, siendo la altura de 12 cm..

Problema 2 (8´34")     Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un romboide a partir de la información que aparece dibujada.

video
Área del romboide
Actividad     Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del romboide y practicar con ella.

Autoevaluación     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de romboides.

wolfram
El romboide
wolfram

Actividad: El romboide

a) Halla el perímetro de un romboide de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.
b) Halla el área de un romboide de 50 cm de base y 2 dm de altura.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters
a) parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area

[editar]

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a\;: lado.
D\;: diagonal mayor.
d\;: diagonal menor.
  • Nota:
El área es la mitad de la de un rectángulo cuyas dimensiones sean las diagonales del rombo.

video
Área y perímetro del rombo
Tutorial (1´50")     Sinopsis:

Ejemplo de cálculo del área y del perímetro de un rombo.

Área del rombo (demostración) (2´52")     Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área de un rombo.

Nota: Hay un error al comienzo del video al enunciar la fórmula (dice "semiproducto de las longitudes de los lados" y debería decir "semiproducto de las longitudes de las diagonales"), aunque luego el resto de la demostración es correcta.

Problema 1 (8´12")     Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 36 cm y 24 cm.

Problema 2 (4'00")     Sinopsis:

El lado de un rombo mide 20 m y una de las diagonales 32 m. Calcula su área.

Problema 3 (4'53")     Sinopsis:

Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 5 m y 6 m, respectivamente.

Problema 4 (4'39")     Sinopsis:

Calcula el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 10 y 14 cm, respectivamente.

video
Área y perímetro del rombo
Actividad 1: Del rombo al rectángulo     Descripción:
Actividad 2: Área y perímetro del rombo     Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.

Autoevaluación: Área del rombo     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de rombos.

wolfram
El rombo
wolfram

Actividad: El rombo

a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en dm2.
b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters
b) rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters

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Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

video
Área y perímetro del triángulo
Tutorial 1 (6'58")     Sinopsis:

Videotutorial que condensa todo lo que vamos a ver sobre medidas en los triángulos.

Tutorial 2 (3'55")     Sinopsis:

Fórmula general y tres casos prácticos de cómo calcular el área de un triángulo.

Tutorial 3 (0'36")     Sinopsis:

Deducción del área de un triángulo.

Tutorial 4 (5'29")     Sinopsis:

Deduciendo la fórmula del área del triángulo.

Tutorial 5 (3'26")     Sinopsis:

Demostración de área del triángulo.

Problema 1 (1'50")     Sinopsis:

Calcula la altura de un triángulo de 34 cm2 de área y 10 cm de base.

Problema 2 (3'00")     Sinopsis:

El área de un triángulo isósceles es de 24 dm2. Si sabemos que la altura relativa al lado desigual es de 100 cm, ¿cuántos cm mide este lado?

Problema 3 (4'09")     Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 7 cm de lado.

Problema 4 (3'56")     Sinopsis:

Calcula el la altura, el área y el perímetro de un triángulo isósceles de 8 cm de base y cuyos lados iguales miden 7 cm.

Problema 5 (5'34")     Sinopsis:

Calcula el área de un triángulo equilátero de 36 m de perímetro.

video
Área y perímetro del triángulo
Actividad 1     Descripción:
Actividad 2     Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo.

Actividad 3     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área y el perímetro de triángulos.

Actividad 4     Descripción:

Actividades sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 3     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

Autoevaluación 4     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del triángulo.

ejercicio

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados a\;, b\;, c\; viene dada por:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,

donde s\; es el semiperímetro: s=\frac{a+b+c}{2}.

Demostración:

Nota: El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.

Supongamos un triángulo de lados a\;, b\;, c\;, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son \hat{A}\;, \hat{B}\;, \hat{C}\;.

Por el teorema del coseno, tenemos que:

\cos(\hat{C}) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:

\sin(\hat{C}) = \sqrt{1-\cos^2(\hat{C})} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

La altura de un triángulo de base a\; tiene una longitud b sin(\hat{C}), por tanto siguiendo con la demostración

A = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})
\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(\hat{C})
\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}
\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.

Fórmula de Herón     Descripción:

En esta escena podrás calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.

video
Fórmula de Herón
Ejercicio 1 (3´42")     Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5.

Ejercicio 2 (3´42")     Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 4.4, 6.7 y 9.3.

Ejercicio 3 (9´08")     Sinopsis:

Determinar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 24 cm y 7 cm.

wolfram
El triángulo
wolfram

Actividad: El triángulo

a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en dm2.
b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.
c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1 m2.
d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters
b) triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area
c) isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths
c) equilateral triangle edge length 5cm area

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Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B\;: base mayor.
b\;: base menor.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados oblicuos.

video
Área y perímetro del trapecio
Tutorial (4´26")     Sinopsis:

El trapecio y su área. Ejemplo.

Área del trapecio (demostración) (4´27")     Sinopsis:

Demostración de la fórmula del área de un trapecio.

Problema 1 (4´36")     Sinopsis:

Halla el área de un trapecio isósceles que tiene 9 cm de base menor, 12 cm de base mayor y 3 cm de altura.

Problema 2 (5´39")     Sinopsis:

Halla el área de un trapecio isósceles que tiene 8 cm de base menor, 12 cm de base mayor y 5 cm de lados no paralelos.

Problema 3 (8´21")     Sinopsis:

Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles que tiene 9 cm de base menor, 15 cm de base mayor y 5 cm de lados no paralelos.

Problema 4 (3'44")     Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 6 cm y 2 cm, respectivamente. La altura mide 3 cm. Calcula su perímetro.

Problema 5 (4'10")     Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 4 cm y 7 cm, y su altura 4 cm. Halla su perímetro.

Problema 6 (4'59")     Sinopsis:

Las bases de un trapecio rectángulo miden 8 cm y 6 cm, y su altura 5 cm. Halla su perímetro y su área.

video
Área del trapecio
Área del trapecio     Descripción:

Esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del trapecio; en la segunda podrás aplicar dicha fórmula en un caso práctico.

Otra forma de calcular el área del trapecio     Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del trapecio de otra manera. Además podrás realizar el cálculo del área en una actividad.

Autoevaluación     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de trapecios.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Área del trapecio

Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.

Solución:

Utilizando el teorema de Pitágoras se halla la altura a=10.7 cm. A continuación se aplica la fórmula para hallar el área.

Solución: A= 492.2 cm^2\;

wolfram
El trapecio
wolfram

Actividad: El trapecio

a) Halla el área de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y altura 4 cm.
b) Halla la altura de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y área 24 cm2.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area
b) trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height

[editar]

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: lado.
a\;: apotema.
  • Nota:
n\;: número de lados.

video
Áreas y perímetros en polígonos regulares
Tutorial 1 (5'14")     Sinopsis:

Áreas y perímetros en polígonos regulares.

Tutorial 2 (5'48")     Sinopsis:

Áreas de polígonos regulares. Ejemplo.

Tutorial 3 (4'57")     Sinopsis:

Áreas de polígonos regulares. Ejemplo

Tutorial 4 (1'00")     Sinopsis:

Áreas de polígonos regulares.

Problema 1 (2´01")     Sinopsis:

Halla el área de un pentágono regular de 2.5 cm de lado y 2.16 cm de apotema.

Problema 2 (4´52")     Sinopsis:

Halla el área de un hexágono regular de 9 cm de lado.

Problema 3 (5´06")     Sinopsis:

Halla el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 6 dm de radio.

Problema 4 (3´11")     Sinopsis:

La base de un edificio con forma de pentágono regular tiene una superficie de 1000 m2. Si la distancia del centro del edificio a una de las puertas, situada en el punto medio de uno de sus lados, es de 12 m, ¿Cuánto mide cada lado del edificio?

Problema 5 (6'27")     Sinopsis:

Calcula el área de una hexágono regular de 10 cm de lado.

Problema 6 (6'33")     Sinopsis:

¿Cuántas baldosas con forma de hexágono regular de 80 cm de lado se necesitan para embaldosar una habitación de 13 m de largo por 9.4 m de ancho?

Problema 7 (3'08")     Sinopsis:

Calcula el lado de un octógono regular de 4 cm de apotema y 110 cm2 de área.

video
Área y perímetro de polígonos regulares
Del polígono regular al rectángulo     Descripción:
Deducción del área de un polígono regular     Descripción:

En esta escena podrás ver cómo se deduce el área de un polígono regular.

Cálculo del área de polígonos regulares     Descripción:

En esta escena podrás calcular el área y el perímetro de algunos polígonos regulares.

Área del polígono regular     Descripción:

Actividad sobre áreas de polígonos regulares.

Polígonos regulares     Descripción:

En esta escena podrás estudiar los elementos de un polígono regular: lados, diagonales, apotema y ángulos. También podrás calcular el perímetro y el área. El número de lados puede elegirse entre 3 y 20.

Actividad: Área y perímetro del polígono regular     Descripción:

Actividades guiadas sobre áreas de polígonos regulares.

Autoevaluación 1: Área del polígono regular     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de polígonos regulares.

Autoevaluación 2: Área del polígono regular     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre áreas de polígonos regulares.

wolfram
Polígonos regulares
wolfram

Actividad: Polígonos regulares

a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.
b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.
c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.
d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.
e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.
f) Halla el área (en dm2) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.
g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) regular hexagon edge length 5cm area
b) regular hexagon radius 3m perimeter
c) regular pentagon central angle
d) regular octagon interior angle
e) regular 9-gon interior angle sum in deg
f) regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2
g) regular 6-gon radius 3 m incircle

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Figuras curvas

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Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r\;: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

video
Área de un circulo y longitud de una circunferencia
Tutorial 1 (5'13")     Sinopsis:
  • Área de un circulo y longitud de una circunferencia.
  • Longitud de un arco de circunferencia y área del sector circular.
  • Ejemplos.
Tutorial 2 (9'43")     Sinopsis:

Área de un circulo y longitud de una circunferencia. Ejemplos.

Tutorial 3 (19´44")     Sinopsis:

El círculo, su área y su perímetro. Ejemplos

Tutorial 4a (Longitud de la circunferencia) (2'07")     Sinopsis:

Cálculo del perímetro del círculo o longitud de la circunferencia.

Tutorial 4b (Área del círculo) (4'40")     Sinopsis:

Cálculo del área del círculo.

Tutorial 5 (Longitud de la circunferencia) (4'40")     Sinopsis:

La longitud de la circunferencia y el número Pi. ¿Cómo calcular el número Pi de forma aproximada?

Tutorial 6 (Longitud de la circunferencia) (13'42")     Sinopsis:

La circunferencia y el círculo. Elementos de la circunferencia. El número pi y el perímetro del círculo. Ejemplos.

Tutorial 7 (Área del círculo) (1'00")     Sinopsis:

Obtención del área del círculo como aproximación del área de un polígono.

Tutorial 8 (11'12")     Sinopsis:

Área del círculo y perímetro de la circunferencia.

Problema 1 (1'39")     Sinopsis:

Obtener el área de un círculo que posee un diámetro de 30 cm.

Problema 2 (1'33")     Sinopsis:

Obtener el perímetro de un círculo que posee un radio de 3 m.

Problema 3 (1'53")     Sinopsis:

Obtener el radio de un círculo que posee una circunferencia de 17.2788 pies.

Problema 4 (4'55")     Sinopsis:

Una máquina de dulces hace monedas de chocolate circulares. El diámetro de cada monedas es de 16 milímetros. ¿Cuál es el área de cada moneda?

Problema 5 (9´05")     Sinopsis:

Determinar el diámetro y el área de un círculo cuya circunferencia mide 188.4 cm

Problema 6 (6´40")     Sinopsis:

Si tienes un cuadrado de 15 cm de lado, calcula las longitudes de las circunferencias inscrita y circunscrita.

Problema 7 (1'33")     Sinopsis:

Si un arco de 180º tiene por longitud 120 cm, calcula la longitud de la circunferencia.

Problema 8 (5'00")     Sinopsis:

Si tienes una circunferencia circunscrita en un cuadrado de lado 8 cm, calcula su longitud y el perímetro del cuadrado.

Problema 9 (1'38")     Sinopsis:

Una rueda de bicicleta tiene 45 cm de radio. Calcula la longitud que recorrerá la rueda después de 200 vueltas.

Problema 10 (4´21")     Sinopsis:

Imagen:areasombreada_4.jpgHalla el área sombreada de la figura.

Ejercicio 11 (6´51")     Sinopsis:

Imagen:areasombreada_3.jpgHalla el área sombreada de la figura.

Ejercicio 12 (4´18")     Sinopsis:

Imagen:areasombreada_2.jpgHalla el área sombreada de la figura.

Problema 13 (4'34")     Sinopsis:

Halla el área coloreada de la figura.

Acertijo (Problema del conejo bajo la cuerda) (4'56")     Sinopsis:

Acertijo que plantea un problema similar al siguiente: Supongamos que la Tierra es esférica y que la rodeamos con una cuerda por el ecuador. Si alargamos esa cuerda un metro poniéndola como un círculo en torno a la Tierra. ¿Crees que habrá espacio suficiente para que pase un conejo por el hueco?

En el acertijo planteado en el video, la cuerda se alarga 20 m y nos pregunta si podríamos pasar por debajo de ella sin agacharnos.

video
Área y perímetro del círculo
Actividad 1: Longitud de la circunferencia     Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula de la longitud de la circunferencia de forma aproximada.

Actividad 2: Área del círculo     Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del círculo "pelándolo".

Actividad 3: Longitud de la circunferencia     Descripción:

Actividad en la que podrás ver como se obtiene la longitud de la circunferencia. También podrás hacer unos tests.

Actividad 4: Aproximación de la longitud de la circunferencia y del área del círculo     Descripción:

Actividades en las que podrás ver como se puede aproximar el área del círculo y la longitud de la circunferencia a partir del área y perímetro de polígonos regulares de muchos lados.

Actividad 5a     Descripción:

Halla la longitud de un arco de circunferencia.

Actividad 5b     Descripción:

¿Cuántos metros avanza una rueda de 30 cm de radio al dar una vuelta?

Actividad 5c     Descripción:

El diámetro de un círculo mide 20 dm. ¿Cuántos decímetros cuadrados mide su área?

Autoevaluación 1     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo.

Autoevaluación 3     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el área del círculo y la longitud de la circunferencia.

wolfram
El círculo
wolfram

Actividad: El círculo

a) Halla el área de un círculo de 3 m de radio.
b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.
c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18 π m.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) circle radius 3m area
b) circle radius 3m perimeter
c) circle perimeter 18*pi m area

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Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r \ , R\;: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

video
Área de la corona circular
Tutorial 1 (1'35")     Sinopsis:

Fórmula del área de la corona circular. Ejemplo.

Tutorial 2 (4'58")     Sinopsis:

Deducción de la fórmula del área de la corona circular. Ejemplo.

Problema 1 (2'19")     Sinopsis:

Halla el área de una corona circular de radio mayor, 50 m, y radio menor, 15 m.

Problema 2 (3'21")     Sinopsis:

Halla el área de una corona circular de radio mayor, 9 cm, y radio menor, 6 cm.

Perímetro de la corona circular (2'19")     Sinopsis:

Halla el perímetro de una corona circular de radio mayor, 5 cm, y radio menor, 2 cm.

Área de la corona circular     Descripción:

En esta escena podrás hallar el área de la corona circular.

wolfram
La corona circular
wolfram

Actividad: La corona circular

a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) annulus, inner radius 3m, outer radius 5m, area

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Sector circular

  • Longitud del arco:

l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}=r \cdot \theta

  • Perímetro:

P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}=\cfrac{l \cdot r}{2}=\cfrac{r^2 \cdot \theta}{2}

  • Elementos:
r\;: radio.
l\;: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
\theta\;\!: ángulo \alpha\; (en radianes).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.
Demostración: 

La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.


\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}

Despejando el área del sector:

A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}


de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, \pi r^2\;\!, se obtiene la fórmula.

Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.


\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}

Despejando la longitud del sector:

L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}


de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, 2 \pi r\;\!, se obtiene la fórmula.

video
Área del sector circular
Tutorial (4´37")     Sinopsis:

Obtención del área de un sector circular. Ejemplo

Ejercicios 1 (11'37")     Sinopsis:

Fórmula que permite calcular el área de un sector circular a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 1)

Ejercicios 2 (14'11")     Sinopsis:

Fórmula que permite calcular el área de un sector circular a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 2)

Ejercicio 3 (11'39")     Sinopsis:

Fórmula que permite calcular la longitud de un arco de circunferencia a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 3)

Ejercicio 4 (7´49")     Sinopsis:

Imagen:areasombreada_1.jpgHalla el área sombreada de la figura.

video
Longitud del arco de circunferencia
Ejercicios 1 (16'15")     Sinopsis:

Fórmula que permite calcular la longitud de un arco de circunferencia a partir del valor del ángulo central. Ejercicios. (Nivel 1)

Ejercicios 2 (20'42")     Sinopsis:

2 ejercicios que hacen uso de la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia. (Nivel 2)

Ejercicios 3 (14'19")     Sinopsis:

2 ejercicios que hacen uso de la fórmula de la longitud de un arco de circunferencia. (Nivel 3)

Área del trapecio circular (7'06")     Sinopsis:

Deducción de la fórmula del área del trapecio circular. Ejemplo.

Área del sector circular y longitud de su arco     Descripción:

En esta escena podrás hallar el área del sector circular y la longitud del arco de circunferencia correspondiente.

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El sector circular
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Actividad: El sector circular

a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.
b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) circular sector, radius 3m, angle 45º, area
b) circular sector, radius 3m, angle 45º, perimeter

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Elipse

 

  • Perímetro:

P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

  • Área:

A=\pi a b\;

  • Elementos:
a\;: semieje mayor.
b\;: semieje menor.
  • Notas:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

La fórmula del perímetro es una aproximación obtenida por Ramanujan. Una fórmula exacta requiere del uso de series.

Área y perímetro de la elipse     Descripción:

En esta escena podrás hallar el área y el perímetro aproximado de la elipse.

wolfram
La elipse
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Actividad: La elipse

Halla el área de una elipse cuyos semiejes miden 3 y 5 cm, respectivamente.


Solución:
Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión:

ellipse area, semimajor axis=5 cm, semiminor axis=3 cm

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Segmento de parábola

  • Área:

A=\cfrac{2}{3} \,a \, b

  • Elementos:
a \, , b\;: Lados del rectángulo circunscrito.

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Ejercicios y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales condensan las fórmulas vistas en esta página y resuelven varios ejercicios sobre áreas de figuras planas.

video
Áreas de figuras planas
Tutorial 1 (21'14")     Sinopsis:

Tutorial que enuncia y razona las principales fórmulas de área de figuras geométricas básicas. Desde el rectángulo, pasando por el triángulo, rombo, trapecio... hasta el círculo y también aparece la explicación de qué es el número irracional pi.

Tutorial 2a (7'10")     Sinopsis:

Área del rectángulo, cuadrado, romboide y trapecio.

Tutorial 2b (10'04")     Sinopsis:

Área del triángulo, rombo y polígonos regulares.

Tutorial 2c (11'12")     Sinopsis:

Área del círculo, de la corona circular y del sector circular.

Ejercicios 1 (6'31")     Sinopsis:

Pasos a tener en cuenta en los ejercicios de áreas y perímetros de figuras planas.

Ejercicios 2 (15'45")     Sinopsis:

Ejercicios de áreas y perímetros.

Ejercicios 3 (12'32")     Sinopsis:

Ejercicios de áreas y perímetros.

Ejercicios 4 (11'49")     Sinopsis:

Ejercicios de áreas y perímetros.

Ejercicios 5 (11'12")     Sinopsis:

Ejercicios de áreas y perímetros.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Per%C3%ADmetros_y_%C3%A1reas"
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