Plantilla:Perímetros y áreas

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-==Cuadrado==+==Introducción==
-{{Area cuadrado}}+Un toque divertido para empezar el tema:
-{{p}}+
-==Rectángulo==+{{Video_enlace_angelitoons
-{{Area rectángulo}}+|titulo1=Las aventuras de Troncho y Poncho: Áreas de polígonos
-{{p}}+|duracion=9'58"
 +|sinopsis=La aventura más poligonera de Troncho y Poncho con un final en tres dimensiones.
-==Paralelogramo==+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=DxE3bt-bUMg
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:paralelogramo.png|220px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot c+2 \cdot b </math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=a \cdot b</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>b\;</math>: base.+
-:<math>a\;</math>: altura.+
-:<math>c\;</math>: lado+
-* '''Nota:'''+
-:El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Geogebra_enlace+==Áreas y perímetros==
-|descripcion=En esta escena podrás deducir la fórmula del área del paralelogramo y practicar con ella.+{{Introducción áreas y perímetros de polígonos}}
-|enlace=[https://ggbm.at/TgrmaQgT Área del paralelogramo ]+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{wolfram desplegable|titulo=El paralelogramo|contenido= 
-{{wolfram 
-|titulo=Actividad: ''El paralelogramo'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-:a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.+==Figuras poligonales==
-:b) Halla el área de un paralelogramo de 50 cm de base y 2 dm de altura.+
-{{p}} 
-|sol= 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
-:a) {{consulta|texto=parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters}}+===Cuadrado===
-:a) {{consulta|texto=parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area}}+{{Area cuadrado}}
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-==Rombo==+===Rectángulo===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Area rectángulo}}
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:rombo.png|150px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=4 \cdot a</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {D \cdot d}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>a\;</math>: lado.+
-:<math>D\;</math>: diagonal mayor.+
-:<math>d\;</math>: diagonal menor.+
-* '''Nota:'''+
-:Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.{{p}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.+
-|enlace=[https://ggbm.at/XXSVrP87 Área y perímetro del rombo ]+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{p}}+===Romboide===
- +{{Area paralelogramo}}{{p}}
-{{wolfram desplegable|titulo=El rombo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El rombo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en <math>dm^2</math>.+
-:b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.+
 +===Rombo===
 +{{Area rombo}}
{{p}} {{p}}
-|sol= 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
-:a) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters}}+===Triángulo===
-:b) {{consulta|texto=rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters}}+{{Area triangulo}}{{p}}
-{{widget generico}}+===Trapecio===
-}}+{{Area trapecio}}{{p}}
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-==Triángulo==+===Polígonos regulares===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Área poligonos regulares}}
-{{Tabla3+
-|celda1={{p}}+
-[[Imagen:triangulo.png|240px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=b+c+d\;\!</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {b \cdot a}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>b\;</math>: base.+
-:<math>a\;</math>: altura.+
-:<math>c \ , d\;</math>: lados.+
-* '''Nota:'''+
-:Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Geogebra_enlace 
-|descripcion=En esta escena podrás deducir la fórmula del área del triángulo. 
-|enlace=[https://ggbm.at/mwSJZbYS Área del triángulo] 
-}} 
-{{p}} 
-{{teorema 
-|titulo=Fórmula de Herón 
-|enunciado=La superficie de un triángulo de lados <math>a\;</math>, <math>b\;</math>, <math>c\;</math> viene dada por: 
-<center><math>A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,</math></center>+==Figuras curvas==
- +===Círculo===
-donde <math>s\;</math> es el semiperímetro: <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>.+{{Area circulo}}
-|demo='''Nota:''' El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.+
- +
-Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente. +
- +
-Supongamos un triángulo de lados <math>a\;</math>, <math>b\;</math>, <math>c\;</math>, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son <math>\hat{A}\;</math>, <math>\hat{B}\;</math>, <math>\hat{C}\;</math>.+
- +
-Por el teorema del coseno, tenemos que:+
- +
-:<math>\cos(\hat{C}) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>+
- +
-Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:+
- +
-:<math>\sin(\hat{C}) = \sqrt{1-\cos^2(\hat{C})} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.+
- +
-La altura de un triángulo de base <math>a\;</math> tiene una longitud <math>b sin(\hat{C})</math>, por tanto siguiendo con la demostración+
-:<math>A = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math>+
-:<math>\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(\hat{C})</math>+
-:<math>\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}</math>+
-:<math>\qquad = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.</math>+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás calcular el área de un triángulo mediante la fórmula de Herón.+
-|enlace=[https://ggbm.at/whbK5aA6 Fórmula de Herón]+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El triángulo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El triángulo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en <math>dm^2</math>.+
-:b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.+
-:c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1 <math>m^2</math>.+
-:d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters}}+
-:b) {{consulta|texto=triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area}}+
-:c) {{consulta|texto=isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths}}+
-:c) {{consulta|texto=equilateral triangle edge length 5cm area}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Trapecio==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:trapecio.png|180px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=b+B+c+d\;\!</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>B\;</math>: base mayor.+
-:<math>b\;</math>: base menor.+
-:<math>a\;</math>: altura.+
-:<math>c \ , d\;</math>: lados.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=Esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del trapecio; en la segunda podrás aplicar dicha fórmula en un caso práctico.+
-|enlace=[https://ggbm.at/XMH6684J Área del trapecio]+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás deducir la fórmula del área del trapecio de otra manera. Además podrás realizar el cálculo del área en una actividad.+
-|enlace=[https://ggbm.at/azMg3AYh Otra forma de calcular el área del trapecio]+
-}}+
-{{p}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El trapecio|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El trapecio''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y altura 4 cm.+
-:b) Halla la altura de un trapecio de bases 5 cm y 7 cm y área 24 <math>cm^2</math>.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area}}+
-:b) {{consulta|texto=trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Polígonos regulares==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:poligono.png]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=n \cdot b</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac {P \cdot a}{2}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>b\;</math>: lado.+
-:<math>a\;</math>: apotema.+
-* '''Nota:'''+
-:<math>n\;</math>: número de lados.+
-}}+
-}} +
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás estudiar los elementos de un polígono regular: lados, diagonales, apotema y ángulos. También podrás calcular el perímetro y el área. El número de lados puede elegirse entre 3 y 20.+
-|enlace=[https://ggbm.at/QYSfVHKc Polígonos regulares]+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás ver cómo se deduce el área de un polígono regular.+
-|enlace=[https://ggbm.at/PReRvXHg Área de polígonos regulares]+
-}}+
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás calcular el área y el perímetro de algunos polígonos regulares.+
-|enlace=[https://ggbm.at/DfDNEkdV Cálculo del área de polígonos regulares]+
-}}+
-{{p}}{{wolfram desplegable|titulo=Polígonos regulares|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''Polígonos regulares''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.+
-:b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.+
-:c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.+
-:d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.+
-:e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.+
-:f) Halla el área (en <math>dm^2</math>) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.+
-:g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=regular hexagon edge length 5cm area}}+
-:b) {{consulta|texto=regular hexagon radius 3m perimeter}}+
-:c) {{consulta|texto=regular pentagon central angle}}+
-:d) {{consulta|texto=regular octagon interior angle}}+
-:e) {{consulta|texto=regular 9-gon interior angle sum in deg}}+
-:f) {{consulta|texto=regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2}}+
-:g) {{consulta|texto=regular 6-gon radius 3 m incircle}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Círculo==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:circulo.png]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot r</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\pi \cdot r^2</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>r\;</math>: radio.+
-* '''Nota:'''+
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}+
-:El perímetro es la longitud de la circunferencia.+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Círculo''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.+
-{{p}}+
-|actividad=Desliza el punto verde y observa+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/longitud_circunferencia.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2:''' Aproximación a la fórmula del área del círculo.+
-{{p}}+
-|actividad=Desliza el punto verde y observa+
- +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html+
-width=780+
-height=460+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_circulo.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 3:''' En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia. +
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html+
-width=430+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo del área y del perímetro de un círculo.'''</center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
-{{wolfram desplegable|titulo=El círculo|contenido=+
-{{wolfram+
-|titulo=Actividad: ''El círculo''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un círculo de 3 m de radio.+
-:b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.+
-:c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18 <math>\pi</math> m.+
- +
-{{p}}+
-|sol=+
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=circle radius 3m area}}+
-:b) {{consulta|texto=circle radius 3m perimeter}}+
-:c) {{consulta|texto=circle perimeter 18*pi m area}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Corona circular=== ===Corona circular===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Area corona circular}}
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:corona.png]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\pi \cdot (R^2-r^2)</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>r \ , R\;</math>: radios respectivos.+
-* '''Nota:'''+
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}+
-:El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Corona circular''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente. 
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena: 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html 
-width=650 
-height=285 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>'''Calculo del área de una corona circular'''</center> 
-<center>(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)</center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_4.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{wolfram desplegable|titulo=La corona circular|contenido= 
-{{wolfram 
-|titulo=Actividad: ''La corona circular'' 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
- 
-:a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m. 
- 
-{{p}} 
-|sol= 
- 
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: 
- 
-:a) {{consulta|texto=annulus, inner radius 3m, outer radius 5m, area}} 
- 
-{{widget generico}} 
-}} 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
===Sector circular=== ===Sector circular===
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Area sector circular}}
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-[[Imagen:sector.png|160px]]+
-|celda2={{p}}+
-* '''Perímetro:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r</math>}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''+
-:<math>r\;</math>: radio.+
-:<math>l\;</math>: arco.+
-:<math>\alpha\;\!</math>: ángulo (en grados sexagesimales).+
-* '''Nota:'''+
-:<math>\pi\;\!</math>: número Pi = 3,14159...{{p}}+
-:El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.+
-}}+
-}} {{p}}+
-{{Desplegable|titulo=Demostración:{{b}}|contenido=+
-La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres. +
- +
- +
-<center><math>\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>+
- +
-Despejando el área del sector:+
- +
-<center><math>A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center>+
- +
- +
-de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, <math>\pi r^2\;\!</math>, se obtiene la fórmula.+
- +
- +
-Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.+
- +
- +
-<center><math>\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}</math></center>+
- +
-Despejando la longitud del sector:+
- +
-<center><math>L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}</math></center>+
- +
- +
-de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, <math>2 \pi r\;\!</math>, se obtiene la fórmula.+
-----+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Sector circular''|cuerpo=+===Elipse===
-{{ai_cuerpo+{{Area elipse}}
-|enunciado=1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.+
-|actividad=Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html+
-width=430+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>'''Calculo del área de un sector circular'''</center>+
-<center>(Mueve el punto B para modificar el ángulo)</center><center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area7_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{wolfram desplegable|titulo=El sector circular|contenido=+===Segmento de parábola===
-{{wolfram+{{Area segmento parabola}}
-|titulo=Actividad: ''El sector circular''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
- +
-:a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.+
-:b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.+
- +
{{p}} {{p}}
-|sol=+==Ejercicios y videotutoriales==
- +{{Ejercicios y videotutoriales de areas de figuras planas}}
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+
- +
-:a) {{consulta|texto=circular sector, radius 3m, angle 45º, area}}+
-:b) {{consulta|texto=circular sector, radius 3m, angle 45º, perimeter}}+
- +
-{{widget generico}}+
-}}+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Áreas y perímetros

Empezaremos introduciendo los conceptos básicos necesarios para el cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.

El área de una figura geométrica plana es la medida de su superficie.

El perímetro de una figura geométrica plana es la suma de las longitudes de sus lados.

Figuras poligonales

Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a\;: lado.

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.

Romboide

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c\;: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a\;: lado.
D\;: diagonal mayor.
d\;: diagonal menor.
  • Nota:
El área es la mitad de la de un rectángulo cuyas dimensiones sean las diagonales del rombo.

Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

ejercicio

Fórmula de Herón


La superficie de un triángulo de lados a\;, b\;, c\; viene dada por:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,

donde s\; es el semiperímetro: s=\frac{a+b+c}{2}.

Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B\;: base mayor.
b\;: base menor.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados oblicuos.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Área del trapecio


Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: lado.
a\;: apotema.
  • Nota:
n\;: número de lados.

Figuras curvas

Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r\;: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r \ , R\;: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

Sector circular

  • Longitud del arco:

l=\cfrac{2  \pi r \cdot \alpha}{360^o}=r \cdot \theta

  • Perímetro:

P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}=\cfrac{l \cdot r}{2}=\cfrac{r^2 \cdot \theta}{2}

  • Elementos:
r\;: radio.
l\;: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
\theta\;\!: ángulo \alpha\; (en radianes).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Elipse

 

  • Perímetro:

P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

  • Área:

A=\pi a b\;

  • Elementos:
a\;: semieje mayor.
b\;: semieje menor.
  • Notas:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

La fórmula del perímetro es una aproximación obtenida por Ramanujan. Una fórmula exacta requiere del uso de series.

Segmento de parábola

  • Área:

A=\cfrac{2}{3} \,a \, b

  • Elementos:
a \, , b\;: Lados del rectángulo circunscrito.

Ejercicios y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales condensan las fórmulas vistas en esta página y resuelven varios ejercicios sobre áreas de figuras planas.

Herramientas personales
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