Plantilla:Perímetros y áreas

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-{{Video: Clasificación de los polígonos}}+Un toque divertido para empezar el tema:
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 +|sinopsis=La aventura más poligonera de Troncho y Poncho con un final en tres dimensiones.
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-{{Video: Cálculo de áreas de polígonos}}+==Áreas y perímetros==
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 +==Ejercicios y videotutoriales==
 +{{Ejercicios y videotutoriales de areas de figuras planas}}
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Tabla de contenidos

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Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

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Áreas y perímetros

Empezaremos introduciendo los conceptos básicos necesarios para el cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.

El área de una figura geométrica plana es la medida de su superficie.

El perímetro de una figura geométrica plana es la suma de las longitudes de sus lados.

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Figuras poligonales

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Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a\;: lado.

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Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.

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Romboide

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c\;: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

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Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a\;: lado.
D\;: diagonal mayor.
d\;: diagonal menor.
  • Nota:
El área es la mitad de la de un rectángulo cuyas dimensiones sean las diagonales del rombo.

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Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: base.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

ejercicio

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados a\;, b\;, c\; viene dada por:

A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,

donde s\; es el semiperímetro: s=\frac{a+b+c}{2}.

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Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B\;: base mayor.
b\;: base menor.
a\;: altura.
c \ , d\;: lados oblicuos.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Área del trapecio

Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.

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Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b\;: lado.
a\;: apotema.
  • Nota:
n\;: número de lados.

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Figuras curvas

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Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r\;: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

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Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r \ , R\;: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

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Sector circular

  • Longitud del arco:

l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}=r \cdot \theta

  • Perímetro:

P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}=\cfrac{l \cdot r}{2}=\cfrac{r^2 \cdot \theta}{2}

  • Elementos:
r\;: radio.
l\;: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
\theta\;\!: ángulo \alpha\; (en radianes).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

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Elipse

 

  • Perímetro:

P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

  • Área:

A=\pi a b\;

  • Elementos:
a\;: semieje mayor.
b\;: semieje menor.
  • Notas:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

La fórmula del perímetro es una aproximación obtenida por Ramanujan. Una fórmula exacta requiere del uso de series.

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Segmento de parábola

  • Área:

A=\cfrac{2}{3} \,a \, b

  • Elementos:
a \, , b\;: Lados del rectángulo circunscrito.

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Ejercicios y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales condensan las fórmulas vistas en esta página y resuelven varios ejercicios sobre áreas de figuras planas.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Per%C3%ADmetros_y_%C3%A1reas"
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