Problemas clásicos (3ºESO Académicas)
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Tabla de contenidos |
(Pág. 47)
Repartos proporcionales
En los repartos proporcionales tenemos que partir una cantidad en varias partes, de manera que cada parte sea proporcional, directa o inversamente, a unos ciertos números dados.
Repartos directamente proporcionales
Procedimiento
Para repartir una cantidad, 
, en partes directamente proporcionales a 
, tenemos que:
- Calcular la suma
y la razón 
.
- Multiplicar por
para obtener las partes buscadas: 
Ejemplo: Repartos directamente proporcionales
Tres grifos aportan 2 l/s, 5 l/s y 7 l/s, respectivamente. Se abren los tres simultáneamente para llenar una balsa de 17080 l. Cuando la balsa está llena, ¿qué volumen de agua habrá manado de cada grifo?
Los tres grifos aportan 
, de manera que:
El primero aporta 
del total 
El segundo aporta 
del total 
del total 
Tutorial (4'10") Sinopsis:Tutorial que explica los problemas de reparto proporcional.
Problema 1 (17'03") Sinopsis:Tutorial que explica un problema concreto de proporcionalidad directa que es el de un reparto, viendo distintos métodos de resolución: por proporciones/porcentajes, reducción a la unidad, proporcionalidad y regla de tres:
Problema: Tres amigos, Ana, Berta y Carlos, decidieron echar una quiniela de futbol poniendo cada uno de ellos, 6, 15 y 9 €, respectivamente. Después del fin de semana se enteraron que habían tenido 12 aciertos y que les había tocado un premio total de 1200 €. ¿Cuánto dinero le corresponderá a cada uno de ellos?
Problemas 2 (6'50") Sinopsis:Reparto proporcional directo:
- La comunidad de una urbanización encarga su pintado a tres empresas. La empresa A pinta 50 pisos, la B, 39, y la C, 51. El coste del pintado asciende a 70000€. ¿Cuánto ha cobrado cada empresa?
- Tres amigos deciden formar una peña de apuestas deportivas. Pedro aporta 45 €, Laura 31 € y Agustín 44 €. En una apuesta ganan 55000 € y deciden repartirlo. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
Problema 3 (3'43") Sinopsis: Reparto proporcional directo:
Tres amigos compran lotería por valor de 20$. El primero pone 6$, el segundo 9$ y el tercero 5$. Si ganan un premiode 4000$, ¿cuánto le corresponde a cada uno?
Problemas 4 (4'47") Sinopsis:2 ejemplos de problemas de repartos proporcionales.
Repartos directamente proporcionales Descripción: Practica los repartos directamente proporcionales.
Autoevaluación 1 Descripción: Problemas de autoevaluación sobre repartos directamente proporcionales.
Autoevaluación 2 Descripción: Problemas de autoevaluación sobre repartos directamente proporcionales.
Repartos inversamente proporcionales
Procedimiento
Repartir una cantidad, , en partes inversamente proporcionales a , equivale a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a sus inversos, 
Ejemplo: Repartos inversamente proporcionales
Un jefe decide repartir 700 € de gratificación entre sus tres empleados, Juan, Luis y Guillermo, de manera que cada uno reciba una cantidad que sea inversamente proporcional al número de veces que han llegado tarde. Si Juan ha llegado 1 día tarde, Luis, 2 días, y Guillermo, 4 días, cuánto le corresponderá a cada uno?
hay que hacer un reparto directamente proporcional a 1, 1/2 y 1/4:
Calculamos 
y 
Juan recibirá 
€.
Luis recibirá 
€.
€. Tutorial (5'32") Sinopsis:Tutorial que explica los problemas de repartos inversamente proporcionales.
Problema 1 (9'15") Sinopsis:Tutorial que explica un problema concreto de reparto proporcional inverso.
Problema: Tres amigos, Ana, Berta y Carlos, decidieron echar una carrera, en la cual tardaron 2, 3 y 4 minutos, respectivamente. Antes de la misma, acordaron repartirse 390 cromos de una colección en función del tiempo empleado en la carrera. ¿Cuántos cromos le corresponden a cada uno de ellos?
Problema 2 (5'46") Sinopsis: Reparto proporcional inverso:
Se va a repartir una gratificación por puntualidad consistente en 38$, entre 3 empleados de una oficina. Sabiendo que han tenido 2, 4 y 5 retrasos, respectivamente, ¿cuánto dinero recibe cada uno?
Problemas 3 (6'35") Sinopsis:Problemas de repartos inversamente proporcionales.
Repartos inversamente proporcionales Descripción: Practica los repartos inversamente proporcionales.
Autoevaluación 1 Descripción: Problemas de autoevaluación sobre repartos inversamente proporcionales.
Autoevaluación: Repartos inversamente proporcionales Descripción: Problemas de autoevaluación sobre repartos inversamente proporcionales.
Actividades
Practica con problemas de repartos proporcionales directos e inversos.
Problemas resueltos sobre repartos proporcionales.
 Ejercicios propuestos: Repartos proporcionales (Pág. 47) |
(Pág. 48)
Mezclas
Ejercicio resuelto: Mezclas
Se muelen conjuntamente 50 kg de café de 8.80 €/kg y 30 kg de otro café de inferior calidad, de 6.40 €/kg. ¿A cómo resulta el kilo de la mezcla obtenida?
Para resolverlo haremos uso de la siguiente tabla:
| 
|
Problema 1 (11'08") Sinopsis:Problema de mezclas con sales de baño.
Problema 2 (9'18") Sinopsis: Se dispone de dos clase de café: uno de 1.05$ y otro de 1.25$ la libra. ¿Qué cantidad se utiliza de cada uno para obtener café de 1.20$ la libra, si de la clase más cara se utilizan 20 libras más que de la barata?
Problema 3 (4'52") Sinopsis: ¿Cuántos litros de una solución de alcohol al 30% deben mezclarse con 90 litros de otra solución al 70% para obtener una solución al 60%?
Problema 4 (6'46") Sinopsis: Si tienes 50 onzas de una solución salina al 25% (mezcla de agua con sal), ¿Cuántas onzas de solución salina al 10% debes agregar para obtener una nueva solución salina al 15%?
Problema 5 (4'10") Sinopsis: Un biólogo realiza una investigación sobre el impacto de tres diferentes bebidas azucaradas a base de agua en la habilidad de las abejas de producir miel. Coge 2 litros de la bebida A, que contiene 40% de azúcar, y agrega 1.2 litros de bebida B. Comprobó que las abejas preferían esta nueva solución, que llamaremos bebida C, la cual medimos que contiene 25% de azúcar. ¿Cuál es el porcentaje de azúcar de la bebida B?
Ejercicios propuestos: Mezclas (Pág. 48) |
(Pág. 49)
Móviles
A tener en cuenta ...
- Dos móviles que van uno al encuentro del otro, se aproximan con una velocidad relativa igual a la suma de las velocidades absolutas de cada móvil.
- Dos móviles que van uno en persecusión del otro, se aproximan con una velocidad relativa igual a la diferencia de las velocidades absolutas de cada móvil.
Ejercicios resueltos: Móviles
1. Un ciclista profesional, entrenándose, avanza por una carretera a una velocidad de 38 km/h. Más adelante, a 22 km, un cicloturista avanza en el mismo sentido a 14 km/h. ¿Cuánto tarda el ciclista profesional en alcanzar al cicloturista?
2. Un motorista y un coche avanzan por una carretera, dirigiéndose el uno hacia el otro, a unas velocidades de 50 km/h y 100 km/h, respectivamente. Si los separa una distancia de 10 km, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
Solución 1: Los ciclistas se aproximan a una velocidad de 38 - 14 = 24 km/h.
Calculamos el tiempo hasta que se encuentran, sabiendo que les separan 22 km:
Solución 2:
Los dos se aproximan a una velocidad de 50 + 100 = 150 km/h.
Calculamos el tiempo hasta que se encuentran, sabiendo que les separan 10 km:
Problemas 1 (8'40") Sinopsis:Problemas de móviles:
- Dos ciudades A y B distan 90 km. Un coche sale de A hacia B a las 9 de la mañana a 70 km/h. Al mismo tiempo, un camión sale de B hacia A a 50 km/h. ¿A qué distancia de A se cruzan? ¿A qué hora?
- Dos ciudades A y B distan 250 km. Un coche sale de A hacia B a las 9 de la mañana a 70 km/h. Una hora más tarde, un camión sale de B hacia A a 50 km/h. ¿A qué distancia de A se cruzan? ¿A qué hora?
Problema 2 (4'23") Sinopsis:Problema de móviles:
Un camión sale de una ciudad A a las 9 de la mañana a 50 km/h. Una hora más tarde sale un coche en su persecución a 70 km/h. ¿A qué distancia de A se encuentran? ¿A qué hora?
Problemas 3 (7´52") Sinopsis: Problemas de móviles.
Problemas 4 (6´56") Sinopsis: Problemas de móviles.
Problemas 5 (7´38") Sinopsis: Problemas de móviles.
Problemas 6 (19´43") Sinopsis: Problemas de móviles.
Problemas 7 (5´46") Sinopsis: Problemas de móviles.
Problemas 8 (8´27") Sinopsis: Problemas de móviles.
Problemas 9 (14´58") Sinopsis:Problemas de móviles.
Ejercicios propuestos: Móviles (Pág. 49) |
Grifos
Problema 1 (5´07") Sinopsis:Un grifo tarda 4h en llenar un recipiente y a otro le cuesta 12h. ¿Cuánto tardaremos si abrimos los dos grifos a la vez?
Problema 2 (6´18") Sinopsis:Tres grifos tardan 2h y 40min en llenar una piscina. Sabiendo que uno de ellos lo hace en solo 6h y el otro en 8h, ¿cuánto tardará el tercero?
Problema 3 (6'24") Sinopsis:Problema de grifos.
Problema 4 (8'19") Sinopsis:Problemas de grifos.
Problema 5 (7'43") Sinopsis:Problemas de grifos.
Problema 6 (12´08") Sinopsis:Un caño llena un tanque en 4 horas y un desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si la llave del desagüe empieza a funcionar una hora después de abierto el caño?
Cronometría
Problemas 1 (13´27") Sinopsis: Problemas de cronometría
Problemas 2 (12´40") Sinopsis: Problemas de cronometría
Problemas 3 (22´37") Sinopsis: Problemas de cronometría
Problemas 4 (13´44") Sinopsis: Problemas de cronometría
Problemas 5 (42´45") Sinopsis: Problemas de cronometría
Combinatoria
Problema 1 (3´01") Sinopsis: Problema de combinatoria usando diagramas de árbol.
Problema 2 (3´49") Sinopsis: Problema de combinatoria usando diagramas de árbol.
Problema 3 (3´33") Sinopsis: Problema de combinatoria usando diagramas de árbol.
