Números racionales

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Revisión de 15:03 30 jul 2007

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Tabla de contenidos

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1 Fracciones y números racionales
2 Orden en el conjunto de los racionales
3 Operaciones con fracciones
4 Expresión decimal de una fracción
5 Ejercicios y problemas
- 5.1 Ejercicios

Fracciones y números racionales

Así como los números naturales surgen para expresar cantidades que se refieren a objetos enteros, las fracciones son consecuencia de expresar cantidades que se refieren a partes de un objeto.

Una fracción se expresa de la forma $\cfrac {a}{b}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$ , donde $a\;\!$ se llama numerador y $b\;\!$ denominador. El denominador indica las partes iguales en que se divide a la unidad y el numerador las partes que tomamos.

El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador.

Al conjunto de todas las fracciones también se le llama conjunto de números racionales. Lo representaremos por $\mathbb{Q}$ .

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\quad a,b \in \mathbb{Z} \rbrace$

Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}$

Actividades Interactivas: Fracciones

Actividad 1: Concepto de fracción.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: ¿Qué fracción representa cada figura?

Actividad:[Mostrar]

Actividad 3: Representación de las fracciones en la recta numérica.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 4: Adivina la posición de cada fracción en la recta numérica.

Actividad:[Mostrar]

Fracciones propias e impropias

Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que 1.
Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Son mayores que 1.

Actividades Interactivas: Fracciones propias e impropias

Actividad 1: Definición de fracción propia e impropia.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: Separa las fracciones propias de las impropias.

Actividad:[Mostrar]

Proposición: Transformar una fración impropia en un entero más una fracción propia

Toda fracción impropia $\cfrac{D}{d}$ se puede escribir en la forma $c+\cfrac{r}{d}$ donde $c\;\!$ es el cociente y $r\;\!$ es el resto de la división de $D\;\!$ entre $d\;\!$ .

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Fracciones impropias

Descompón la frácción impropia $\cfrac{35}{8}$ en la suma de un entero y una fracción propia.

Solución:[Mostrar]

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.

Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella. Podemos obtenerlas multiplicando numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo, $\cfrac{3}{5}=\cfrac{6}{10}=\cfrac{9}{15}$

Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.

$\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c$

Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador por un mismo número, se obtienen fracciones equivalentes.

Actividades Interactivas: Fracciones equivalentes

Actividad 1: Definición de fracciones equivalentes.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: Busca una fracción equivalente a la dada.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 3: Comprueba si dos fracciones son equivalentes o no (Método de los productos cruzados).

Actividad:[Mostrar]

Actividad 4: Junta las fracciones equivalentes.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 5: Agrupa las fracciones equivalentes.

Actividad:[Mostrar]

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Simplificar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente con numerador y denominador menores. Para ello debemos dividir numerador y denominador por un mismo número. Este proceso se puede repetir hasta que ya no encontremos más divisores comunes distintos de 1, en cuyo caso, la fracción obtenida se dice que es irreducible.

Actividades Interactivas: Simplificación de fracciones

Actividad 1: Simplifica las fracciones.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible.

Actividad:[Mostrar]

Orden en el conjunto de los racionales

De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador. Por eso, para ordenar fracciones, debemos primero obtener fracciones equivalentes a las dadas, pero con el mismo denominador. A ésto se le llama reducir a común denominador. Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Ordenar fracciones

Ordena las fracciones:

$\cfrac{3}{5}\ ,\quad \cfrac{2}{4}\ ,\quad\cfrac{7}{10}$

Solución:[Mostrar]

Actividad Interactiva: Ordenar fracciones

Actividad 1: Ordena de menor a mayor estas fracciones.

Actividad:[Mostrar]

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones:

Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
Si tienen distintos denominadores, primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.

Ejemplo: Suma y resta de fracciones

Calcula: $\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}$

Solución:[Mostrar]

Actividad Interactiva: ''Suma y resta de fracciones

Actividad 1: Aprende a sumar y restar fracciones.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones.

Actividad:[Mostrar]

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones, se pone como numerador, el producro de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

$\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$

No obstante, es conveniente simplificar los numeradores entre los denominadores antes de efectuar los productos.

Ejemplo: Producto de fracciones

Calcula: $\cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}$

Solución:[Mostrar]

Actividad Interactiva: ''Producto de fracciones

Actividad 1: Aprende a multiplicar fracciones.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones.

Actividad:[Mostrar]

Inversa de una fracción

Dada una fracción $\cfrac {a}{b}\ ,\quad a \ne 0$ , su inversa es la fracción $\cfrac {b}{a}$ .

Por ejemplo, la inversa de $\cfrac {3}{5}$ es $\cfrac {5}{3}$ .

Actividad Interactiva: Inversa de una fracción

Actividad 1: Halla la fracción inversa de una fracción.

Actividad:[Mostrar]

División de fracciones

Para dividir dos fracciones, se pone como numerador, el producro del primer numerador por el segundo denominador, y como denominador, el producto del primer denominador por el segundo numerador.

$\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$

No obstante, es conveniente simplificar antes de efectuar los productos.

Ejemplo: Cociente de fracciones

Calcula: $\cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}$

Solución:[Mostrar]

Actividad Interactiva: Cociente de fracciones

Actividad 1: Aprende a dividir fracciones.

Actividad:[Mostrar]

Potenciación de fracciones

Las potencias con números racionales cumplen las mismas [1] que con números naturales y enteros. Tan sólo mencionar el siguiente caso:

Potencias de exponente negativo

Sea $n \in \mathbb{N}$ , se define:

$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}$

Como consecuencia, $\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}$ .

Expresión decimal de una fracción

Paso de fracción a decimal

Para pasar de fracción a decimal basta con hacer la división del numerador entre el denominador. Pueden darse los siguientes casos, según sea la expresión decimal resultante:

Expresión decimal exacta: Si tiene un número finito de decimales.

Por ejemplo: $\cfrac{7}{16}=0,4375$ .

Expresión decimal periódica pura: Si tiene un número infinito de decimales que se repiten. La parte que se repite se llama periodo.

Por ejemplo: $\cfrac{6}{11}=0,545454...=0,\widehat{54}$ . El periodo es 54.

Expresión decimal periódica mixta: Si tiene un número infinito de decimales que se repiten a partir de una cierta posición decimal. La parte que se repite se llama periodo y la parte decimal previa al periodo se llama anteperiodo.

Por ejemplo: $\cfrac{4}{15}=0,266666...=0,2\widehat{6}$ . El periodo es 6 y el anteperiodo 2.

Identificar el tipo de expresión decimal sin hacer la división

Se puede saber, sin hacer la división, que tipo de expresión decimal tiene una fracción. Para ello, deberemos simplificar la fracción y nos fijaremos en la descomposición del denominador en factores primos. Tendremos los siguientes casos:

Si el denominador sólo contiene factores que sean 2 ó 5, la fracción tiene una expresión decimal exacta.
Si el denominador no contiene factores que sean 2 ó 5, la fracción tiene una expresión decimal periódica pura.
Si el denominador contiene mezcla de factores que sean 2 ó 5, con otros distintos de 2 ó 5, la fracción tiene una expresión decimal periódica mixta.

Actividad Interactiva: Expresión decimal de una fracción

Actividad 1. Averigua el tipo de expresión decimal de una fracción y hállala posteriormente

Actividad:[Mostrar]

Paso de decimal a fracción

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:

Decimales exactos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma, y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

Ejemplos: [Mostrar]

Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

Ejemplos: [Mostrar]

Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escrito como número entero. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperiodo.

Ejemplos: [Mostrar]

Veamos unos ejemplos que ilustren el porqué de tales procedimientos:

Ejemplo: Paso de decimal a fracción

Expresa en forma de fracción los números decimales:

a) $15,\widehat{34}$ b) $12,3 \widehat{67}$

Solución:[Mostrar]

Actividad Interactiva: Paso de decimal a fracción

Actividad 1. Averigua la fracción que corresponde con la expresión decimal.

Actividad:[Mostrar]

Ejercicios y problemas

Ejercicios

Ejercicios:

1. Representa en la recta las fracciones: a) $\cfrac {3}{5}$ b) $\cfrac {7}{2}$ c) $-\cfrac {8}{3}$ d) $-\cfrac {4}{7}$ e) $\cfrac {1}{10}$ f) $\cfrac {14}{4}$

Solución:[Mostrar]

2. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:

$\cfrac {15}{20} \quad \cfrac{3}{5}\quad \cfrac{8}{16}\quad\cfrac{3}{4}\quad \cfrac{15}{25}\quad \cfrac{1}{2}\quad \cfrac{21}{28}$

Solución:[Mostrar]

3. Simplifica las fracciones:

a) $\cfrac{70}{14}$ b) $\cfrac{300}{420}$ c) $\cfrac{105}{60}$

Solución:[Mostrar]

4. Ordena de menor a mayor las fracciones:

$\cfrac {5}{12} \quad \cfrac{3}{6}\quad \cfrac{5}{8}\quad\cfrac{1}{3}$

Solución:[Mostrar]

5. Opera las fracciones:

a) $\cfrac{7}{6} \cdot \cfrac{-2}{14}$ b) $\left ( \cfrac{3}{5}-\cfrac{2}{6} \right ):\cfrac{3}{15}$ c) $\cfrac{\cfrac {1}{3}-\left ( \cfrac{3}{4}-\cfrac{2}{6}+1 \right )}{2+\cfrac {2}{3}}$

Solución:[Mostrar]

6. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) $\cfrac{-5^2}{5^5}$ b) $\cfrac{0,001}{10^2}$ c) $\cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}$

Solución:[Mostrar]

7. Simplifica:

a) $\left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3$ b) $\left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2$ c) $\left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}$

Solución:[Mostrar]

8. Sin hacer la división, indica qué tipo de decimal resulta:

a) $\cfrac{72}{15}$ b) $\cfrac{72}{9}$ c) $\cfrac{72}{35}$

Solución:[Mostrar]

9. Expresa en forma de fracción:

a) $21'379\;\!$ b) $2'\widehat{23}$ c) $21'45 \widehat{3}$

Solución:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales"

 ===Potenciación de fracciones===
-Las potencias con números racionales cumplen las mismas [http://maralboran.ath.cx/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Potenciaci.C3.B3n propiedades] que con números naturales y enteros.
+Las potencias con números racionales cumplen las mismas [http://maralboran.ath.cx/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Propiedades_de_las_potencias_de_naturales] que con números naturales y enteros.
 Tan sólo mencionar el siguiente caso:
 ====Potencias de exponente negativo====

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Fracciones y números racionales

Fracciones propias e impropias

Fracciones equivalentes

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Orden en el conjunto de los racionales

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

Multiplicación de fracciones

Inversa de una fracción

División de fracciones

Potenciación de fracciones

Potencias de exponente negativo

Expresión decimal de una fracción

Paso de fracción a decimal

Identificar el tipo de expresión decimal sin hacer la división

Paso de decimal a fracción

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