Áreas y volúmenes

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Revisión de 15:23 18 oct 2007

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Tabla de contenidos

1 Prisma
- 1.1 Ortoedro
- 1.2 Cubo
2 Pirámide
- 2.1 Pirámide truncada
3 Cilindro
4 Cono
- 4.1 Cono truncado
5 Esfera
6 Ejercicios

Prisma

Imagen:Prisma.gif

Área:

$A=A_l+2 \cdot A_b$

$A_l=P_b \cdot h$

Volumen:

$V=A_b \cdot h$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$P_b\;\!$ : Perímetro de la base.

$h\;\!$ : altura.

Actividad Interactiva: Area y volumen del prisma

Actividad 1: Halla el área lateral y total de un prisma recto de base un triángulo equilátero, de 1 cm de lado y 2 cm de altura.

Actividad:

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Halla el volumen de un prisma recto de base cuadrada, de lado 1,5 cm y altura 2,2 cm...

Actividad:

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Ortoedro

Como sabemos, un ortoedro es un prisma recto de base rectangular o cuadrada.

Área:

$A=2ab+2ac+2bc\;\!$

Volumen:

$V=a \cdot b \cdot c$

Elementos:

$a, \, b, \, c\;\!$ : aristas.

Cubo

Un caso particular de ortoedro es el cubo cuyas caras son todas cuadradas.

Área:

$A=6a^2\;\!$

Volumen:

$V=a^3\;\!$

Elementos:

$a\;\!$ : arista.

Actividad Interactiva: Area y volumen del ortoedro y cubo

Actividad 1: Halla el área lateral y total de un ortoedro de aristas 2, 3 y 1,5 cm.

Actividad:

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Halla el volumen de un cubo de 3 cm de arista.

Actividad:

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Halla el volumen de un ortoedro de 3 cm de largo, 2 cm de ancho y 2,5 cm de alto.

Actividad:

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Pirámide

Área:

$A=A_l+A_b \;\!$

$A_l=\;\!$ Suma áreas triángulos

Volumen:

$V=\cfrac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

Actividad Interactiva: Volumen de la pirámide

Actividad 1: Halla el volumen de una pirámide cuya base es un triángulo equilátero, con 3 cm de arista básica y 5 cm de altura.

Actividad:

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Ahora mueve el deslizador de la parte superior y explica lo que ocurre y el porqué.

Pirámide truncada

Imagen:Piramidetruncada.jpg

Área:

$A=A_l+A_b+A_B \;\!$

$A_l=\;\!$ Suma áreas trapecios

Volumen:

$V=V_B-V_b\;\!$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base superior.

$A_B\;\!$ : Área de la base inferior.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

$V_b\;\!$ : Volumen de la pirámide pequeña de base b.

$V_B\;\!$ : Volumen de la pirámide completa de base B.

http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_9.htm

Cilindro

Área:

$A=A_l+2 \cdot A_b$

$A_l=2 \pi rg\;\!$

$A_b=\pi r^2\;\!$

Volumen:

$V=A_b \cdot h$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

$g\;\!$ : generatriz.

$r\;\!$ : radio.

Actividad Interactiva: Volumen del cilindro

Actividad 1: Halla el volumen de un cilindro de 3 cm de radio y 2 cm de altura.

Actividad:

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Cono

Área:

$A=A_l+A_b \;\!$

$A_l=\pi rg\;\!$

$A_b=\pi r^2\;\!$

Volumen:

$V=\cfrac{1}{3} \cdot A_b \cdot h$

Elementos:

$A_b\;\!$ : Área de la base.

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

$g\;\!$ : generatriz.

$r\;\!$ : radio.

Actividad Interactiva: Volumen del cono

Actividad 1: Halla el volumen de un cono de 2 cm de radio y 3 cm de altura.

Actividad:

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Ahora mueve el deslizador de la parte superior y explica lo que ocurre y el porqué.

Cono truncado

Área:

$A=A_l+\pi r_1^2+\pi r_2^2 \;\!$

$A_l=\pi (r_1+r_2)g\;\!$

Volumen:

$V=V_1-V_2\;\!$

Elementos:

$A_l\;\!$ : Área lateral.

$h\;\!$ : altura.

$V_1\;\!$ : Volumen del cono completo.

$V_2\;\!$ : Volumen del cono pequeño eliminado.

Esfera

Área:

$A=4 \pi r^2 \;\!$

Volumen:

$V=\cfrac{4}{3} \cdot \pi r^3$

Elementos:

$r\;\!$ : radio.

Actividades Interactivas: Volumen de la esfera

Actividad 1: Halla el volumen de una esfera de 2,1 cm de radio.

Actividad:

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: ¿Qué relación existe entre el volumen de la esfera y los volúmenes del cilindro y del cono?

Actividad:

En la siguiente escena modifica los valores del radio y observa los resultados:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

En consecuencia: Si llamamos

$V c$ = Volumen del cilindro de radio R y altura 2R
$V e$ = Volumen de la esfera de radio R.
$V n$ = Volumen del cono de radio R y altura 2R.

entonces:

$V_e=2 \cdot V_n$
$V_c=3 \cdot V_n$
$V c = V n + V e$

Actividad 3: Halla el volumen y la superficie de un balón de futbol.

Actividad:

Balón Fútbol Competición, MASTER T-5:

Balón técnico para competición. Cubierta de cuero PU Cordley de 32 paneles cosidos. Fabricado bajo norma ISO9002 de acuerdo a las especificaciones FIFA. Sus cuatro capas de poliéster garantizan estabilidad y evitan la deformación del balón. Cámara de látex de doble laminado y válvula de Butyl automática.

Datos técnicos:

Peso: 425-435 gr.
Circunferencia: 68-70 cm

Con estos datos, calcula en tu cuaderno la superficie y el volumen y comprueba los resultados en la siguiente escena:

Shift-Click aquí si no se ve bien la escena

Ejercicios

http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_8.htm

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/%C3%81reas_y_vol%C3%BAmenes"

 Si llamamos
-*V_Cilindro= Volumen del cilindro de radio R y altura 2R
+*<math>V_c</math>= Volumen del cilindro de radio R y altura 2R
-*V_Esfera= Volumen de la esfera de radio R.
+*<math>V_e</math>= Volumen de la esfera de radio R.
-*V_Cono= Volumen del cono de radio R y altura 2R.
+*<math>V_n</math>= Volumen del cono de radio R y altura 2R.
 entonces:
-*<math>V_Esfera=2 \cdot V_Cono</math>
+*<math>V_e=2 \cdot V_n</math>
-*<math>V_Cilindro=3 \cdot V_Cono</math>
+*<math>V_c=3 \cdot V_n</math>
-*<math>V_Cilindro=V_Cono+V_Esfera</math>
+*<math>V_c=V_n+V_e</math>
 }}
 {{ai_cuerpo

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