Progresiones aritméticas
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| El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética. | El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética. | ||
| - | Ese niño tenía 10 años y se llamaba '''[[Johann Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gaüss]]'''. Fue uno de los mas grandes matemáticos. | + | Ese niño tenía 10 años y se llamaba '''[[Gauss|Carl Friedrich Gaüss]]'''. Fue uno de los mas grandes matemáticos. ''Intenta enterarte de algo más sobre él.'' |
| - | ''Intenta enterarte de algo más sobre él.'' | + | Para la demostración nos basaremos en el hecho de que: |
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| + | ::<math>a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K</math> | ||
| + | |||
| + | Entonces, si efectuamos la siguiente suma: | ||
| + | |||
| + | ::<math>S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n</math>{{p}} | ||
| + | ::<math>S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1</math>{{p}} | ||
| + | ::_______________________________________________________________{{p}} | ||
| + | ::<math>2 \cdot S_n= K + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K</math> | ||
| + | |||
| + | por tanto: | ||
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| + | ::<math>S_n=\cfrac{n \cdot K}{2}=\cfrac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}</math> | ||
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Revisión de 20:18 10 ene 2009
Tabla de contenidos[esconder] |
Definición
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, 
, que llamaremos diferencia.
Por ejemplo:
es una progresión aritmética con diferencia d=4.
Término general de una progresión aritmética
Término general de una progresión aritmética
Sean 
términos de una progresión aritmética de diferencia .
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Demostración:[Mostrar]
 Actividad Interactiva: Progresiones aritméticas
Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones aritméticas.
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Suma de términos de una progresión aritmética
Suma de términos de una progresión aritmética
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
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Demostración:[Mostrar]
Ejercicios
 Problemas 1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas. a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...Solución:[Mostrar]
4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.
Solución:[Mostrar]
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y 
, en una progresión aritmética, ¿cuánto vale 
?
y 
, calcular 
.
