Progresiones aritméticas

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Revisión de 16:01 14 ago 2016

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Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, $d\;\!$ , que llamaremos diferencia.

Escrito en forma recursiva:

$a_n=a_{n-1} + d \ , \ \forall n>1$

Por ejemplo, la sucesión $u_n\;$ :

es una progresión aritmética con diferencia $d = 4\;$ .

Progresiones aritméticas

Tutorial (3´42") Sinopsis:

Progresiones aritméticas: definición y ejemplos.

Ejercicio 1 (2´08") Sinopsis:

Determina el quinto término de la siguiente progresión aritmética: {-3, -7, -11, -15, ...}

Ejercicio 2 (3´41") Sinopsis:

Dados los términos de una progresión aritmética, completar la fórmula de recurrencia.

Progresiones aritméticas

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que aprenderás el concepto de progresión aritmética y a cómo identificarlas.

Actividad 2 Descripción:

Actividades de introducción a las sucesiones aritméticas.

Actividad 3 Descripción:

Fórmulas recursivas para sucesiones aritméticas.

Autoevaluación 1 Descripción:

Extiende sucesiones aritméticas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Fórmulas recursivas para sucesiones aritméticas.

Término general de una progresión aritmética

Término general de una progresión aritmética

El término general, $a_n\;\!$ , de una progresión aritmética de diferencia $d\;\!$ es:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración:

En efecto, de forma intuitiva:

$a_1 = a_1 + 0 \cdot d \;\!$

$a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + d + d = a_1 + 2 \cdot d \;\!$

$a_4 = a_3 + d = a_1 +2d + d = a_1 + 3 \cdot d \;\!$

........................

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración por el método de inducción completa:

Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.

Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:

$a_1+(1-1) \cdot d = a_1 + 0 \cdot d = a_1$

con lo que queda comprobada para n=1.

Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:

$a_n=a_1+(n-1) \cdot d$ . [1]

Por ser una progresión aritmética cada término se obtiene sumando d al anterior término:

$a_{n+1}= a_n+ d \;$ [2]

Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:

$a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n+ d \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 + (n-1) \cdot d + d =a_1 + ((n+1)-1) \cdot d$

Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.

Progresiones aritméticas. Término general

Tutorial 1 (6´59") Sinopsis:

Definición de progresión aritmética.
Término general
Ejemplos

Tutorial 2 (21'54") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabajan las progresiones aritméticas, la ley de recurrencia y el término general que las genera, así como alguna de sus propiedades básicas.

Tutorial 3a (6´16") Sinopsis:

Término general de una progresión aritmética: Obtención y ejemplos.

Tutorial 3b (5´34") Sinopsis:

Término general de una progresión aritmética: Más ejemplos

Tutorial 3c (4´10") Sinopsis:

Término general de una progresión aritmética a partir de términos intermedios.

Tutorial 4 (10´21") Sinopsis:

Definición de progresión aritmética.
Ejemplos
Término general

Ejercicio 1 (6´39") Sinopsis:

Una progresión aritmética tiene como término general $a_i=4+3(i-1)\;$ , halla el término $a_{20}\;$ .
Halla el término $a_5\;$ de una progresión aritmética que viene dada por la siguiente ley de recurrencia:

$\begin{cases}a_1=-7 \\ a_i=a_{i-1}-2 \ , \ \forall i>1 \end{cases}$

Ejercicio 2 (7´08") Sinopsis:

Halla el término general y la forma recursiva de las siguientes progresiones aritméticas:

a) {-5, -3, -1, 1, ...}

b) {100, 107, 114, 121, ...}

c) {1, 3, 6, 10, ...}

Ejercicio 3 (9´49") Sinopsis:

Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

a) {12, 5, -2, -9, ...}

b) {-100, -50, 0, 50, ...}

Ejercicio 4 (5´58") Sinopsis:

Halla el término 100 de la siguiente progresión aritmética: {15, 9, 3, -3, ...}.

Ejercicio 5 (9´33") Sinopsis:

Halla la forma recursiva de la progresión aritmética con término general $h_n=-31-7(n-1)\;$

Término general de una progresión aritmética

Actividad 1 Descripción:

Actividad de introducción a las fórmulas de sucesiones aritméticas.

Actividad 2 Descripción:

Actividad para aprender a obtener el término general (fórmula explícita) de sucesiones aritméticas.

Actividad 3 Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener el término general de una progresión aritmética.

Actividad 4 Descripción:

Convertir formas de sucesiones aritméticas, recursivas y explícitas.

Actividad 5 Descripción:

Repaso de sucesiones aritméticas.

Autoevaluación 1 Descripción:

Usa el término general de progresiones aritméticas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Obtén el término general (fórmula explícita) de sucesiones aritméticas.

Autoevaluación 3 Descripción:

Encuentra el término general de una progresión aritmética dada.

Autoevaluación 4 Descripción:

Convertir formas de sucesiones aritméticas, recursivas y explícitas.

Suma de términos de una progresión aritmética

Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

$S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}$

Demostración:

El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:

En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.

El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.

Demostración:

Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K$

Entonces, si efectuamos la siguiente suma:

$S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n$

$+\;$

$S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1$

_______________________________________________________________

$2 \cdot S_n= K + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K$

por tanto:

$S_n=\cfrac{n \cdot K}{2}=\cfrac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}$

Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener de los "n" primeros términos de una progresión aritmética.

Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética

Tutorial 1 (4´14") Sinopsis:

Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Ejemplos.

Tutorial 2 (8´02") Sinopsis:

Fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética con demostración apoyada en la anécdota de Gauss. Ejemplo.

Tutorial 2 (8´47") Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

Ejercicio (14'29") Sinopsis:

Halla el valor del ángulo $θ$ , sabiendo que $C_\theta\;$ representa su complementario y $S_\theta\;$ su supementario, teniendo en cuenta que se cumple la siguiente expresión:

$C_\theta+ C_{2\theta}+ C_{3\theta} +\cdots+C_{n\theta}=nS_{n\theta}$

Autoevaluación: Suma de los "n" primeros términos de una progresión aritmética Descripción:

Suma los n primeros términos de una progresión aritmética dada.

Ejercicios

Actividad: Progresiones aritméticas

Dada la sucesión {1, 4, 7, 10, 13, 16, ...}:

a) Halla el término general.

b) Halla el término 20.

c) Halla la suma de los 20 primeros términos.

d) Halla la suma de los términos del 8 al 15.

d) Halla la suma de los términos del p al q.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

Tras obtener la solución del apartado a), utilízala para hallas las soluciones de los demás apartados.

a) {1, 4, 7, 10, 13, 16, ...}

b) {3n-2} for n=20

c) sum {3n-2} for n=1 to 20

d) sum {3n-2} for n=8 to 15

e) sum {3n-2} for n=p to q

Problemas

1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas.

a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...

Solución:

$a) \quad a_n=-2n+3 \qquad b)\quad a_n=3n-1 \qquad c)\quad a_n=2n-9$

2. Si $a_1=0\;\!$ y $d = 3\;\!$ , en una progresión aritmética, ¿cuánto vale $a_8\;\!$ ?

Solución:

$a_n=3n-3; \qquad a_8=21$

3. Si $a_{10}=14\;\!$ y $d = -2\;\!$ , calcular $a_1\;\!$ .

Solución:

$14=a_1+(10-1).(-2); \qquad a_1=32$

4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.

Solución:

$a_{10}=1555; \qquad S_{10}=\frac{(700+1555).10}{2}=11275$