Función inversa o recíproca (1ºBach)

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 +En la siguiente escena puedes ver <math>f(x)=x^2\;</math> (en verde), <math>f_1^{-1}(x)=\sqrt{x}</math> (en amarillo), y <math>f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x}</math> (en turquesa):
 +
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url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Analisis/El_pinta_graficas/grafic_4g.html url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Analisis/El_pinta_graficas/grafic_4g.html

Revisión de 20:47 24 ene 2009

Función inversa o recíproca

Si f\; es una función que lleva elementos de X\; en elementos de Y\;, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f^{-1}\; que realice el camino de vuelta de Y\; a X\;. En ese caso diremos que f^{-1}\; es la función inversa o recíproca de f\;. Formalmente:

Sea f\; una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto X\; y cuya imagen sea el conjunto Y\;. Entonces, la función recíproca o inversa de f\;, denotada f^{-1}\;, es la función de dominio Y\; e imagen X\; definida por la siguiente regla:

f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x \,\!

ejercicio

Propiedades

  • Las gráficas de f\; y f^{-1}\; son simétricas respecto de la recta y=x\;.
  • La función f^{-1}\;, al igual que f\;, es una función biyectiva, que queda determinada de modo único por f\; y que cumple:
a) f^{-1} \circ f = I_X
b) f \circ f^{-1}=I_Y
donde I_X\; e I_Y\; son las funciones identidad en X\; e Y\; respectivamente.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.
Aumentar
Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.

ejercicio

Actividad Interactiva: Función inversa

Actividad 1. Representación gráfica de una función f(x)\; y de su inversa f^{-1}(x)\;.

ejercicio

Ejemplo: Función inversa

Halla la función inversa de la función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=x^2\;:

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