Continuidad. Discontinuidades (2ºBach)

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Tabla de contenidos

[esconder]

Idea intuitiva de continuidad

En este apartado pretendemos hacer una acercamiento al concepto de continuidad de una forma intuitiva, sin profundizar y sin usar el concepto de límite, el cual estudiaremos más adelante.

Una función entenderemos que es continua si podemos dibujar su gráfica de un solo trazo. Si en algún punto "se rompe" diremos que presenta una discontinuidad en dicho punto.

ejercicio

Propiedad

Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales son continuas en todos los puntos de su dominio de definición.

ejercicio

Ejemplos: Criterios de continuidad


Discontinuidades

Basicamente, nos podemos encontrar los siguientes tipos de discontinuidades en un punto x=a\;:

Discontinuidad \begin{cases} \begin{matrix} No \ evitable \\ (o \ esencial) \end{matrix} \begin{cases} De \ primera \ especie \begin{cases} De \ salto \ finito \\ De \ salto \ infinito \\ Asint\acute{o}tica \end{cases} \\ De \ segunda \ especie \end{cases} \\ \ \ Evitable \end{cases}

Discontinuidades evitables

  • Discontinuidad evitable: La función no está definida en el punto x=a\; o bien el punto está desplazado.

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)
Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

Discontinuidades no evitables de primera especie

  • Discontinuidad de salto finito: La función da un salto al llegar a x=a\;. Se define el salto como el valor absoluto de la diferencia, \left| d-c \right|\; (ver gráfica adjunta).
  • Discontinuidad de salto infinito: La curva tiene una "rama infinita" en un solo lado del punto x=a\;.
  • Discontinuidad asintótica. La curva tiene "ramas infinitas" en el punto x=a\;. Decimos que la curva presenta una asíntota vertical en el punto x=a\;.

Salto finito (Salto=\left| d-c \right|\;)
Salto infinito
Asintótica

Discontinuidad no evitable de segunda especie

Discontinuidad de segunda especie: La función, al acercarse al punto x=a lo hace, por ejemplo, de forma "oscilante".

Segunda especie

Cuando veamos el concepto de límite formalizaremos estas definiciones que aquí hemos visto de forma intuitiva.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Tipos de discontinuidades

Indica qué tipo de discontinuidad presentan las siguientes funciones y en qué punto:

a) \ y=\cfrac{1}{x}         b) y=\cfrac{1}{(x-2)^2}          c) y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}

d) y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}          e) y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 2 \\ 3 & \mbox{si }x=2 \end{cases}

Continuidad de una función en un punto

Una función f(x)\; es continua en un punto a\;, si se cumple que:

\lim_{x \to a} f(x)=f(a)

Para que ésto se cumpla deben ocurrir las tres condiciones siguientes:

  • La función f(x)\; tiene límite en x=a\;: Existe \lim_{x \to a} f(x)=L
  • La función está definida en x=a\;: Existe f(a)\;
  • Los dos valores anteriores coinciden: \lim_{x \to a} f(x)=f(a)

Tipos de discontinuidades

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad evitable en un punto x=a\; si existe \lim_{x \to a} f(x)=L \in \mathbb{R} pero éste no coincide con f(a)\;, bien porque f(x)\; no esté definida en x=a\; o bien porque simplemente sean distintos.

Discontinuidad evitable

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)

\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}, pero \not\exist f(a)
Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

\lim_{x \to a} f(x)=c \in \mathbb{R}, pero c \ne f(a)=d

ejercicio

Ejemplo: Discontinuidad evitable

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad evitable:

a) y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}         b) y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 1 \\ 3 & \mbox{si }x=1 \end{cases}

Discontinuidad esencial de primera especie

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto finito en un punto x=a\; si existen los límites laterales en dicho punto y son finitos, pero estos no coinciden:

\lim_{x \to a^+} f(x) \ne \lim_{x \to a^-} f(x)

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia enter ambos límites:

salto=|\lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x)|

Nota: f(a)\; puede estar definida o no, y puede coincidir o no con uno de los dos límites laterales.

Salto finito (Salto=d-c)

\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; \not\exist f(a)
Salto finito (Salto=d-c)

\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=c

Salto finito (Salto=d-c)

\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=d
Salto finito (Salto=d-c)

\lim_{x \to a^+} f(x)=d \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c \, ; f(a)=e

ejercicio

Ejemplo: Discontinuidad de salto finito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto finito y averigua el valor del salto:

y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad esencial de primera especie de salto infinito si existen los límites laterales, siendo uno finito y otro infinito.

Nota: f(a)\; puede estar definida o no, y puede coincidir o no con el límite lateral finito.

Salto infinito

\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

Salto infinito

\lim_{x \to a^+} f(x)=c \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo y coincidir o no con "c"

ejercicio

Ejemplo: Discontinuidad de salto infinito

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de salto ifinito:

y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 0 \\ \cfrac{1}{x} & \mbox{si }x>0 \end{cases}

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad esencial de primera especie asintótica si si existen los límites laterales, siendo ambos + o - infinito, pero no necesariamente iguales.

Nota: f(a)\; puede estar definida o no.

Asintótica

\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=+\infty

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

\lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

Asintótica

\lim_{x \to a^+} f(x)=-\infty \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty

En este caso "f(a)" no está definida pero podría estarlo

ejercicio

Ejemplo: Discontinuidad asintótica

Comprueba en qué puntos presentan las siguientes funciones una discontinuidad asintótica:

a) y = \cfrac{2}{x+2}          b) y = \cfrac{1}{x^2}

Discontinuidad esencial de segunda especie

Una función f(x)\; tiene una discontinuidad de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales.

Nota: f(a)\; puede estar definida o no.

Segunda especie

\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \not \exist \lim_{x \to a^-} f(x)

Es oscilante por ambos lados

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

\not \exist \lim_{x \to a^+} f(x) \, ; \lim_{x \to a^-} f(x)=c

Es oscilante por la derecha

"f(a)" puede estar definida o no

Segunda especie

\not \exist \lim_{x \to a^-} f(x) \, ; \lim_{x \to a^+} f(x)=c

Es oscilante por la izquierda

"f(a)" puede estar definida o no

ejercicio

Ejemplo: Discontinuidad de segunda especie

Comprueba en qué punto presenta la siguiente función una discontinuidad de segunda especie:

y = sen \, \frac{1}{x}

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Continuidad._Discontinuidades_%282%C2%BABach%29"
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