Triángulos

a) Si un triángulo tiene dos ángulos agudos, ¿también lo es el tercero?
b) Dibuja un triángulo rectángulo e isósceles.
c) ¿Puede ser un triángulo rectángulo y equilátero a la vez?.
d) Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 25º. ¿Cuánto mide el otro?

En la siguiente escena, mueve los vértices para cambiar el valor de los ángulos y comprueba los resultados que has obtenido.

Recuerda que para poder realizar la construcción la medida de cada lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.

1. Se representa un segmento de medida igual al primer lado.
2. Desde cada extremo del primer lado se traza una circunferencia de radio el valor del segundo y tercer lado.
3. El triangulo tiene por vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de las circunferencias.

1. Se representa uno de los segmentos.
2. Se traza el ángulo que forman los lados.
3. Se lleva el segundo lado conocido sobre el lado del ángulo.
4. Basta con unir los extremos de los dos lados para construir el triángulo.

La suma de los dos ángulos conocidos ha de ser menor de 180º.

1. Se construye el lado conocido.
2. Desde cada uno de los extremos del lado se trazan los ángulos dados.
3. La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro. El baricentro, G, siempre está en el interior del triángulo.

Mueve los vértices del triángulo y comprueba que siempre es así.

El baricentro, suele denotarse por la letra G, Centro de Gravedad.

Como se ve en la figura, el segmento CG es de medida el doble que el segmento GM.

Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

1. Mueve los vértices del triángulo hasta conseguir que GM=1,80 cm. En esa situación ¿Cuánto mide la mediana CM?
2. ¿Es posible determinar el baricentro trazando solamente una mediana? Explica el procedimiento.

Las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto que se llama ortocentro.

Contesta en tu cuaderno:

1. Mueve los vértices del triángulo y observa donde se encuentra el ortocentro en cada tipo de triángulo:

a) En un triángulo acutángulo.

b) En un triángulo rectángulo.

c) En un triángulo obtusángulo.

Observa que las tres mediatrices se cortan en un punto, que se denomina circuncentro (Ci).

Mueve los vértices del triángulo y comprueba que siempre es así.

El circuncentro tiene una propiedad muy importante, si se traza una circunferencia con centro en él, que pase por uno de los vértices del triángulo, también pasa por los otros dos vértices. El circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo.

A esta circunferencia se le llama circunferencia circunscrita.

Mueve los vértices del triángulo para comprobar que el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.

Para determinar el circuncentro, basta con trazar dos de las mediatrices y su punto de corte. Ya sabemos que la tercera mediatriz también se corta con las anteriores en el mismo punto.

El trazado de mediatrices, y en consecuencia el circuncentro resuelven dos importantes problemas geométricos

1. Determinar el centro de una circunferencia. Imagina que encuentras una circunferencia dibujada. ¿Cómo calcular su centro?

El proceso a seguir es:

a) Se representan tres puntos cualquiera en ella A, B, C. Construimos dos segmentos, por ejemplo AB y BC.

b) Se trazan las mediatrices de los dos segmentos.

c) El punto en que se cortan las mediatrices es el centro de la circunferencia.

2. Dados tres puntos cualesquiera, construir la circunferencia que pasa por ellos. Explica el proceso a seguir.

Ejercicios:

1. Responde a las siguientes preguntas en tu cuaderno usando la escena anterior (marca la casilla para ver los ángulos):

a) Si el triángulo es acutángulo (todos sus ángulos menores de 90º ) ¿Dónde se encuentra el circuncentro?

b) ¿Cuándo está en el exterior del triángulo?

c) Intenta, moviendo alguno de los vértices, que el triángulo sea rectángulo. ¿Dónde está en este caso el circuncentro?

2. Se desea construir un depósito de agua para abastecer a tres pueblos A, B, C no alineados. ¿Dónde hay que construir el depósito para que esté a la misma distancia de los tres pueblos?

Mueve los vértices del triángulo y observa que estos tres puntos están siempre alineados, (pertenecientes a la misma recta). Mueve el botón situado fuera del triángulo y observa la relación que existe entre las distancias entre ellos. A la recta que contiene a estos tres puntos, se la denomina recta de Euler, en honor a su descubridor.

Las tres bisectrices de los ángulos un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro.

El incentro siempre es un punto situado en el interior del triángulo.

El incentro tiene una importante propiedad, y de ahí su nombre, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Para construir la circunferencia inscrita se procede como se muestra en la imagen:

1. Se construyen las bisectrices.
2. La intersección de las bisectrices es el incentro.
3. Desde el incentro se traza una perpendicular a uno de los lados.4.- Se traza la circunferencia con centro el incentro y que pase por la intersección con la perpendicular al lado.

La circunferencia inscrita es tangente los tres lados, por tanto, el incentro equidista de los tres lados del triángulo.

Observa la siguiente escena y contesta en tu cuaderno:

El incentro, para un triángulo cualquiera, no está alineado con el ortocentro, baricentro y circuncentro, pero si lo está en un tipo de triángulo.

Mueve los vértices del triángulo de forma que el incentro esté en la recta que pasa por ortocentro, circuncentro y baricentro. ¿Cómo es el triángulo en este caso?

Debes mover los vértices del triángulo hasta conseguir saber cual es cada uno. Explica el razonamiento que has seguido para saber cual es cada punto.

Mueve el punto C y comprueba que el triángulo inscrito de esta forma siempre es rectángulo.