Números naturales

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Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Advertencia:

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero (0) puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de las matemáticas, el conjunto de los números naturales puede incluir o no al cero.

Ejemplos

Veamos distintos ejemplos de uso de los números naturales:

Como número cardinal: Los días de la semana son 7.
Como número ordinal: El atleta británico quedó 3º en la prueba de cien metros lisos.
Como identificador: Tú número de carnet de socio del Atleti es el 2868.

Los números naturales

Tutorial 1 (3'08") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 2 (4'56") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 3 (4'19") Sinopsis:

Tutorial de introducción al tema:

Números naturales.
Sistemas de numeración.
Sistema de numeración decimal.

Acertijo (2'06") Sinopsis:

Hace unas horas tenía 16 años y el año que viene cumpliré 19. ¿Cómo explicas esta situación?

Los números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números naturales.

¿Qué números aparecieron primero, los cardinales o los ordinales?

Existen dos teorías sobre el origen de la numeración, que además está relacionada con la cuestión de qué números aparecieron primero, los cardinales (1, 2, 3,...) o los ordinales (1º, 2º, 3º,...) La teoría que genera más consenso defiende el argumento de la necesidad. Todo habría comenzado a causa de la necesidad de contar objetos; por ello se habrían creado primero los números cardinales y después, los ordinales.

La otra teoría defiende la base espiritual de los números, que habrían tenido un uso ritual: cierto tipo de ceremonias requerían que los participantes se desplazaran o se situaran en un orden ritual preestablecido; por eso los números ordinales serían anteriores a los cardinales. Esta teoría además postula que los números se originaron en un lugar geográfico determinado, desde el que se propagaron al resto del mundo; también establece la división de los números naturales en pares e impares, considerando los impares masculinos y los pares, femeninos, una clasificación que comparten hoy en día muchas culturas del planeta.

(Extracto de "El mundo es matemático: Del ábaco a la revolución industrial". Pág. 10)"

El género de los números y otras curiosidades

Véanse los artículos de la BBC:

Números naturales. Números primos (17´) Sinopsis:

Los números que nos sirven para contar, los números naturales, uno de los más viejos inventos de la Humanidad. ¿Cómo serían nuestras vidas sin la existencia de estos números?... Desde los pitagóricos, que los consideraron como el principio y la explicación de todo el Universo, hasta nuestros días estos números han ejercido un poderoso influjo sobre los matemáticos de todas las épocas. Uno de los campos que ha tenido en jaque a los grandes matemáticos es el de los números primos; una auténtica caja de sorpresas. Aún hoy, utilizando potentes ordenadores, no se han podido demostrar algunas de las conjeturas formuladas sobre estos números hace más de doscientos años. Veremos algunas de ellas y descubriremos una de las aplicaciones más extrañas de los números primos en la actualidad, su utilización en criptografía. (Ver resumen detallado)

Representación de los números naturales

Representación de los números naturales

Los números naturales podemos representarlos en una recta:

Sobre ella marcamos el número cero.
A la derecha del cero, y a distancias iguales, situamos los números naturales: 1, 2, 3,...

Orden en los números naturales

En la representación de los números naturales en la recta numérica se observa la relación de orden que existe en dicho conjunto. Diremos que los números naturales están ordenados (véase números ordinales), lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí.

Un número natural es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta numérica y es menor si está situado más a la izquierda.

Orden en el conjunto de los números naturales

Dados dos números naturales cualesquiera, $a\;$ y $b\;$ , se dará uno de los siguientes casos:

El primero es menor que el segundo: $a<b\;$ (Se lee "a es menor que b").
El primero es igual que el segundo: $a=b\;$ (Se lee "a es igual que b").
El primero es mayor que el segundo: $a>b\;$ (Se lee "a es mayor que b").

Notación:

Al comparar números, además de los símbolos anteriores, podemos utilizar también los siguientes:

Menor o igual que ( $\le\;$ )
Mayor o igual que ( $\ge\;$ )
Distinto ( $\ne\;$ )

Ejemplos

4 > 2: "4 es mayor que 2".
3 < 5: "3 es menor que 5".

Orden en los números naturales

Tutorial 1 (4'24") Sinopsis:

Comparación de números naturales.

Tutorial 2 (0'24") Sinopsis:

Orden y comparación de números naturales.

Tutorial 3 (8'06") Sinopsis:

Igualdad y desigualdad de números naturales. Simbología. Ejemplos.

Ejercicio (2'01") Sinopsis:

Completa el hueco con el signo "mayor que" (>), "menor que" (<) o "igual" (=):

siete millares + nueve centenas + siete unidades ___ 7000 + 970

Orden en los números naturales

Actividad 1 Descripción:

¿Cuál es el menor número con 5 cifras? (los ceros a la izquierda no cuentan)

Actividad 2 Descripción:

¿Cuál es el mayor número de 6 cifras?

Actividad 3 Descripción:

Escribe el mayor número posible con las cifras 3, 5, 2, 8, 9 y 6.

Autoevaluación Descripción:

Compara números de 2 dígitos.

Notación desarrollada de un número natural

La notación desarrollada de un número natural consiste en expresarlo como suma de los valores relativos de cada uno de sus dígitos.

Ejemplo:

El número 768 se expresa en forma desarrollada como:

$768=7 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 8$

Notación desarrollada de números naturales

Actividad Descripción:

Notación desarrollada de números naturales.

Autoevaluación Descripción:

Notación desarrollada.

Notación desarrollada de un número natural

Ejemplos (10'44") Sinopsis:

Ejemplos de notación desarrollada de un número natural

Ejercicio 1 (3'37") Sinopsis:

Escribe en notación desarrollada los números:

a) 385

b) 1834

Ejercicio 2 (2'55") Sinopsis:

Escribe en notación desarrollada los números:

a) 672

b) 4521

Ejercicio 3 (4'01") Sinopsis:

Escribe en notación desarrollada los números:

a) 23 772

b) 127 050

Ejercicio 4 (3'07") Sinopsis:

Escribe en notación desarrollada el número 14 897.

Lectura y escritura de números naturales

Reglas

Al leer números, primero se separan las cifras, de tres en tres, empezando por la derecha. Después se leen de izquierda a derecha, como si fuesen números de tres cifras, y se añaden las palabras mil, millones, billones, trillones,... donde corresponda.

Hasta el número treinta siempre se escribe con una sola palabra.

Según indica la Real Academia Española, al escribir números de más de cuatro cifras, se agruparán estas de tres en tres, empezando por la derecha, y separando los grupos por espacios en blanco y no por puntos o comas (8 327 451). Los números de cuatro cifras se escriben sin espacios de separación (2458).

Lectura y escritura de números naturales

Tutorial 1 (3'25") Sinopsis:

Lectura y escritura de números naturales

Ejercicio 1 (3'04") Sinopsis:

Escribe cómo se lee el número 3 454 783 215 571 247 869 523

Ejercicio 2 (5'12") Sinopsis:

Escribe cómo se leen los números:

a) 12 529 345 897 883 143

b) 1 450 937 845 967 388 492 123

Ejercicio 3 (2'35") Sinopsis:

Escribe el número "seiscientos cuarenta y cinco millones, quinientos ochenta y cuatro mil, cuatrocientos sesenta y dos".

Lectura y escritura de números naturales

Lectura y escritura de números naturales Descripción:

Practica la lectura y escritura de números naturales.

Autoevaluación Descripción:

Autoevaluación sobre lectura y escritura de números naturales y sobre cómo expresarlos en forma desarrollada.

Los números grandes

Los números naturales son infinitos y nuestro sistema de numeración decimal nos permite representar cualquiera de ellos por muy grandes que sean.

Los números grandes más usuales son:

1 millón = 1 000 000 (1 seguido de 6 ceros)
1 billón = 1 millón de millones = 1 000 000 000 000 (1 seguido de 12 ceros)
1 trillón = 1 millón de billones = 1 000 000 000 000 000 000 (1 seguido de 18 ceros)
1 millardo = Mil millones = 1 000 000 000 (1 seguido de 9 ceros)

Los números grandes Descripción:

Exposición interactiva de la representación de números grandes en el sistema de numeración decimal.

Desde el Millón hasta el Quintillón (4'15") Sinopsis:

Desde el millón hasta el quintillón.

¿Cuál es el número más grande? (4'12") Sinopsis:

¿Hasta qué número es posible contar? ¿Hay un número mayor que todos, o la cuenta no acaba nunca y es infinita? ¿Cuál es el número más grande que alguien haya podido imaginar? Errata en minuto 1:05 -> en realidad ese número se lee "setenta mil trillones" en español y en inglés si sería "seventy sextillion" por lo que hay un error en el vídeo.

Los números grandes en la antigüedad:

Aunque parezca que los grandes números son muy modernos, no es así en absoluto. En la Universidad de Oxford se conserva una pieza egipcia de unos 5000 años de antigüedad que registra la victoria del rey Narmer sobre los libaneses al oeste del delta del Nilo; en ella se describe que Egipto se cobró 120 000 prisioneros, 400 000 bueyes y 1 422 000 cabras. Los centenares de miles y los millones también se hallan mencionados en el egipcio "Libro de los muertos".

(Extracto de "El mundo es matemático: Del ábaco a la revolución industrial". Pág. 12)"

Operaciones con naturales

Suma

Sumar es unir, juntar, añadir.
La suma o adición de dos números naturales, a y b, da como resultado otro número natural, c. Se representa: a+b=c.
- a y b reciben el nombre de sumandos.
- El resultado, c, se denomina suma.

Suma de números naturales

Tutorial 1 (0'18") Sinopsis:

El concepto de adición o suma en el conjunto de los números naturales.

Tutorial 2 (2'52") Sinopsis:

El concepto de adición o suma en el conjunto de los números naturales.

Ejercicio 1 (4'05") Sinopsis:

Calcula:

a) $51+27\;$

b) $435+67\;$

c) $542+1287+79\;$

d) $51+27\;$

Ejercicio 2 (3'29") Sinopsis:

Calcula: $3081+56+310\;$

Ejercicio 3 (4'03") Sinopsis:

Calcula: $12187+1722+301+45\;$

Ejercicio 4 (3'17") Sinopsis:

Calcula: $4310+216+1062+6+55\;$

Actividades: Cálculo mental con sumas Descripción:

Cálculo mental con sumas.

Propiedades de la suma de números naturales

Propiedades de la suma

Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.

$a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}$

Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

$a+b = b+a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

$0 + a = a \,$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 + 6 = 6 + 8\,$

$14 = 14\,$

Asociativa:

$( 3 + 2 ) + 6 = 3 + ( 2 + 6 )\,$

$5 + 6 = 3 + 8\,$

$11 = 11\,$

Elemento neutro:

$3 + 0 = 3\,$

Propiedades de la suma de números naturales

Tutorial 1 (3'31") Sinopsis:

Propiedades de la suma de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 2 (4'34") Sinopsis:

Propiedades de la suma de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 3a: Prop. conmutativa y asociativa (3'47") Sinopsis:

Propiedades conmutativa y asociativa de la suma de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 3b: El elemento neutro (3'04") Sinopsis:

El elemento neutro de la suma y del producto de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 4: Prop. conmutativa y asociativa (8'21") Sinopsis:

A look behind the fundamental properties of the most basic arithmetic operation, addition.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Tutorial 5: Utilidad de las propiedades (3'04") Sinopsis:

Aplicación de las propiedades asociativa y conmutativa de la suma. Ejemplos.

Ejercicio 1 (2'16") Sinopsis:

Usa la propiedad conmutativa de la suma para escribir la expresión 5 + 8 + 5 de una manera diferente. Comprueba que ambas expresiones dan el mismo resultado.

Ejercicio 2 (2'06") Sinopsis:

Usa la propiedad asociativa de la suma para escribir la expresión (77 + 2) + 2 de una manera diferente. Comprueba que ambas expresiones dan el mismo resultado.

Propiedades de la suma de números naturales

Actividad Descripción:

Propiedades de la suma de números naturales.

Autoevaluación Descripción:

Propiedades de la suma de números naturales.

Resta

Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
La resta o sustracción de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.

Observación:

La resta de números naturales no cumple las propiedades de la suma:

No es operación interna: $1-3 \notin \mathbb{N}$ .
No cumple la propiedad conmutativa: $5-2 \ne 2-5$
No cumple la propiedad asociativa: $4-(3-2) \ne (4-3)-2$

Resta de números naturales

Tutorial 1 (4'10") Sinopsis:

El concepto de sustracción en el conjunto de los números naturales.

Tutorial 2 (8'01") Sinopsis:

Repaso de primaria sobre resta de números naturales.

Ejercicio 1 (5'38") Sinopsis:

Calcula:

a) $486-144\;$

b) $4542-768\;$

Ejercicio 2 (3'10") Sinopsis:

Calcula: $9282-3521\;$

Ejercicio 3 (4'25") Sinopsis:

Calcula: $12504-9377\;$

Ejercicio 4 (4'39") Sinopsis:

Calcula: $10000-9112\;$

Actividades: Cálculo mental con restas Descripción:

Cálculo mental con restas.

Autoevaluación: Resta de números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la resta de números naturales.

Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

Multiplicación de números naturales. Propiedades (9'54") Sinopsis:

Videotutorial que resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la multiplicación de números naturales y sus propiedades.

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
La multiplicación o producto de dos números naturales, $a\;$ y $b\;$ , se representa $a \cdot b = c$ .
$a\;$ y $b\;$ se llaman factores y c se denomina producto.

Ejemplo

Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:

$250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250$ €

Multiplicación de números naturales

Tutorial (3'07") Sinopsis:

El concepto de multiplicación en el conjunto de los números naturales.

Ejercicio 1 (5'00") Sinopsis:

Calcula:

a) $457 \cdot 6\;$

b) $5236 \cdot 25\;$

Ejercicio 2 (2'16") Sinopsis:

Calcula: $5216 \cdot 4\;$

Ejercicio 3 (2'51") Sinopsis:

Calcula: $16349 \cdot 8\;$

Ejercicio 4 (5'29") Sinopsis:

Calcula: $3477 \cdot 27\;$

Ejercicio 5 (5'58") Sinopsis:

Calcula: $73914 \cdot 83\;$

Ejercicio 6 (6'33") Sinopsis:

Calcula: $26715 \cdot 317\;$

Ejercicio 7 (5'52") Sinopsis:

Calcula: $723190 \cdot 529\;$

Actividades: Cálculo mental con multiplicaciones Descripción:

Cálculo mental con multiplicaciones.

Problemas

Problema 1 Descripción:

Para construir con palillos una fila de cuatro cuadrados contiguos se necesitan 13 palillos. ¿Cuántos palillos se necesitarán para construir una fila de 26 cuadrados contiguos?

Problema 2 Descripción:

Si 8 máquinas producen 1500 piezas, ¿cuántas piezas fabricarán 40 máquinas del mismo tipo?

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Propiedades de la multiplicación

Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:

$a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}$

Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

$a \cdot b = b \cdot a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

$a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c$

Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

$1 \cdot a = a \,$

Ejemplos:

Conmutativa:

$8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,$

$48 = 48\,$

Asociativa:

$( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,$

$6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,$

$36 = 36\,$

Distributiva:

$3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,$

$3 \cdot 8 = 6 + 18 \,$

$24 = 24\,$

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Tutorial 1a: Propiedades conmutativa y asociativa (3'17") Sinopsis:

Propiedades conmutativa y asociativa del producto de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 1b: Propiedad distributiva (3'20") Sinopsis:

Propiedad distributiva de los números naturales. Ejemplos.

Tutorial 1c: El elemento neutro (3'04") Sinopsis:

El elemento neutro de la suma y del producto de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 2: Propiedad distributiva y extracción de factor común (7'08") Sinopsis:

Ejemplos de uso de la propiedad distributiva y de cómo se saca factor común.

Tutorial 3a: Propiedad asociativa y conmutativa (8'40") Sinopsis:

Propiedad asociativa y conmutativa de forma visual.

Tutorial 3b: Propiedad distributiva (11'39") Sinopsis:

Propiedad distributiva de forma visual.

Tutorial 3c: Utilidad de la propiedad asociativa (8'40") Sinopsis:

Más formas de pensar en la multiplicación. Multiplicando usando la propiedad asociativa.

Tutorial 3d: Utilidad de la propiedad distributiva (6'25") Sinopsis:

Otra forma de multiplicar usando la propiedad distributiva.

Tutorial 3e: Elemento neutro (1'36") Sinopsis:

El elemento neutro de la multiplicación de números naturales es el 1.

Tutorial 4a: Propiedad conmutativa (6'23") Sinopsis:

The commutative property is common to the operations of both addition and multiplication and is an important property of many mathematical systems.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Tutorial 4b: Propiedades asociativa y distributiva (5'23") Sinopsis:

A look at the logic behind the associative and distributive properties of multiplication.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Ejercicio 1 (4'02") Sinopsis:

Usa la propiedad conmutativa de la multiplicación para multiplicar 2 · 34 de diferente manera y comprueba que se obtienen los mismos resultados.

Ejercicio 2 (2'47") Sinopsis:

Usa la propiedad asociativa de la multiplicación para multiplicar (12 · 3) · 10 de diferente manera y comprueba que se obtienen los mismos resultados.

Ejercicio 3 (2'36") Sinopsis:

Usa la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma para calcular 4·(8 + 3).

Ejercicio 4 (1'48") Sinopsis:

Usa la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la resta para calcular 5·(9 - 4).

Ejercicio 5 (4'08") Sinopsis:

Usa la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma para sacar factor común en las siguientes expresiones:

a) 20 + 30

b) 90 + 27

c) 55 + 35

d) 12 + 75

Ejercicio 6 (4'02") Sinopsis:

Multiplica 6 · 7981 usando la propiedad distributiva.

Ejercicio 7 (6'48") Sinopsis:

Multiplica 78 · 65 usando la propiedad distributiva.

Propiedades del producto de números naturales

Propiedad conmutativa:

Actividad 1 Descripción:

Introducción a la propiedad conmutativa del producto de números naturales.

Actividad 2 Descripción:

Resumen de la propiedad conmutativa del producto de números naturales.

Autoevaluación Descripción:

Propiedad conmutativa del producto de números naturales.

Propiedad asociativa:

Actividad 1 Descripción:

Introducción a la propiedad asociativa del producto de números naturales.

Actividad 2 Descripción:

Resumen de la propiedad asociativa del producto de números naturales.

Autoevaluación Descripción:

Propiedad asociativa del producto de números naturales.

Propiedad distributiva:

Actividad 1 Descripción:

Introducción a la propiedad distributiva del producto sobre la suma de números naturales.

Actividad 2 Descripción:

Resumen de la propiedad distributiva del producto sobre la suma de números naturales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Propiedad distributiva del producto sobre la suma de números naturales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Saca factor común usando la propiedad distributiva del producto sobre la suma de números naturales.

Propiedades de la multiplicación:

Actividad 1 Descripción:

Propiedades del producto de números naturales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Propiedades del producto de números naturales.

Autoevaluación 3 Descripción:

Propiedades del producto de números naturales.

Autoevaluación 4 Descripción:

Propiedades del producto de números naturales.

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Solución:

Podemos resolver el problema de dos formas:

Primera forma:

Alfredo-----> $15 \cdot 4 = 60$

Teresa------> $15 \cdot 2 = 30$

Total---------> $15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,$ €

Segunda forma:

Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas

Luego en total gastan entre los dos: $15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90$ €

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

Ejemplos

$12 \cdot 10 = 120$
$12 \cdot 100 = 1200$
$12 \cdot 1000 = 12000$

Multiplicación por 10, 100 y 1000

Tutorial 1 (5'15") Sinopsis:

Multiplicar números de 1 dígito por 10, 100 y 1000.

Tutorial 2 (3'06") Sinopsis:

Multiplicando números de 1 dígito por múltiplos de 10.

Tutorial 3 (6'36") Sinopsis:

Multiplicar números de 1 dígito por múltiplos de 10, 100 y 1000.

Tutorial 4 (4'39") Sinopsis:

Multiplicando dos múltiplos de 10.

Multiplicación por 10, 100 y 1000

Autoevaluación 1 Descripción:

Multiplica números de 1 dígito por 10, 100 y 1000.

Autoevaluación 2 Descripción:

Multiplica por decenas.

Autoevaluación 3 Descripción:

Multiplica dos múltiplos de 10.

Autoevaluación 4 Descripción:

Multiplica números de 1 dígito por un múltiplo de 10, 100 y 1000

División de números naturales

El siguiente video resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la división de números naturales y sus propiedades.

División de números naturales. Propiedades (7'11") Sinopsis:

Videotutorial que resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la división de números naturales y sus propiedades.

Sean $D\;$ y $d\;$ dos números naturales, con $d \ne 0$ .

La división o cociente de entre consiste en ver cuantas veces está contenido en .
- Se representa por $D : d=c\;$ .
- A $D\;$ lo llamaremos dividendo, a $d\;$ divisor y al resultado de la división, $c\;$ , cociente.

Vamos a distinguir dos casos:
- Si $d\;$ está contenido en $D\;$ un número "exacto" de veces (el cociente, $c\;$ , es un número natural tal que $D=d \cdot c\;$ ), diremos que la división es exacta.
- En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural $r\;$ , menor que $d\;$ , de manera que si dividimos $D-r\;$ entre $d\;$ , la división es exacta. A dicho número $r\;$ lo llamaremos resto o residuo de la división.

20:4 = 5

Algoritmo de la división

Dados $D\;\!$ y $d\;\!$ , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, $c\;\!$ y $r\;\!$ , tales que:

$D=d \cdot c + r$

$D\;\!$ es el dividendo, $d\;\!$ el divisor, $c\;\!$ el cociente y $r\;\!$ el resto.

Demostración:

Ver demostración en Wikipedia

División de números naturales

Tutorial 1 (3'09") Sinopsis:

El concepto de división exacta en el conjunto de los números naturales.

Tutorial 2 (7'08") Sinopsis:

División exacta y entera de números naturales. Algoritmo de la división. Ejemplos.

Tutorial 1: Dividir por 1 o 2 cifras. (19'01") Sinopsis:

Repaso sobre divisiones de números naturales por 1 o 2 cifras.

Tutorial 2: : Dividir por 1 cifra. (10'45") Sinopsis:

Aprende a dividir por una cifra

Tutorial 3: Dividir por 2 cifras. (8'09") Sinopsis:

Aprende a dividir por dos cifras

División por 1, 2 y 3 cifras Descripción:

Ejercicios de divisiones por 1, 2 o 3 cifras.

División de números naturales

Actividad 1: División exacta Descripción:

En esta actividad podrás comprobar si una división dada es exacta o no.

Actividad 2: Cálculo mental Descripción:

Actividad 3: La división entera Descripción:

Cálculo con divisiones.

Actividad 4 Descripción:

En una división con resto 24, ¿cuál es el valor mínimo del divisor?

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la división de números naturales y sus propiedades.

División de números naturales

Actividad: Cociente y resto

Calcula:

a) El cociente de dividir 123 entre 20.

b) El resto de dividir 123 entre 20.

c) Comprueba que se cumple el algoritmo de la división con los apartados anteriores.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Quotient[123,20]

b) Remainder[123,20]

c) 123=20*Quotient[123,20]+Remainder[123,20]

Ejercicio: División con naturales

Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?

Solución:

El divisor es 14 (Aplicando la regla de la división)

Cociente por defecto y por exceso

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?

b) ¿Cuántos taxis se necesitan?

c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Solución:

a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. ( $43= 10 \cdot 4 + 3$ )
b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre.

c) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11.

Propiedades de la división de números naturales

Propiedades

No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural
La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.
Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

Demostración:

Veamos ejemplos que ilustren estas propiedades:

La división de números naturales no es una operación interna: $3:5 \notin \mathbb{N}$

La división de números naturales no cumple la propiedad conmutativa: $6:3 \ne 3:6$
La división de números naturales no cumple la propiedad asociativa: $90:(6:3) \ne (90:6):3$
La división de números naturales no cumple la propiedad distributiva: $12:(2+4) \ne (12:2)+(12:4)$

Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.: $0:5=0\;$

Para la última propiedad veremos un ejemplo:

Hagamos la división $360 : 50 \;$

$360 =50 \cdot 7 + 10 \;$ (Cociente=7; Resto=10)

Ahora dividimos el dividendo y el divisor por 10:

$360:10=36 \, ; \qquad 50:10=5 \;$

y volvemos a hacer la división:

$36 = 5 \cdot 7 + 1 \;$ (Cociente=7; Resto=1)

Es decir, el cociente no varía y el resto queda dividido por 10.

Sacar factor común

La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones sacando factor común. Veamos un ejemplo

Ejemplo: Sacar factor común

Saca factor común en la expresión $16xyz-24xz+4x\;\!$

Solución:

El factor común, que se repite en los tres sumandos, es $4x\,\!$ . Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común $4x\,\!$ , dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:

$16xyz-24xz+4x\;\!=$

$(4x) \cdot 4yz - (4x) \cdot 6z + (4x) \cdot 1=\;\!$

$4x \cdot (4yz-6z+1)$

División de naturales

Sean $D\;$ y $d\;$ dos números naturales, con $d \ne 0$ .

La división o cociente de entre consiste en ver cuantas veces está contenido en .
- Se representa por $D : d=c\;$ .
- A $D\;$ lo llamaremos dividendo, a $d\;$ divisor y al resultado de la división, $c\;$ , cociente.

Vamos a distinguir dos casos:
- Si $d\;$ está contenido en $D\;$ un número "exacto" de veces (el cociente, $c\;$ , es un número natural tal que $D=d \cdot c\;$ ), diremos que la división es exacta.
- En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural $r\;$ , menor que $d\;$ , de manera que si dividimos $D-r\;$ entre $d\;$ , la división es exacta. A dicho número $r\;$ lo llamaremos resto o residuo de la división.

20:4 = 5

Algoritmo de la división

Dados $D\;\!$ y $d\;\!$ , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, $c\;\!$ y $r\;\!$ , tales que:

$D=d \cdot c + r$

$D\;\!$ es el dividendo, $d\;\!$ el divisor, $c\;\!$ el cociente y $r\;\!$ el resto.

Demostración:

Ver demostración en Wikipedia

Potenciación de naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

$\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}$ (Se lee: " $a\;$ elevado a $b\;$ ")

El número $a\;$ se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
El número $b\;$ se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Por convenio, se establece que: $a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;$ .
Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.

bartolomecossio.com

¡Ojo, no confundir!

Ejemplo:

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre): $2^1=2\;$ padres.

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene $2 \cdot 2 = 2^2 = 4$ abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$ tatarabuelos.

Ejemplo sacado de: Proyecto Descartes

Potencias de números naturales

Tutorial 1 (6'59") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial 2 (1'32") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial 3 (4'11") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Tutorial 4 (4'49") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Tutorial 5a (9'04") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos

Tutorial 5b (3'45") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente cero. Ejemplos

Tutorial 6 (3'47") Sinopsis:

Potencias de números naturales. Ejemplos

Ejemplos (9'14") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Potencias de números naturales

Actividad 1 Descripción:

Actividad 2 Descripción:

Practica con las potencias de números naturales.

Actividad 3a Descripción:

Introducción a las potencias.

Actividad 3b Descripción:

Elevar números al cuadrado.

Actividad 3c Descripción:

Repaso de potencias.

Actividad 4 Descripción:

Observa cómo varía el resultado al modificar la base y el exponente.

Actividades:

Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno:

¿Qué valor tiene una las potencia cuya base es el número 0, sea cual sea el exponente?
¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 1, sea cual sea el exponente?
¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1, sea cual sea la base?
Calcula $100$ , $101$ , $102$ , $103$ , $104$ .
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Calcula los cuadrados de los primeros 15 números naturales.
Las potencias de exponente 3 se llaman cubos perfectos. Calcula los cubos de los primeros 15 números naturales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Potencias de números naturales (I)

Autoevaluación 2a Descripción:

Potencias (básico)

Autoevaluación 2b Descripción:

Potencias

Autoevaluación 3 Descripción:

Autoevaluación 4 Descripción:

Elementos de una potencia:

Rellena todas las cajas inferiores y pulsa "intro" al final. Cuando hayas marcado correctamente los tres aparecerá el mensaje CORRECTO, pero si marcas antes un número equivocado ya no aparecerá ese mensaje, por eso, no emplees los triángulos arriba y abajo para variar el número.

Autoevaluación 5 Descripción:

Expresa productos de números como potencias.

Autoevaluación 6 Descripción:

Asocia los resultados de estas potencias:

Problema Descripción:

Ana tiene 5 cajas de bombones. cada caja tiene 5 filas de bombones y cada fila tiene 5 bombones. ¿Cuántos bombones tiene Ana en total?

Potencias de números naturales

Actividad: Potencias

Calcula:

a) $3^5\;$ .

b) $100^0\;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 3^5

b) 100^0

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {4^3}{2^4}$

Procedimiento: $4\;\!$ $3\;\!$ $2\;\!$ $4\;\!$

Solución: $4\;\!$

Propiedades de las potencias de naturales

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Ejemplos:

Producto de potencias de la misma base:

$\begin{matrix} 5^4 \cdot 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ \cdot \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4+3} = 5^7 \\ \; \end{matrix}$

Cociente de potencias de la misma base:

$\begin{matrix} 5^4 : 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot \not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ : \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (\not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4-3} = 5^1 \\ \; \end{matrix}$

Potencia de un producto:

$(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 8 \cdot 27 = 216$

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.

Potencia de un cociente:

$(6 : 3)^3 = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$6^3 : 2^3 = 16 : 27 = 8\;$

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.

Potencia de otra potencia:

$(5^4)^3 = 5^4 \cdot 5^4 \cdot 5^4 = 5^{4+4+4} = 5^{4 \cdot 3} = 5^{12}$

Potencia cero: Cuando se vio la definición de potencia, dijimos que $a^0 = 1\;$ por convenio. Expliquemos ésto ahora un poco mejor:

$\left.\begin{matrix} 5^3:5^3 =5^{3-3}=5^0 \\ 5^3:5^3=125:125=1 \end{matrix}\right\} \ \rightarrow \ 5^0 = 1$

Propiedades de las operaciones con potencias

Tutorial 1 (8'12") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial2 (8'20") Sinopsis:

Producto de potencias de la misma base.
Cociente de potencias de la misma base.
Potencia de otra potencia.
Ejemplos.

Producto de potencias de la misma base (4'26") Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (4'33") Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de otra potencia (3'43") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de otra potencia.

Producto de potencias de la misma base (5'11") Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (5'58") Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de un producto (4'57") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un producto.

Potencia de un cociente (5'24") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un cociente.

Potencia de una potencia (4'51") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de una potencia.

Propiedades de las potencias (2'32") Sinopsis:

Enunciados de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejemplos de las propiedades de las potencias (3'28") Sinopsis:

Ejemplos de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 1 (2'09") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 2 (3'40") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 3 (3'37") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 4 (3'42") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 5 (2'47") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Actividades

Operaciones con potencias de números naturales

Actividad Descripción:

Ejercicios con potencias de números naturales.

Juegos Descripción:

Jerarquía de las operaciones con naturales

A la hora de operar con números naturales seguiremos las siguientes pautas:

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:

Las potencias y las raíces.
Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
Las sumas y las restas.

Observaciones:

Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.

Ejemplo:

Efectúa las siguientes operaciones: $8+\sqrt{16} \cdot (5-2)^2$

Los paréntesis: $\rightarrow 8+\sqrt{16} \cdot (5-2)^2= 8 + \sqrt{16} \cdot 3^2$
Las potencias y las raíces: $\rightarrow 8 + \sqrt{16} \cdot 3^2 = 8 + 4 \cdot 9$
Las multiplicaciones y divisiones: $\rightarrow 8 + 4 \cdot 9 = 8 + 36$
Las sumas y restas: $\rightarrow 8 + 36 = 44$

Jerarquía de las operaciones

Tutorial 1 (8'31") Sinopsis:

Aprende el orden en que han de hacerse las distintas operaciones con números naturales: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces, paréntesis. Ejemplos.

Tutorial 2 (4'35") Sinopsis:

Aprende el orden en que han de hacerse las distintas operaciones con números naturales.

Tutorial 3 (4'38") Sinopsis:

Aprende el orden en que han de hacerse las distintas operaciones con números naturales.

Acertijo (8'02") Sinopsis:

¿Cuánto es 6÷2(1+2)? ¿9 ó 1?

Operaciones combinadas con naturales

Autoevaluación 1 Descripción:

En esta escena podrás practicar las operaciones con números naturales: suma, resta, multiplicación, cociente, potencia y raíz; con o sin paréntesis, simples o dobles.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas con números naturales.

Ejercicios y problemas

Ejercicios

Ejercicios

1. Calcula:

a) $7+3\cdot5-2=$

b) $(7+3)\cdot5-2=$

c) $7+3\cdot(5-2)=$

d) $(7+3)\cdot(5-2)=$

Solución:

a) 20 b) 48 c) 16 d) 30

2. Simplifica:

a) $(x^2)^5\,\!$ b) $x^3 \cdot x^4 \cdot x^2$ c) $(x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x$

Solución:

a) $x^{10}\,\!$ b) $x^9\,\!$ c) $x^{15}\,\!$

3. Simplifica:

a) $\cfrac{3^5}{3^2}$ b) $\cfrac{5^4}{5^2}$ c) $\cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}$

Solución:

a) $3^3\,\!$ b) $5^2\,\!$ c) $2^2 \cdot 5^2$

4. Extrae factor común:

a) $-18a+20a-10a\,\!$ b) $15x-60x^2\,\!$ c) $5ba^2-3ab+2ba^3\;\!$

Solución:

a) $-8a\,\!$ b) $15x \cdot (1-4x)\,\!$ c) $ab \cdot (5a-3+2a^2)$

Problemas

Problemas

1. Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?

Solución:

El divisor es 14 (Aplicando la regla de la división)

2. Una empresa compra una máquina de café por 6.000 €. Cada mes se gasta 100 € en mantenimiento pero obtiene 350 € por la venta de café. Al cabo de 2 años y medio la vende por 4920 €. ¿Qué beneficio mensual le ha aportado la máquina?

Solución:

214 €

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas , , y .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {4}{2}- 3+7 \cdot 8$

Procedimiento: $4\;\!$ $2\;\!$ $3\;\!$ $7\;\!$ $8\;\!$

Solución: $55\;\!$

Paréntesis

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas y.

Ejemplo:

Operación: $(2+3) \cdot 4$

Procedimiento: $2\;\!$ $3\;\!$ $4\;\!$

Solución: $20\;\!$

Potencias

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {4^3}{2^4}$

Procedimiento: $4\;\!$ $3\;\!$ $2\;\!$ $4\;\!$

Solución: $4\;\!$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales"

 {{Números naturales}}
-==Operaciones con naturales==
+=Operaciones con naturales=
-===Suma y multiplicación de naturales===
+==Suma==
-La '''suma''' (o adición) y la '''multiplicación''' (o producto) de dos números naturales es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son '''operaciones internas'''.
+{{suma de naturales}}
+{{p}}
+===Propiedades de la suma de números naturales===
+{{Propiedades de la suma de números naturales}}
+{{p}}
+==Resta==
+{{Resta de naturales}}
+{{p}}
+==Multiplicación o producto de números naturales==
+{{Multiplicacion de naturales}}
+{{p}}
+===Propiedades de la multiplicación de números naturales===
+{{Propiedades de la multiplicación de números naturales}}
 {{p}}
-===Resta y división de naturales===
+===Producto por 10, 100, 1000, ....===
-La '''resta''' (o substracción) y la '''división''' (o cociente) de dos números naturales no siempre es otro número natural.
+{{Producto por 10, 100, 1000}}
 {{p}}
-===Propiedades de la suma y el producto de naturales===
-La suma y la multiplicación cumplen las siguientes propiedades:
+==División de números naturales==
-{{Caja Amarilla|texto=
+{{División de naturales}}
-*'''Propiedad asociativa:'''
+{{p}}
-::<math>(a+b)+c=a+(b+c)\,\!</math>
+===Cociente por defecto y por exceso===
-::<math>(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b \cdot c)</math>
+{{Cociente por defecto y por exceso}}
-*'''Propiedad conmutativa:'''
+{{p}}
-::<math>a+b=b+a\,\!</math>
-::<math>a \cdot b=b \cdot a</math>
+===Propiedades de la división de números naturales===
-*'''Propiedad distributiva:'''
+{{Propiedades de la división de números naturales}}
-::<math>a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c</math>
+{{p}}
-}}
 <br>
 ===Sacar factor común===

Números naturales

De Wikipedia

Revisión de 17:45 6 ago 2017

Tabla de contenidos

Números naturales

Representación de los números naturales

Orden en los números naturales

Notación desarrollada de un número natural

Lectura y escritura de números naturales

Los números grandes

Operaciones con naturales

Suma

Propiedades de la suma de números naturales

Resta

Multiplicación o producto de números naturales

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Producto por 10, 100, 1000, ....

División de números naturales

Cociente por defecto y por exceso

Propiedades de la división de números naturales

Sacar factor común

División de naturales

Potenciación de naturales

Propiedades de las potencias de naturales

Actividades

Jerarquía de las operaciones con naturales

Ejercicios y problemas

Ejercicios

Problemas

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Paréntesis

Potencias

Vistas

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