Notación científica

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Potencias de 10
3 Notación científica
4 Operaciones en notación científica
5 La notación científica en la calculadora
6 Problemas

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Introducción

Si nos hiciéramos las siguientes preguntas:

¿Cuánto pesa la Luna?
¿Cuánto mide un virus?
¿Qué distancia separa la Tierra del Sol?

En todos los casos las respuestas serán números muy grandes o muy pequeños. Imagínate que, una vez los hayas averiguado, tuvieras que hacer una serie de operaciones con estas cantidades.

¿Crees que te resultaría cómodo trabajar con estos números?

El trabajo con números de muchas cifras, tanto si se trata de un número pequeño como de uno grande, resulta difícil, porque presenta problemas:

Las operaciones se vuelven largas y tediosas.
Es difícil apreciar lo grande o pequeño que es el número.
Es casi seguro que nos vamos a olvidar de alguna cifra o que la escribiremos de más.

Resulta conveniente buscar métodos que nos permitan manejar esos números. La notación científica nos va ayudar a facilitar este trabajo.

Pero antes daremos un repaso a las potencias de 10, que nos hará falta para poder comprender la notación científica:

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Potencias de 10

Potencias de exponente positivo:

$10^0=1\;$

$10^1=10\;$

$10^2=100\;$

$10^3=1000\;$

$10^4=10\,000\;$

$\cdots$

Potencias de exponente negativo:

$10^{-1}=\cfrac{1}{10^1}=\cfrac{1}{10}=0.1\;$

$10^{-2}=\cfrac{1}{10^2}=\cfrac{1}{100}=0.01\;$

$10^{-3}=\cfrac{1}{10^3}=\cfrac{1}{1000}=0.001\;$

$\cdots$

Más información: Potencias de 10 (Wikipedia)

Potencias de 10

Actividad 1 Descripción:

El exponente de las potencias de base 10:

En la siguiente escena, modifica los valores del exponente y observa qué sucede en los siguientes casos:

Si el exponente es cero
Si el exponente es positivo
Si el exponente es negativo

Anota tus conclusiones en tu cuaderno.

Actividad 2 Descripción:

Paso de forma decimal a potencia de base 10:

Introduce la respuesta adecuada.

Antes de empezar consulta la ayuda que tiene la escena.

Anota en tu cuaderno los ejercicios.

Actividad 3 Descripción:

Paso de potencia de base 10 a forma decimal:

Introduce la respuesta adecuada.

Antes de empezar consulta la ayuda de la escena.

Anota en tu cuaderno los ejercicios.

Procedimiento

Al multiplicar un número por :
- Si $n \ge 0$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la derecha $n\;$ posiciones.
- Si $n < 0\;$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la izquierda $n\;$ posiciones.

Al dividir un número por :
- Si $n \ge 0$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la izquierda $n\;$ posiciones.
- Si $n < 0\;$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la derecha $n\;$ posiciones.

Nota 1: En todos los casos, al desplazar la coma, se añadirán los ceros que sean necesarios.
Nota 2: Dividir por $10^n\;$ equivale a multiplicar por $10^{-n}\;$ .

Ejemplos

$2.45 \cdot 10^3= 2450$
$2.45 : 10^3= 0.00245\;$
$2.45 \cdot 10^{-3}= 2.45 : 10^3 = 0.00245$
$2.45 : 10^{-3}= 2.45 \cdot 10^3 = 2450$

Productos y cocientes con potencias de 10 (17'59") Sinopsis:

Tutorial que explica a través de ejercicios la multiplicación y división de números decimales por potencias de 10, tanto de exponente positivo como negativo.

Productos y cocientes con potencias de 10 Descripción:

Reglas para multiplicar o dividir un número racional por potencias de 10. Ejemplos.
Ejercicios resueltos.

Multiplicando múltiplos de potencias de 10 (2'29") Sinopsis:

Calcula: $(9 \cdot 10^9) \cdot (-2 \cdot 10^{-3})$

Productos y cocientes de múltiplos de potencias de 10 Descripción:

Productos y cocientes de múltiplos de potencias de 10

Potencias de 10

Macro y microcosmos (8'52") Sinopsis:

Universo, macro y microcosmos en potencias de 10.

De lo más pequeño a lo más grande (3'37") Sinopsis:

Universo, macro y microcosmos en potencias de 10.

Secretos del Universo Descripción:

Observa la Vía Lactea desde 10 millones de años luz de distancia a la Tierra. Ve aproximándote a ésta progresivamente, hasta llegar a un árbol que hay en la superficie. Penetra en el mundo microscópico de una de sus hojas hasta llegar al universo subatómico de electrones y protones.

Versión en video (en castellano) (7'19") Sinopsis:

Universo, macro y microcosmos en potencias de 10

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Notación científica

Trabajar con números muy grandes o muy pequeños (muy próximos a cero) resulta engorroso. Por eso debemos aprender a escribir estos números de una forma más abreviada y que resulte más cómoda.

Esta forma de escribirlos es lo que llamaremos notación científica. Veamos en qué consiste:

Un número está en notación científica si aparece expresado de la forma:

$a \cdot 10^n$

donde $a \;\!$ es un número con 1 cifra entera distinta de cero y un número cualquiera de decimales.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Los siguientes números están en notación científica:

$1.23 \cdot 10^{3} \, , \ \ 7 \cdot 10^{-2}$

Estos otros no lo están:

$12.3 \cdot 10^{2} \, , \ \ 0.7 \cdot 10^{-1}$

Ejemplo 2:

La distancia media de la Tierra al Sol es de unos 1500 millones de kilómetros. Si tuviésemos que expresarlo en metros, lo podríamos escribir con todas sus cifras, pero sería más razonable escribirlo en notación científica:

$150\,000\,000\,000 \ m=1.5 \cdot 10^{11} \ m$

La masa de un electrón es aproximadamente $9.1 \cdot 10^{-31} \ kg$ . Si lo escribiésemos con todas sus cifras ...

$0.00000000000000000000000000000091 \ kg$

La notación científica

Actividad 1 Descripción:

En la siguiente escena, genera distintos números, pulsando el botón inferior.

Anótalos en tu cuaderno, explicando qué condiciones cumple para que esté en notación científica.

Actividad 2 Descripción:

Consulta la ayuda de la escena y contesta.

Modifica los valores de las cifras y del exponente y observa qué sucede con la coma en los siguientes casos:

Si el exponente es cero
Si el exponente es negativo
Si el exponente es positivo

Anota en tu cuaderno las conclusiones a las que hayas llegado.

Actividad 3 Descripción:

Consulta la ayuda de la escena y contesta.

Debes averiguar qué números son menores que 1 (numeros pequeños) o mayores que 1 (números grandes).

Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 4 Descripción:

Para comparar números escritos en notación científica debes tener en cuenta las siguientes normas:

Dos números con distinta potencia de 10 : el nº mayor es el de mayor exponente
Dos números con la misma potencia de 10: el nº mayor es el de "mayor cifra" delante de la potencia

Consulta la ayuda y practica con la escena adjunta.

Anota en tu cuaderno los resultados.

Procedimiento

Para pasar un número a notación científica debemos:

Desplazar la coma hasta colocarla detrás de la primera cifra distinta de cero.
Multiplicar por una potencia de 10 adecuada:

Si la desplazamos $n\;$ lugares a la izquierda, estamos dividiendo el número de partida por $10^n\;$ , por lo que deberemos multiplicar por $10^n\;$ para equilibrar.
Si la desplazamos $n\;$ lugares a la derecha, estamos multiplicando el número de partida por $10^n\;$ , por lo que deberemos dividir por $10^n\;$ para equilibrar, esto es, multiplicar por $10^{-n}\;$ .

Ejemplos

Expresa en notación científica los siguientes números:

a) 123 000 b) 0.023

Solución:

a) Para expresar 123 000 en notación científica debemos mover la coma 5 lugares hacia la izquierda para que quede situada entre el 1 y el 2. (Nótese que la coma está detrás del último cero en el número de partida, aunque no se escribe). Esto equivale a dividir el número de partida entre $10^5\;$ , por lo que compensaremos multiplicando por dicha potencia:

$123\,000=\cfrac{123\,000}{10^5} \cdot 10^5 = 1.23 \cdot 10^5$

b) Para expresar 0.023 en notación científica debemos mover la coma 2 lugares hacia la derecha para que quede situada entre el 2 y el 3. Esto equivale a multiplicar el número de partida por $10^2\;$ , por lo que compensaremos dividiendo por dicha potencia:

$0.023=\cfrac{0.023 \cdot 10^2}{10^2} = \cfrac{2.3}{10^2}= 2.3 \cdot 10^{-2}$

Cómo pasar a notación científica

Actividad 1a Descripción:

Actividades para aprender a manejar la notación científica.

Actividad 1b Descripción:

Ejemplos de números muy grandes y muy pequeños.
Ejercicios resueltos sobre notación científica. Uso de la calculadora.

Actividad 2 Descripción:

Repaso sobre notación científica.

Autoevaluación 1 Descripción:

Escribe en notación científica.

Autoevaluación 2 Descripción:

Escribe en noptación científica.

Autoevaluación 3 Descripción:

Notación científica.

Notación científica

Tutorial 1 (7'38") Sinopsis:

Notación científica.

Tutorial 2 (7'37") Sinopsis:

Números en notación científica. Ejemplos.

Tutorial 3 (33'14") Sinopsis:

Tutorial dedicado a la Notación Científica. Expresión de números en esta forma y operaciones con notación científica (producto/división, suma/resta).

00:00 a 05:00: Introducción general. Justificación de la Notación Científica.
05:00 a 07:07: Definición de un número en Notación Científica.
07:07 a 11:21: Ejemplo 1: Paso de notación científica a decimal.
11:21 a 16:35: Ejemplo 2: Paso de notación decimal a científica.
16:35 a 22:35: Ejemplo 3: Productos y divisiones en notación científica.
22:35 a 24:58: Ejemplo 4: Fuerza de atracción del Sol y la Tierra.
24:58 a 33:14: Ejemplo 5: Sumas y Restas en notación científica.

Tutorial 4 (5'19") Sinopsis:

Notación científica. Ejemplos.

Tutorial 5 (5'19") Sinopsis:

Potencias de 10 y notación científica. Ejemplos.

Tutorial 6 (36'08") Sinopsis:

Notación científica. Operaciones. Ejemplos.

Tutorial 7 (32'42") Sinopsis:

Introducción a la notación científica.

Ejercicio 1 (7'51") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 12 670 000 000 kg

b) 92 000 m

c) 0.000 632 km^3>

d) 0.048 hm

Ejercicio 2 (4'22") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 407 000 000 000 000

b) 24 000

c) 0.000 000 078

Ejercicio 3 (6'32") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 5 000 000 000 b) 27 000 c) 900 d) 129 000

e) 0.000 000 025 f) 0.000 678 g) 0.000 000 000 000 853

Ejercicio 4 (6'53") Sinopsis:

Escribe 0.0000000003457 en notación científica.

Ejercicio 5 (20'57") Sinopsis:

Escribe en notación científica:

a) 0.00852 b) 7 012 000 000 000 c) 0.0000000000000500

d) 723 e) 0.6 f) 82 300 000 000

Opera pasando previamente a notación científica cuando sea necesario:

a) $0.000064 \cdot 320\, 000\, 000\, 000\;$

b) $\cfrac{3.2 \cdot 10^{11}}{6.4 \cdot 10^{-6}}$

Ejercicio 6 (11'29") Sinopsis:

Escribe con todas sus cifras:

a) $3.102 \cdot 10^2\;$ b) $7.4 \cdot 10^4\;$ c) $1.75 \cdot 10^{-3}\;$ d) $2.9 \cdot 10^{-5}\;$

Escribe en notación científica:

a) 120 000 b) 1 765 244 c) 12 d) 0.00281 e) 0.000000027

¿Cuál es el número más grande? (4'12") Sinopsis:

¿Hasta qué número es posible contar? ¿Hay un número mayor que todos, o la cuenta no acaba nunca y es infinita? ¿Cuál es el número más grande que alguien haya podido imaginar? Errata en minuto 1:05 -> en realidad ese número se lee "setenta mil trillones" en español y en inglés si sería "seventy sextillion" por lo que hay un error en el vídeo.

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Operaciones en notación científica

Operaciones en notación científica

Tutorial (6'37") Sinopsis:

Multiplicación, división, suma y resta en notación científica. Ejemplos.

Multiplicación y división en notación científica (7'00") Sinopsis:

Multiplicación y división en notación científica. Ejemplos.

Suma y resta en notación científica (8'46") Sinopsis:

Suma y resta en notación científica. Ejemplos.

Potencia en notación científica (6'20") Sinopsis:

Potencia en notación científica. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'47") Sinopsis:

Calcula: $(9.1 \cdot 10^6) \cdot (3.2 \cdot 10^{-5}$

Ejercicio 2 (7'37") Sinopsis:

Calcula: $(1.45 \cdot 10^8) \cdot (9.2 \cdot 10^{-12} \cdot (3.01 \cdot 10^{-5}$

Expresa el resultado tanto en notación decimal como científica

Ejercicio 3 (4'07") Sinopsis:

Calcula: $\cfrac{7 \cdot 10^5}{(2 \cdot 10^{-2}) \cdot (2.5 \cdot 10^9)}$

Ejercicio 4 (21'15") Sinopsis:

Calcula:

a) $\cfrac{5.12 \cdot 10^3 \cdot 4.2 \cdot 10^7}{1.8 \cdot 10^{15}}$

b) $4 \cdot 10^3 - 7 \cdot 10^{16} + 5.3 \cdot 10^{15}$

c) $\cfrac{(3.12 \cdot 10^{-5} + 7.03 \cdot 10^{-4}) \cdot 8.3 \cdot 10^8}{4.32 \cdot 10^3}$

d) $\cfrac{60\,000^3 \cdot 0.00002^4}{100^2 \cdot 72\,000\,000 \cdot 0.0002^5}$

Problemas (5'50") Sinopsis:

3 problemas con notación científica.

Multiplicaciones y divisiones en notación científica

Actividad Descripción:

Ejemplos de multiplicaciones y divisiones en notación científica.
Ejercicios resueltos.

Autoevaluación Descripción:

Multiplicaciones y divisiones en notación científica.

Ejercicos resueltos: Notación científica

Calcula y expresa en notación científica:

a) $(3.214 \cdot 10^{-5}) \cdot (7,2 \cdot 10^{15})$ b) $\cfrac{3.214 \cdot 10^{-5}}{7,2 \cdot 10^{15}}$ c) $3.2 \cdot 10^8 + 7.3 \cdot 10^{-14} - 4.552 \cdot 10^8$

Solución:

a) $2.314 \cdot 10^{11}\;$ ; b) $4.46 \cdot 10^{-21}\;$ ; c) $-1.352 \cdot 10^8\;$

Pista: Para el apartado c) deberás primero expresar todos los sumandos con potencias de 10 del mismo exponente, y luego sacar factor común.

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La notación científica en la calculadora

La mayoría de las calculadoras expresan los números en notación científica omitiendo la potencia de 10, mostrando sólo el número que va multiplicando delante del 10 y el exponente.

La siguiente actividad te ayudará a entenderlo:

Notación científica con calculadora Descripción:

Pulsa "INICIO" y, a continuación, pulsa uno de los tres botones inferiores, pero sólo uno. Escribe en tu cuaderno las tres formas posibles y comprueba tus soluciones pulsando los otros dos botones inferiores.

Anota los resultados en tu cuaderno.

Calculadora: Notación científica

Para introducir un número en notación científica usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $2.5219 \cdot 10^{-3}$

Procedimiento: $2\;\!$ $5219\;\!$ $3\;\!$

Solución: $2.5219 \cdot 10^{-03}$

Nota:

El modo SCI fuerza a la calculadora a trabajar en notación científica, con la cantidad de cifras significativas que le indiquemos al activarlo.

Normalmente trabajaremos en modo NORM 2. De esta manera la calculadora sólo recurrirá a la notación científica cuando el número de cifras sea grande.

Para activar el modo SCI o el modo NORM usa la tecla MODE (SHIFT SETUP en otros modelos).

Notación científica

Actividad: Notación científica

Escribe en notación científica el número 123.67

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

scientific notation 123.67

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Problemas

Problemas: Potencias y notación científica Descripción:

Problemas con potencias y notación científica

Ejercicios y problemas: Notación científica Descripción:

Ejercicios y problemas sobre notación científica

Problemas: Notación científica

1. El presupuesto de un país es de quince trillones de euros., ¿cuánto tiene que aportar cada individuo en promedio si el país tiene doscientos cincuenta millones de habitantes?

Solución:

$6 \cdot 10^{10}$ €

2. La edad del Sol es de aproximadamente $5 \cdot 10^9$ años. Sin embargo, hay cuerpos que pueden tener 4 veces la edad del Sol. ¿Cuál es la edad de estos cuerpos?

Solución:

$2 \cdot 10^{10}$ años

3. Se calcula que en la Vía Láctea hay aproximadamente $1.2 \cdot 10^{11}$ estrellas. ¿Cuántos años le tomaría a una persona contar las estrellas si cuenta una por segundo?

Solución:

3805.17 años

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Categorías: Matemáticas | Números

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