Números irracionales, Números irracionales: Definición

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-{{Menú Matemáticas 3ESO+#REDIRECT [[Números irracionales]]
-|ir= +
-|ampliar=+
-|repasar=[http://maralboran.ath.cx/web_ma/presentaciones/POTENCIASRAICES.ppt Potencias y Raíces]+
-|enlaces=[http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada Raíz cuadrada]+
-}}+
-{{p}}+
-==Números irracionales==+
-{{Caja_Amarilla|texto=A los números cuya expresión decimal tiene '''infinitas cifras no periódicas'''+
-, se les llama números '''irracionales.''' Al conjunto de tales números lo representaremos con la letra <math>\mathbb{I}</math>.}}+
-{{p}}+
-Son números irracionales: +
-<center>+
-<math>\pi=3.141592654..., e=2.718281..., \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618033988... ,\sqrt{2}=1.414213...,</math>+
-</center>+
-{{Caja|contenido=Vídeos: [http://maralboran.org/web_ma/videos/historiasdepi/historiasdepi.html Historias de pi];[http://maralboran.org/web_ma/videos/elnumeroe/elnumeroe.html El número e]; [http://maralboran.org/web_ma/videos/ladivinaproporcion/ladivinaproporcion.html Phi y la divina proporción]; }}+
-{{p}}+
-Vamos a repasar los distintos conjuntos numéricos vistos hasta ahora:+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Números irracionales''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1.''' Conjuntos numéricos.+
-|actividad={{p}}+
-Pulsa los botones para ver ejemplos de los distintos tipos de números. +
-{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/3_eso/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros0_1.html+
-width=700+
-height=350+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Teorema+
-|titulo=Proposición+
-|enunciado=+
-:El número <math>\sqrt{2}</math> es irracional.+
-|demo=+
-Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Vamos a suponer que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremosa una conclusión sin sentido. Esto demostraría que <math>\sqrt{2}</math> no puede ser racional sino irracional.+
- +
-Por tanto, supongamos que <math>\sqrt{2}</math> es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a <math>\sqrt{2}</math>. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible sinplificarla.+
- +
-<center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}</math></center>+
- +
-Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:+
- +
-<center><math>\cfrac {a^2}{b^2}=2</math></center>+
- +
-Multiplicamos por <math>b^2\;\!</math> los dos miembros de la igualdad:+
- +
-<center><math>a^2=2 \cdot b^2</math></center>+
- +
-Esta expresión nos dice que <math>a^2\;\!</math> es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.+
- +
-Pero <math>a^2\;\!</math> es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.+
- +
-Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de <math>b^2\;\!</math>, el otro 2 tiene que estar en el <math>b^2\;\!</math>+
- +
-Eso quiere decir que <math>b^2\;\!</math> también tiene que ser par, y por tanto <math>b\;\!</math> también es par.+
- +
-Pero si <math>a\;\!</math> es par y <math>b\;\!</math> también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.+
- +
-Ya hemos llegado al absurdo. +
-}}+
- +
-==Representación de números irracionales==+
-En la siguiente actividad vamos a ver algunos números irracionales importantes y su representación en la recta real.+
- +
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Representación de números irracionales''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Representación del número <math>\sqrt{2}</math>.+
-|actividad=+
-Observa en la escena la representación de <math>\sqrt{2}</math>. +
- +
-#Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos. +
-#Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.+
-#Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.+
-{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/Algebra/Irracionales/Irracionales_1.html+
-width=570+
-height=390+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Representación del número de oro <math>\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}</math>.+
-|actividad=+
-Desde la antigüedad matemáticos filósofos y artistas han creído en la existencia de una razón privilegiada, que fue llamada número áureo.+
- +
-Los griegos consideraban que un rectángulo cuyos lados <math>a\;\!</math> y <math>b\;\!</math> están en la razón <math>\cfrac{a}{b} = \phi</math> es especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.+
- +
-Es el primer número irracional del que se tuvo conciencia de que lo era.+
- +
-En la escena puedes ver la representación del número de oro <math>\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}</math> basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclídes (siglo III a. J.C.). +
- +
-#Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos. +
-#Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.+
-#Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.+
-{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/Algebra/Irracionales/Irracionales_2.html+
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-height=390+
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-</iframe></center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=3. Representación de otras raíces cuadradas.+
-|actividad=+
-Observa en la escena la representación de otras raices cuadradas.+
- +
-#Pulsando sobre el control pasos puedes observar cómo se representa la raíz cuadrada de cualquier número entero.+
-#Representa en tu cuaderno la raíz de 3 y la raíz de 5.+
-#Pulsando el control decimales puedes obtener el número de ellos que desees.+
-#Utiliza el botón Limpiar si quieres ver con más claridad la representación de algún número.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/Algebra/Irracionales/Irracionales_3.html+
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-height=390+
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-</iframe></center>+
-}}+
-}}+

Revisión actual

  1. REDIRECT Números irracionales
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