Números irracionales

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Tabla de contenidos

Números irracionales

A los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas , se les llama números irracionales. Al conjunto de tales números lo representaremos con la letra \mathbb{I}.

Son números irracionales:

\pi=3.141592654..., e=2.718281..., \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988... ,\sqrt{2}=1.414213...,

Vamos a repasar los distintos conjuntos numéricos vistos hasta ahora:

ejercicio

Actividad Interactiva: Números irracionales

Actividad 1. Conjuntos numéricos.
Actividad:

Pulsa los botones para ver ejemplos de los distintos tipos de números.

Click aquí si no se ve bien la escena

ejercicio

Proposición

El número \sqrt{2} es irracional.
Demostración:

Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Vamos a suponer que \sqrt{2} es racional y llegaremosa una conclusión sin sentido. Esto demostraría que \sqrt{2} no puede ser racional sino irracional.

Por tanto, supongamos que \sqrt{2} es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros \cfrac {a}{b} que es igual a \sqrt{2}. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible sinplificarla.

\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

\cfrac {a^2}{b^2}=2

Multiplicamos por b^2\;\! los dos miembros de la igualdad:

a^2=2 \cdot b^2

Esta expresión nos dice que a^2\;\! es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.

Pero a^2\;\! es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.

Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de b^2\;\!, el otro 2 tiene que estar en el b^2\;\!

Eso quiere decir que b^2\;\! también tiene que ser par, y por tanto b\;\! también es par.

Pero si a\;\! es par y b\;\! también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.

Ya hemos llegado al absurdo.

Representación de números irracionales

En la siguiente actividad vamos a ver algunos números irracionales importantes y su representación en la recta real.

ejercicio

Actividades Interactivas: Representación de números irracionales

1. Representación del número \sqrt{2}.
Actividad:
Observa en la escena la representación de \sqrt{2}.
  1. Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
  2. Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
  3. Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Click aquí si no se ve bien la escena
2. Representación del número de oro \phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
Actividad:
Desde la antigüedad matemáticos filósofos y artistas han creído en la existencia de una razón privilegiada, que fue llamada número áureo.

Los griegos consideraban que un rectángulo cuyos lados a\;\! y b\;\! están en la razón \cfrac{a}{b} = \phi es especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.

Es el primer número irracional del que se tuvo conciencia de que lo era.

En la escena puedes ver la representación del número de oro \phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2} basada en una construcción gráfica que se encuentra en un libro de Euclídes (siglo III a. J.C.).

  1. Para ello debes ir presionando sucesivamente el control pasos.
  2. Toma nota en tu cuaderno de los pasos de la representación e intenta realizarla con regla y compás.
  3. Si presionas sobre el control decimales podrás variar el número de cifras decimales.

Click aquí si no se ve bien la escena
3. Representación de otras raíces cuadradas.
Actividad:
Observa en la escena la representación de otras raices cuadradas.
  1. Pulsando sobre el control pasos puedes observar cómo se representa la raíz cuadrada de cualquier número entero.
  2. Representa en tu cuaderno la raíz de 3 y la raíz de 5.
  3. Pulsando el control decimales puedes obtener el número de ellos que desees.
  4. Utiliza el botón Limpiar si quieres ver con más claridad la representación de algún número.
Click aquí si no se ve bien la escena

Números irracionales famosos

El número aureo: Phi

ejercicio

Video: La divina proporción. El número Phi (\varphi) (6´)

Sinopsis:
Documental sobre la historia del número Phi (\varphi) y la divina proporción.
Video:
Click aquí si no se ve bien la escena
Click aquí para enlace desde servidor TIC

ejercicio

Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]

Descripción:
A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

El número Pi

ejercicio

Video: Historias de Pi (25´)

Sinopsis:
Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es "Pi" (Π = 3,141592...). La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está intimamente ligada al número Pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Lasmismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número.Pero el verdadero padre de Pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo. Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de Pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados. Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudiosestadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.
Video:
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ejercicio

Web: [El número Pi El número Pi]

Descripción:
Página dedicada al número Pi con muchos enlaces y curiosidades.

El número e

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Video: Un número llamado e (13´)

Sinopsis:
Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.
Video:
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