Progresiones aritméticas

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Revisión de 17:43 12 ene 2009

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Término general de una progresión aritmética
3 Suma de términos de una progresión aritmética
4 Ejercicios

Definición

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, $d\;\!$ , que llamaremos diferencia.

Por ejemplo:

es una progresión aritmética con diferencia d=4.

Término general de una progresión aritmética

Término general de una progresión aritmética

Sean $a_1, a_2, a_3, ..... \;\!$ términos de una progresión aritmética de diferencia $d\;\!$ . Entonces, se cumple que:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración:

En efecto, razonando por inducción:

$a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + d + d = a_1 + 2 \cdot d \;\!$

$a4 = a3 + d = a1 +2d + d = a_1 + 3 \cdot d \;\!$

........................

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Actividad Interactiva: Progresiones aritméticas

Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones aritméticas.

Actividad:

Pulsa "Nuevo" para que aparezcan otras progresiones.

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Suma de términos de una progresión aritmética

Suma de términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

$S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}$

Demostración:

El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:

En un pequeño pueblo de Alemania, Brunswick, un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad... pero transcurridos pocos segundos uno de los alumnos levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente, así era.

El profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos. Intenta enterarte de algo más sobre él.

Demostración:

Para la demostración nos basaremos en el hecho de que:

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} \cdots=K$

Entonces, si efectuamos la siguiente suma:

$S_n \ = \ a_1 \ + ~~a_2 \ + ~~a_3 \ + \cdots +\ a_{n-2} + a_{n-1} + a_n$

$S_n \ = \ a_n \ + a_{n-1} + a_{n-3}+\cdots + \ ~~a_3\ + \ a_2\ + \ a_1$

_______________________________________________________________

$2 \cdot S_n= K + ~K \ + ~~K \ ~+ \cdots+ ~~K \ + ~K \ + ~K$

por tanto:

$S_n=\cfrac{n \cdot K}{2}=\cfrac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}$

Ejercicios

Problemas

1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas.

a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...

Solución:

$a) \quad a_n=-2n+3 \qquad b)\quad a_n=3n-1 \qquad c)\quad a_n=2n-9$

2. Si $a_1=0\;\!$ y $d = 3\;\!$ , en una progresión aritmética, ¿cuánto vale $a_8\;\!$ ?

Solución:

$a_n=3n-3; \qquad a_8=21$

3. Si $a_{10}=14\;\!$ y $d = -2\;\!$ , calcular $a_1\;\!$ .

Solución:

$14=a_1+(10-1).(-2); \qquad a_1=32$

4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.

Solución:

$a_{10}=1555; \qquad S_{10}=\frac{(700+1555).10}{2}=11275$