Plantilla:Raíces

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 17:45 7 ago 2016

Tabla de contenidos

1 Raíz n-ésima de un número
- 1.1 Propiedades de las raíces
2 Raíces exactas e inexactas
3 La raíz como potencia de exponente fraccionario
4 Calculadora

Raíz n-ésima de un número

La raíz n-ésima $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$ de un número $a \;$ es otro número $b \;$ tal que $b^n =a\;\!$ y que escribimos simbólicamente $b=\sqrt[n]{a}$ .

$\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a$

El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ índice y $b\;\!$ la raíz.

Nomenclatura:

Si el índice es 2 las llamaremos raíces cuadradas; si el índice es 3, raíces cúbicas; si es 5, 6, ..., raíces cuartas, quintas, ....

Ejemplo

$\sqrt[5]{32}=2\;$ porque $2^5 =32\;$ .

Es una raíz quinta porque el índice es 5, su radicando es 32 y la raíz es 2.

Propiedades de las raíces

Propiedades

$\sqrt[n]{1}=1$ ; $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .

Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .

Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.

Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.

Si el índice $n\;\!$ es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos

$\sqrt[3]{1}=1$ .

$\sqrt[5]{0}=0$ .

$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .

$\sqrt[3]{64}=4$ porque $4^3=64\;\!$ .

$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=-8\;\!$ .

$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

La raíz n-ésima

Tutorial 1 (9´53") Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de raíz (radical) realizando el cálculo de alguna raíces exactas de números racionales (enteros y decimales).

Tutorial 2a (6´38") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 2b (6´38") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos más complejos.

Tutorial 3 (4´54") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 4 (32´48") Sinopsis:

Raíces de un número entero.
Raíces cuadradas y cúbicas.
Partes de una raíz.
Raíces de números positivo, negativos y del cero.
Raíz exacta y raíz entera.
Calculo manual de raíces cuadradas.
Los radicales.
Extracción de factores de un radical.

Ejercicio 1a (30´30") Sinopsis:

1) Completa:

1a) $Como \ \ 6^2=36 \ \ y \ \ (-6)^2 =36 \rightarrow \sqrt{36}= ...$

1b) $Como \ \ 7^2=49 \ \ y \ \ (-7)^2 =49 \rightarrow \sqrt{49}= ...$

1c) $Como \ \ 9^2=81 \ \ y \ \ (-9)^2 =81 \rightarrow \sqrt{81}= ...$

1d) $Como \ \ 3^2=9 \ \ y \ \ (-3)^2 =9 \rightarrow \sqrt{9}= ...$

2) Completa:

2a) $Como \ \ 6^3=216 \rightarrow \sqrt[3]{216}= ...$

2b) $Como \ \ (-6)^3=-216 \rightarrow \sqrt[3]{-216}= ...$

2c) $Como \ \ 5^3=125 \rightarrow \sqrt[3]{125}= ...$

2d) $Como \ \ (-5)^3=-125 \rightarrow \sqrt[3]{-125}= ...$

2e) $Como \ \ 7^3=343 \rightarrow \sqrt[3]{343}= ...$

2f) $Como \ \ (-7)^3=-343 \rightarrow \sqrt[3]{-343}= ...$

3) Completa:

3a) $Como \ \ 6^4=216 \ \ y \ \ (-6)^4 =216 \rightarrow \sqrt[4]{216}= ...$

3b) $Como \ \ 2^5=32 \ \ y \ \ (-2)^5 =32 \rightarrow \sqrt[5]{32}= ... \ \ y \ \ \sqrt[5]{-32}= ...$

3c) $Como \ \ 3^6=729 \ \ y \ \ (-3)^6 =729 \rightarrow \sqrt[6]{729}= ...$

3d) $Como \ \ 2^7=128 \ \ y \ \ (-2)^7 =-128 \rightarrow \sqrt[7]{128}= ... \ \ y \ \ \sqrt[7]{-128}= ...$

3e) $Como \ \ 3^8=6561 \ \ y \ \ (-3)^8 =6561 \rightarrow \sqrt[8]{6561}= ...$

3f) $Como \ \ 2^9=512 \ \ y \ \ (-2)^9 =-512 \rightarrow \sqrt[9]{512}= ... \ \ y \ \ \sqrt[9]{-512}= ...$

3g) $Como \ \ 2^{10}=1024 \ \ y \ \ (-2)^{10} =1024 \rightarrow \sqrt[10]{1024}= ...$

4) Contesta:

4a) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -25? ¿Existe $\sqrt{-25}\;$ ?

4b) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -36? ¿Existe $\sqrt{-36}\;$ ?

4c) ¿hay algún número que elevado al cuadrado dé un número negativo?

4d) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -27? ¿Existe $\sqrt[3]{-27}\;$ ?

4e) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -64? ¿Existe $\sqrt[3]{-64}\;$ ?

4f) ¿hay algún número que elevado al cubo dé un número negativo?

4g) ¿Hay algún número que elevado a la cuarta dé -81? ¿Existe $\sqrt[4]{-81}\;$ ?

4h) ¿Hay algún número que elevado a la quinta dé -243? ¿Existe $\sqrt[5]{-243}\;$ ?

4i) ¿De qué depende que exista una raíz de radicando negativo?

5) Calcula:

5a) $\sqrt{1}\;$ ; $\sqrt{-1}\;$

5b) $\sqrt{4}\;$ ; $\sqrt{-4}\;$

5c) $\sqrt{9}\;$ ; $\sqrt{-9}\;$

5d) $\sqrt{16}\;$ ; $\sqrt{-16}\;$

5e) $\sqrt{25}\;$ ; $\sqrt{-25}\;$

5f) $\sqrt{36}\;$ ; $\sqrt{-36}\;$

5g) $\sqrt{49}\;$ ; $\sqrt{-49}\;$

5h) $\sqrt{64}\;$ ; $\sqrt{-64}\;$

5i) $\sqrt{81}\;$ ; $\sqrt{-81}\;$

5j) $\sqrt{100}\;$ ; $\sqrt{-10}\;$

6) Calcula:

6a) $\sqrt[3]{1}\;$ ; $\sqrt[3]{-1}\;$

6b) $\sqrt[3]{8}\;$ ; $\sqrt[3]{-8}\;$

6c) $\sqrt[3]{27}\;$ ; $\sqrt[3]{-27}\;$

6d) $\sqrt[3]{64}\;$ ; $\sqrt[3]{-64}\;$

6e) $\sqrt[3]{125}\;$ ; $\sqrt[3]{-125}\;$

6) Calcula:

7a) $\sqrt[4]{1}\;$ ; $\sqrt[4]{-1}\;$

7b) $\sqrt[5]{32}\;$ ; $\sqrt[5]{-32}\;$

7c) $\sqrt[6]{729}\;$ ; $\sqrt[6]{-729}\;$

7d) $\sqrt[7]{128}\;$ ; $\sqrt[7]{-128}\;$

Ejercicio 1b (28´06") Sinopsis:

8) Indica, en cada caso, la raíz, el índice y el radicando:

8a) $\sqrt{25}\;$

8b) $\sqrt[3]{-64}\;$

8c) $\sqrt[4]{81}\;$

9) Completa:

9a) $\sqrt{4}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9b) $\sqrt{9}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9c) $\sqrt[3]{-8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9d) $\sqrt[3]{8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9e) $\sqrt[4]{16}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9f) $\sqrt[5]{32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9g) $\sqrt[5]{-32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9f) $\sqrt[6]{1}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

10) Calcula las raíces enteras por exceso y por defecto:

10a) $\sqrt{14}\;$ ; $\sqrt[3]{14}\;$

10b) $\sqrt{20}\;$ ; $\sqrt[3]{20}\;$

10c) $\sqrt{39}\;$ ; $\sqrt[3]{39}\;$

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11a) $\sqrt{4069}\;$

11b) $\sqrt{8315}\;$

Ejercicio 1c (31´57") Sinopsis:

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11c) $\sqrt{49625}\;$

11d) $\sqrt{987654}\;$

11e) $\sqrt{448056}\;$

11f) $\sqrt{865432}\;$

La raíz n-ésima Descripción:

Actividades para que aprendas a calcular la raíz n-ésima de un número entero.

Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

$a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0.0256}\quad c) \sqrt[3]{192}$

Solución:

a) Descomponemos $216=2^3 \cdot 3^3$ .

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6$

Luego $\sqrt[3]{216}$ es racional.

b) Descomponemos $\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}$ .

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[4]{0.0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\pm \cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\pm \cfrac{2^2}{10^1}=\pm \cfrac{4}{10}=\pm 0'4$

Luego $\sqrt[4]{0.0256}$ es racional.

c) Descomponemos $192=2^6 \cdot 3\;\!$ .

El exponente de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.

Luego $\sqrt[3]{192}$ es irracional.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

Proposición

Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$

Demostración:

Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:

$(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m$

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:

$a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}$

Solución:

Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

Calculadora

Raíz cuadrada

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt {16}$

Procedimiento: $16\;\!$

Solución: $4\;\!$

Advertencia:

Ten cuidado, si trabajas con números enteros, porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.

Raíz cúbica

Calculadora: Raíz cúbica

Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt [3] {8}$

Procedimiento: $8\;\!$

Solución: $2\;\!$

Otras raíces

Calculadora: Otras raíces

Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt [4]{81}$

Procedimiento: $4\;\!$ $81\;\!$

Solución: $3\;\!$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ra%C3%ADces"

 titulo=Proposición
 |enunciado=
-Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:{{p}}
+:Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:{{p}}
 {{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}</math>}}
 |demo=
 ::<math>a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}</math>
 |sol=
-Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.
-{{p}}
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias33_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 }}
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 {{Caja_Amarilla|texto='''Propiedades: '''Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas [http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Propiedades_de_las_potencias_de_naturales propiedades] que con exponente natural o entero.}}
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-|enunciado=
-:Calcula las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario:
-:<math>a)\ \sqrt {16}, \quad b)\ \sqrt[3]{-27}, \quad c)\ \sqrt[4]{16}</math>
-{{p}}
-|sol=
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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-}}
-}}
 {{p}}

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