Números reales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos
2 Los números irracionales
- 2.1 Números irracionales famosos
3 El conjunto de los números reales
4 La recta real
- 4.1 Representación gráfica de números reales en la recta real
5 Videotutoriales
6 Ejercicios
7 Intervalos y semirectas
8 Videotutoriales
9 Ejercicios

"Dios creó los números naturales, lo demás es obra de los hombres."

L. Kronecker

Sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos

(pág. 27)

Recordemos las sucesivas ampliaciones de los conjuntos númericos que se han estudiado en cursos anteriores:

Partimos del conjunto de los números naturales: $\mathbb{N}=\left \lbrace 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$ .

Este conjunto es insuficiente si queremos dar solución a ecuaciones como:

$x+3=1\;$

Se precisa de un conjunto más amplio que incluya a los números negativos, el conjunto de los números enteros.

El conjunto de los números enteros: $\mathbb{Z}=\left \lbrace \cdots, -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$ .

Pero este conjunto también se nos queda chico. Por ejemplo, la ecuación

$3x=2\;$

no tiene solución en el conjunto de los números enteros ya que requiere números fraccionarios. Es necesaria la ampliación al conjunto de los números racionales.

El conjunto de los números racionales: $\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b} \ / \ a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace$ . Estos números se pueden expresar mediante decimales exactos o periódicos.

Pero, ¿qué ocurre si queremos resolver la siguiente ecuación?:

$x^2=2\;$

La respuesta la tienes en el siguiente resultado:

Proposición

No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número $\sqrt{2} \,$ no es racional.

Demostración:[Mostrar]

Un número secreto (2´49") Sinopsis: [Mostrar]

El formato DIN A4 y la raíz de 2 (4´40") Sinopsis:[Mostrar]

El formarto DIN A: [Mostrar]

blog.imprentaonline24.es

No es necesario estar vinculado al sector de las Artes Gráficas o al mundo del diseño para estar en contacto diario con el sistema de clasificación o medidas de papel DIN A. Seguramente si alguna vez habrás tenido que imprimir un documento o imagen en un tamaño en concreto. Y en algún momento nos hemos preguntado si nuestra impresora podría tolerar ese tamaño de impresión. Estamos habituados a escuchar que si tal o cual formato está en A4, A3, A5, etc. ¿pero de qué manera funcionan todos? ¿cuál es su origen y sus utilidades? A continuación respondemos a estas preguntas.

DIN no es más que un acrónimo que significa Deutches Institut für Normung, que traducido significa Instituto Alemán de Normalización. Esta entidad que surgió en 1917 es la encargada de dictar los estándares o normas técnicas en Alemania. Dichas normas tienen como finalidad exclusiva asegurar y garantizar la calidad de aquello que se quiere normalizar, en este caso el tamaño del papel. Aunque quizás pienses que la normativa DIN sólo hace referencia al formato del papel, lo cierto es que existen y puedes encontrar aproximadamente 30.000 normativas DIN en este 2016 según archivo.

Fue el ingeniero berlinés Walter Porstmann quien estableció hacia el año 1922 las medidas DIN A a partir de la incorporación de la normativa DIN 476. El propósito era estandarizar de alguna manera los diferentes formatos de papel o página para aprovechar el máximo de papel y que hubiera el mínimo desperdicio posible. Dentro de la misma normativa DIN 476 encontramos la serie A, donde se definen precisamente estas medidas. Junto a la serie A también existen otras cuatro plantillas B, C, D y E y cada una de ellas contiene una numeración de varios tamaños: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Las medidas DIN A parten de un formato referente que es el A0. El resto de formatos y series se calculan siempre a partir de éste.

En la serie A, al tamaño de papel de 1 m² se le llama A0. Las divisiones posteriores que disminuyen la superficie a la mitad, reciben el nombre de A1, A2, A3, A4, etc. Lo que en realidad está indicando la numeración asociada a la letra A es la cantidad de cortes a la mitad desde la hoja original. Así por ejemplo, una hoja tamaño A4 tiene una superficie igual a la mitad de una hoja medida A3.

Cuando se corta por la mitad una hoja en tamaño A0 (1 m²), el lado más corto se convierte en la parte más larga de la hoja resultante (A1). Por tanto, si cortamos cualquier hoja de la serie a la mitad de su lado más largo, obtendremos siempre dos hojas del tamaño siguiente, que al mismo tiempo mantienen perfectamente las proporciones entre el ancho y el largo, siendo la razón de proporcionalidad igual a la raíz cuadrada de 2. Es decir, para cualquier formato DIN A, si dividimos el largo entre el ancho, nos dará (aproximadamente) 1,4142.

Puedes hacer la prueba: Mide el ancho y largo de una hoja tamaño DIN A4 y verás que se cumple la proporción; dóblala por el lado más largo y pártela por la mitad, mide el ancho y el largo de una de las mitades, divide las dos cifras y verás que se sigue cumpliendo: 1,4142.

Veamos la demostración:

wikipedia.es

Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:

$\cfrac{b}{a} = \cfrac{2a}{b}$

Esto es:

$\cfrac{b^2}{a^2} = 2 \rightarrow \quad \left ( {\cfrac{b}{a}} \right ) ^2 = 2 \rightarrow \quad \cfrac{b}{a} =\sqrt{2} \rightarrow \quad b = \sqrt{2} \cdot a$

Si la proporción entre el lado mayor y menor es raíz de dos, cortando un formato en dos iguales esta proporción se conserva.

Si el formato A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, tendremos:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1m^2 \\ \\ b = \sqrt{2} \cdot a \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad a \cdot (\sqrt{2} \cdot a) = 1m^2 \rightarrow \quad \sqrt{2} \cdot a^2 = 1m^2 \rightarrow$

$a^2 = \cfrac{1m^2}{\sqrt{2}} \rightarrow \quad a = \sqrt{\cfrac{1m^2}{\sqrt{2}}} = \cfrac{1m}{\sqrt[4]{2}} = \cfrac{1}{1,189} \; m = 0,841 \; m$

Sabiendo el valor de a el cálculo de b es inmediato:

$\left . \begin{matrix} a \cdot b = 1 m^2 \\ \\ a = 0,841 m \end{matrix} \right \} \rightarrow \quad (0,841 m) \cdot b = 1 m^2 \rightarrow \quad b = \cfrac{1 m^2}{0,841 m} = 1,189 m$

Lo que podemos resumir como regla mnemotécnica que el formato DIN A0, tiene por medidas:

$DIN \; A0 \quad \left \{ \begin{matrix} ancho = \cfrac{1}{\sqrt[4]{2}} \; m \\ \\ largo = \sqrt[4]{2} \; m \end{matrix} \right .$

Dividiendo el lado mayor entre dos, obtendremos sucesivamente los distintos formatos A1, A2, A3, A4 ...

Exraido de: blog.imprentaonline24.es y wikipedia.es

Surge, por tanto, la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales, añadiendole estos nuevos números que llamaremos irracionales

Los números irracionales

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra $\mathbb{I}$ .

Advertencia: [Mostrar]

Ejemplos: [Mostrar]

Números irracionales [Mostrar]

Números irracionales famosos

El número áureo, Phi:

El número áureo ( $\phi\;$ ) [Mostrar]

Phi, el número de oro Descripción: [Mostrar]

Para más información ver: El número áureo

El número Pi:

El número Pi ( $\pi\;$ ) [Mostrar]

El número e:

El número e [Mostrar]

El conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales es el formado por los números racionales y los irracionales y se designa por $\mathbb{R}$ .

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

$\mbox{Reales } (\mathbb{R}) \begin{cases} \mbox{Racionales }(\mathbb{Q}) \begin{cases} \mbox{Enteros } (\mathbb{Z}) \begin{cases} \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\ \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9} \end{cases}\\ \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2} \end{cases}\\ \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2} \end{cases}$

Sin embargo, sigue habiendo ecuaciones, algunas tan sencillas como

$x^2+1=0\;$

que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Esto se solucionará por medio de un nuevo conjunto numérico, el de los números complejos.

La recta real

(pág. 28)

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales.

Para su construcción:

Se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen y al que se le asocia el número 0.
Se selecciona una unidad U de longitud para medir distancias que es la que separa los números 0 y 1.
Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto.
A cada número real p se le asocia un punto de la recta que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva o negativa, dependiendo de si el número p es positivo o negativo, respectivamente.

Densidad de los números racionales

Los números racionales, al situarlos sobre la recta real, la ocupan densamente. Esto quiere decir que:

Entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
Si tomamos un punto cualquiera de la recta numérica, hay infinitos números racionales tan cerca de él como queramos.

No obstante, en la recta real hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de esos puntos le corresponde un número irracional.

Completitud de los números reales

Gracias al axioma del supremo o axioma de completitud, el conjunto de los números reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales de manera que a cada punto de la recta le hace corresponder un único número real y viceversa.

Representación gráfica de números reales en la recta real

En los siguientes ejemplos puedes ver distintos procedimientos de representación, dependiendo de cómo sea el número real que queramos representar:

Ejemplos [Mostrar]

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

Representación gráfica de números irracionales [Mostrar]

Construcción del número de oro Descripción: [Mostrar]

Construcción de la sección áurea de un segmento y del rectángulo áureo. (5'15") Sinopsis:[Mostrar]

Videotutoriales

Los números reales (16´23") Sinopsis: [Mostrar]

La facultad de abstracción. Historia del cero (2'42") Sinopsis: [Mostrar]

Prohibido dividir por cero (5'58") Sinopsis: [Mostrar]

La recta real ampliada (8'14") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicios

(pág. 28)

Actividad: Números reales

a) Representa los números $0,\ 1,\ 5,\ \phi,\ \pi$ en la recta numérica.

b) ¿Es -5 un número entero?

c) ¿Es 5/3 un número racional?

d) ¿Es pi un numero irracional?

e) ¿Cual es el valor del número de oro?

f) Resuelve la ecuación $x^2-x-1=0\;$

g) ¿Recuerdas cómo se escribe 75 en números romanos?

Solución:[Mostrar]

Ejercicios propuestos: Números reales

1. Obtén el valor del número áureo $\phi \,$ teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones $\phi :1 \,$ es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado de lado 1. (Ver fig.1)

Fig.1

2. Sitúa los siguientes números en el diagrama (Ver fig.2):

$\sqrt{3}, \, 5, \, -2, \, 4.5, \, 7.\widehat{3}, \, -\sqrt[3]{6}, \, \sqrt{64}, \, \sqrt[3]{-27}, \, \sqrt{-8}$

Fig.2

Intervalos y semirectas

(pág. 29)

Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura que debes conocer:

NOMBRE	SIMBOLO	SIGNIFICADO
Intervalo abierto	$(a, b)\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x<b \right \}$ Números comprendidos entre a y b.
Intervalo cerrado	$[a, b]\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \le b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.
Intervalo semiabierto	$(a, b]\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a<x \le b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, b incluido.
Intervalo semiabierto	$[a, b)\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x<b \right \}$ Números comprendidos entre a y b, a incluido.
Semirecta	$( - \infty , a)\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x<a \right \}$ Números menores que a.
	$( - \infty , a]\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le a \right \}$ Números menores o iguales que a.
	$( a, + \infty )\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a < x \right \}$ Números mayores que a.
	$[ a, + \infty )\,\!$	$\left \{ x \in \mathbb{R} \ / a \le x \right \}$ Números mayores o iguales que a.

La recta real se representa en forma de intervalo: $\mathbb{R}=( - \infty, + \infty )$

Ejercicios resueltos: Intervalos y semirectas

1. Representar los siguientes conjuntos numéricos:

a) Números mayores que 3.

b) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / 2 \le x<5 \right \}$

c) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / 3 \le x \le 7 \right \}$

d) Números menores que 1 excluyendo el 0.

e) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / x^2 \ge 4 \right \} = \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \le 2 \right \} \cup \left \{ x \in \mathbb{R} \ / x \ge 2 \right \}$

Solución:[Mostrar]

Videotutoriales

Intervalos de la recta real (7'06") Sinopsis: [Mostrar]

Entorno de un punto (11'24") Sinopsis: [Mostrar]

Ejercicios

(pág. 29)

Actividad: Intervalos

a) Representa $[-3,+\infty) \;$

b) Representa $0<x<=5 \;$

c) Representa $(-\infty,7],\ [-8,9),\ [-4,7] \;$

Solución:[Mostrar]

Ejercicios propuestos: Intervalos y semirectas

3. Representa los siguientes conjuntos:

a) $\left ( -3, -1 \right )$

b) $\left [ 4, +\infty \right )$

c) $\left ( 3, 9 \right ]$

d) $\left ( -\infty, 0 \right )$

4. Representa los siguientes conjuntos:

a) $\left \{ x \in \mathbb{R} \ / -2 \le x<5 \right \}$

b) $\left [ -2, 5 \right ) \cup \left ( 5, 7 \right ]$

c) $\left (-\infty , 0 \right ) \cup \left (3, +\infty \right )$

d) $\left (-\infty , 1 \right ) \cup \left (1, +\infty \right )$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_reales_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 :a) Representa <math>[-3,+\infty) \;</math>
 :b) Representa <math>0<x<=5 \;</math>
-:c) Representa <math>(-\infty,7],\[-8,9),\[-4,7] \;</math>
+:c) Representa <math>(-\infty,7],\ [-8,9),\ [-4,7] \;</math>
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