Cociente de polinomios (3ºESO Académicas)
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Tabla de contenidos |
(Pág. 90)
Cociente de monomios
Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.
|
División de polinomios
La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.
Dados dos polinomios (dividendo) y
(divisor) de modo que el grado de
sea mayor o igual que el grado de
y el grado de
sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios
(cociente) y
(resto) tales que:
![P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,](/wikipedia/images/math/6/8/9/689dcf57aa582c4c9fef3e2a18340ef6.png)
que también podemos representar como:
- El grado de
es igual a la diferencia entre los grados de
y
, mientras que el grado de
será, como máximo, un grado menor que
.
- Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
División de polinomios. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Siendo P(x) un polinomio de grado no inferior al polinomio Q(x), nos planteamos determinar los polinomios C(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).C(x) + R(x). De C(x) se dice "cociente" de la "división" entre P(x) y Q(x); de R(x) se dice "resto". Si R(x) = 0, la división se dice "exacta"; en tal caso, también se dice que P(x) es "divisible" por Q(x), o que P(x) es "múltiplo" de Q(x), o que Q(x) "divide" a P(x), o que Q(x) es "divisor" de P(x).
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Cómo se hace la división de polinomios
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
División de polinomios
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Calcula:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Calcula:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios entre binomios:
- 1a)
- 1b)
- 1c)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios:
- 2a)
- 2b)
- 2c)
- 2d)
- 2e)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios:
- 3a)
- 3b)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios:
- 3c)
- 3d)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios:
- 4a)
- 4b)
- 4c)
- 4d)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios:
- 5a)
- 5b)
- 5c)
- 5d)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios:
- 6a)
- 6b)
- 6c)
- 6d)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Indica qué divisiones de polinomios son exactas:
- 7a)
- 7b)
- 7c)
- 7d)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios:
- 8a)
- 8b)
- 9a)
- 9b)
- 9c)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios:
- 9d)
- 9e)
- 9f)
- 9g)
- 9h)
- 9i)
- 9j)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Divide los siguientes polinomios:
- a)
- b)
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
Método de Horner para la división de polinomios
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Halla el resto de la división:
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Halla el resto de la división
sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre división de polinomios.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Siendo P(x) un polinomio de grado no inferior al polinomio Q(x), nos planteamos determinar los polinomios C(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).C(x) + R(x). De C(x) se dice "cociente" de la "división" entre P(x) y Q(x); de R(x) se dice "resto". Si R(x) = 0, la división se dice "exacta"; en tal caso, también se dice que P(x) es "divisible" por Q(x), o que P(x) es "múltiplo" de Q(x), o que Q(x) "divide" a P(x), o que Q(x) es "divisor" de P(x).
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial.
División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma .
Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,
Procedimiento:
Vamos a dividir el polinomio
entre el binomio
para obtener el cociente
y el resto .
1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de y los escribimos ordenados. Entonces escribimos
en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
![\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & & & & & \\ ~~ \, | & & & & & \end{matrix}](/wikipedia/images/math/4/7/4/47462740583403230a0e1e88c2abdf0e.png)
2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, , justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes
:
![\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}](/wikipedia/images/math/a/7/e/a7ee2576f56ace09812517975cc74b64.png)
3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
![\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & b_{n-1} \ r & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}](/wikipedia/images/math/9/b/f/9bf7b6253e8bb399d772e36e753196f0.png)
4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
![\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & & & \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{matrix}](/wikipedia/images/math/8/3/b/83b07a1a9eb7dee5a7038facf7f9c92f.png)
5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
![\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0 \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \end{matrix}](/wikipedia/images/math/f/b/e/fbef521cb869270e4a5d3d5251089ec0.png)
![b_i\;](/wikipedia/images/math/0/3/8/038ca0ea677b0b6a3c1ec05651cfb5d2.png)
![C(x)\;](/wikipedia/images/math/5/6/7/56709efb72d3f5f8ffb184fc48cea393.png)
![P(x)\;](/wikipedia/images/math/8/0/4/804ba5281f3122b0b444b2b61967a9f5.png)
![s\;](/wikipedia/images/math/0/a/9/0a9faac9096f735c3f42c9c14414aaac.png)
Ejemplo: Regla de Ruffini
Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:
| 7 -5 -4 6 -1 | 2| 14 18 28 68 --|------------------- | 7 9 14 34 |67 |____ El resultado significa que:
|
|
![](/wikipedia/images/thumb/2/27/Tutomate.jpg/22px-Tutomate.jpg)
Regla de Ruffini. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/c/c0/Clasematicas.jpg/22px-Clasematicas.jpg)
Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Cómo se aplica la Regla de Ruffini.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
División de polinomios por el método de Ruffini para divisores del tipo (x-a).
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.
![](/wikipedia/images/thumb/5/5b/Abelesteban.jpg/22px-Abelesteban.jpg)
2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Divide entre
.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
a) Divide entre
b) Divide entre
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 1a)
- 1b)
- 1c)
- 1d)
- 1e)
- 1f)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 1g)
- 1h)
- 1i)
- 1j)
- 1k)
- 1l)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 2a)
- 2b)
- 2c)
- 2d)
- 2e)
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 2f)
- 2g)
- 2h)
- 2i)
- 2j)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e2/Pildoras.jpg/22px-Pildoras.jpg)
Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- a)
- b)
- c)
![](/wikipedia/images/thumb/b/be/Vitutor.jpg/22px-Vitutor.jpg)
Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial
Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini
Teorema
Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.
Demostración:
En efecto, sea una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros
![P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0](/wikipedia/images/math/1/b/a/1ba2d0c09123aa8c1256a18ea645c37f.png)
Entonces, como , tendremos que
![P(a)=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a+a_0=0](/wikipedia/images/math/2/a/c/2acf09298d7148dfa8f1fd8b6375b42b.png)
de donde, despejando el termino independiente
![-a_0=a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_1a](/wikipedia/images/math/a/6/f/a6fa1f1681fce9d8125676dd5c4b2ccd.png)
![a\;](/wikipedia/images/math/e/7/8/e780d261259a4c13b4267da3aef4b78d.png)
![a\;](/wikipedia/images/math/e/7/8/e780d261259a4c13b4267da3aef4b78d.png)
![a_0\;](/wikipedia/images/math/4/b/8/4b82eb1c14328055dd774d4c60d94830.png)
![a\;](/wikipedia/images/math/e/7/8/e780d261259a4c13b4267da3aef4b78d.png)
Procedimiento para factorizar polinomios por Ruffini
Para factorizar un polinomio P(x) mediante la regla de Ruffini, seguiremos los siguientes pasos:
- Por el teorema anterior, los candidatos a raíces del polinomio P(x) son los divisores (positivos y negativos) del término independiente.
- Para cada candidato a raíz, "a", efectuaremos la división de P(x) entre (x-a), mediante la regla de Ruffini.
- Si el resto es cero, "a" será una raíz de P(x). Si no, seguiremos probando con el siguiente candidato.
- Si "a" resulta ser una raíz, entonces tendremos una primera factorización: P(x)=(x-a)· Q(x), donde Q(x) tiene un grado menos que P(x).
- Seguiremos probando con los candidatos (incluido el último que resultó ser raíz) para factorizar Q(x) por Ruffini.
- El proceso para cuando no quedan candidatos o Q(x) tiene grado 1.
Ejemplo: Regla de Ruffini
Factoriza el siguiente polinomio:
- Los candidatos a raíces son los divisores (positivos y negativos) del término independiente. Como el término independiente es 6, los candidatos son: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6.
Empezaremos probando con el 1:
| 1 -4 1 6 | 1| 1 -3 -2 --|--------------- | 1 -3 -2 |4 |____
Como el resto es distinto de cero, el 1 no es raíz. Pasamos probar con -1:
| 1 -4 1 6 | -1| -1 5 -6 --|--------------- | 1 -5 6 |0 |____
Como el resto es cero, -1 es raíz y es un factor:
Seguimos aplicando Ruffini para factorizar el polinomio de grado 2. Probamos con -1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz, pero resulta que no lo es. Probamos con el siguiente, 2:
| 1 -5 6 | 2| 2 -6 --|------------- | 1 -3 |0 |____
Como el resto es cero, 2 es raíz y es un factor:
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Cociente de polinomios |