Lugares geométricos (3ºESO Académicas)

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Revisión de 18:29 18 nov 2016

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Tabla de contenidos

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1 Lugar geométrico
2 Mediatriz de un segmento
3 Bisectriz del ángulo entre dos rectas
4 Circunferencia
5 Arco capaz
6 Ejercicios propuestos

(Pág. 191)

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Lugar geométrico

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

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Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Así, dado el segmento $\overline{AB}$ , su mediatriz está formada por los puntos $P\,$ del siguiente conjunto:

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

Mediatriz de un segmento Descripción: [Mostrar]

Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.

Propiedad

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Demostración:[Mostrar]

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Bisectriz del ángulo entre dos rectas

La bisectriz de un ángulo que forman las rectas es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus lados.

Así, la bisectriz del ángulo que forman dos rectas, $r\,$ y $s\,$ , está formada por los puntos $P\,$ del siguiente conjunto:

$\big \{P(x,y) \ / \ d(P,r)=d(P,s)\big \}$

Por como se ha definido la bisectriz, ésta divide al ángulo que forman las rectas en dos ángulos iguales. Además, como dos rectas determinan dos parejas de ángulos iguales, todo par de rectas determinan dos bisectrices.

Bisectriz del ángulo entre dos rectas Descripción: [Mostrar]

Propiedad

Las bisectrices del ángulo entre dos rectas son un par de rectas perpendiculares.

Fig. 2: Las dos rectas de color rojo son las bisectrices de los ángulos que forman rectas r y s. Fíjate como forman un ángulo recto.

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Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , del plano, cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,O)=r \big \}$

Trazado de la circunferencia Descripción: [Mostrar]

Circunferencia de centro O y radio r.

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Arco capaz

Observa los ángulos de la imagen de la derecha. Todos ellos son ángulos inscritos que abarcan un mismo arco de circunferencia. En consecuencia, sabemos que todos ellos son iguales.

Esto nos permite dar la siguiente definición:

El arco capaz de un ángulo $\alpha\,$ para un segmento $\overline{AB}$ es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales "se ve" el segmento $\overline{AB}$ bajo un mismo ángulo $\alpha\;$ .