Expresiones algebraicas (1º ESO)

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Revisión de 10:06 7 feb 2017

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Tabla de contenidos

1 Expresiones algebraicas
- 1.1 Valor numérico de una expresión algebraica
2 Monomios
3 Polinomios
4 Operaciones con monomios y polinomios
- 4.1 Suma y resta de monomios y polinomios
5 Ejercicios propuestos
6 Ejercicios propuestos

(Pág. 172)

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por las operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, ...), que respeta las reglas del lenguaje algebraico.
Las letras, que suelen representar cantidades desconocidas, no tienen un valor fijo y se denominan variables. Los números se denominan constantes porque tienen un valor fijo.

Observación:

Se puede usar cualquier letra del alfabeto para expresar una variable, excepto la " $e$ " y la " $i$ ", porque están reservadas para unos números especiales. Las letras más habituales son x, y, z, a, b, c, ...
Las reglas que se mencionan en la definición son las mismas que ya teníamos en cuenta al trabajar únicamente con números y alguna otra que aparecerá más adelante. Entre ellas tenemos:

Dos símbolos de operación no pueden aparecer juntos sin estar separados por otro elemento (paréntesis, corchetes, raya de fracción...)
Cuando realizamos una operación combinada en varias etapas, cada una de ellas tiene que estar precedida del símbolo =, y los elementos que no se operan deben repetirse en la misma posición o en una equivalente, siempre respetando las propiedades de las operaciones.
Si el símbolo = está seguido por una raya de fracción, ésta debe aparecer a una altura intermedia entre las dos rayas del igual.
El número 1 puede omitirse cuando está multiplicando a otro número o cuando actúa como exponente.
El símbolo de la multiplicación puede omitirse cuando a continuación del mismo aparecen unos paréntesis, o cuando se indica el producto de dos variables (letras).
...

Ejemplos:

Son expresiones algebraicas: $3x^2+1 \ ; \ \cfrac{x}{3}-xy^2 \ ; \ \sqrt{3-x} \ ; \ \cfrac{1}{x} +y$

Expresiones algebraicas

Tutorial 1 (5'12") Sinopsis:

Expresiones algebraicas: definición y ejemplos.

Tutorial 2 (5'08") Sinopsis:

Expresiones algebraicas. Tipos de expresiones algebraicas: enteras y fraccionarias.

Ejercicio (3'38") Sinopsis:

Indica si las siguientes expresiones algebraicas son enteras o fraccionarias:

44) $\cfrac{2x+y}{x}\;$ ; 45) $3x+y\;$ ; 46) $5x^2+2\;$

47) $6x^3-1\;$ ; 48) $\cfrac{4x-1}{3}\;$ ; 49) $\cfrac{2x-3}{x}\;$

50) $\cfrac{1}{3} x-\cfrac{1}{3} y\;$

Expresiones algebraicas

¿Qués son las expresiones algebraicas? Descripción:

Ejemplos de expresiones algebraicas.

Encuentra la expresión algebraica adecuada (I) Descripción:

Actividad en la que deberás encontrar la expresión algebraica adecuada para cada situación.

Encuentra la expresión algebraica adecuada (II) Descripción:

Actividad en la que deberás encontrar la expresión algebraica adecuada para cada situación.

Valor numérico de una expresión algebraica

El lenguaje algebraico sirve para pasar de casos particulares a casos generales, sin embargo, en muchas ocasiones haremos el proceso inverso, pasaremos de una expresión general a un valor concreto.

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras (variables) por números y se realizan las operaciones correspondientes, se obtiene un número al que llamaremos el valor númerico de la expresión algebraica para los valores de las letras asignados.

Valor numérico de (3x+2y)/z para x=2, y=-1 y z=4.

Ejemplo: Valor numérico de una expresión algebraica

Halla el valor numérico:

a) $3x^5+2x\;\!$ para $x=2\;\!$

b) $2xy-3y^2+5\;$ para $x=1\;$ e $y=2\;$ .

Solución:

a) El valor numérico es: $3 \cdot 2^5+2 \cdot 2=100$

b) El valor numérico es: $2 \cdot 1 \cdot 2 -3 \cdot 2^2 + 5=-3$

Valor numérico de una expresión algebraica

Tutorial 1 (19'18") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas de una o más variables, así como las tablas de valores.

Tutorial 2 (4'02") Sinopsis:

En este video vamos a ver lo que es el valor numérico de una expresión algebraica y cómo se calcula.

Ejercicio 1 (1'52") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $4x+2\;$ para $x=\cfrac{1}{3}\;$ .

Ejercicio 2 (1'15") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $\cfrac{x}{2}+4\;$ para $x=-2\;$ .

Ejercicio 3 (1'15") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $3x+6\;$ para $x=-1\;$ .

Ejercicio 4 (1'32") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $\cfrac{9-2n}{2}\;$ para $n=3\;$ .

Ejercicio 5 (2'03") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $\cfrac{2n^2}{6n}\;$ para $n=5\;$ .

Ejercicio 6 (1'22") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $23n+8n\;$ para $n=3\;$ .

Ejercicio 7 (1'11") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $-5x+1\;$ para $x=-7\;$ .

Ejercicio 8 (8'11") Sinopsis:

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores indicados de las variables:

51) $3x-5 \ para \ x=2\;$

52) $5x-8 \ para \ x=-1\;$

53) $4x+3 \ para \ x=6\;$

54) $x^2+1 \ para \ x=-1\;$

55) $x^3-1 \ para \ x=1\;$

56) $5x-2 \ para \ x=-4\;$

57) $\cfrac{2x+3}{x} \ para \ x=2\;$

58) $\cfrac{x^2-1}{x+1} \ para \ x=-2\;$

59) $\cfrac{2x+3}{x-2} \ para \ x=3\;$

Ejercicio 9 (2'03") Sinopsis:

Un hospital local está realizando una rifa para recolectar fondos. El coste individual para participar en la rifa está dado por la expresión $5t + 3\;$ , donde $t\;$ representa el número de boletos que la persona adquiere. Evalúa la expresión para $t = 1\;$ , $t = 8\;$ y $t = 10\;$ .

Ejercicio 10 (2'46") Sinopsis:

a) Evalúa la expresión $a + b\;$ para $a = 7\;$ y $b = 2\;$ .

b) Evalúa la expresión $xy-y+3x\;$ para $x = 3\;$ e $y = 2\;$ .

Ejercicio 11 (4'05") Sinopsis:

a) Evalúa la expresión $7j + 5 - 8k\;$ para $j = 0.5\;$ y $k = 0.25\;$ .

b) Evalúa la expresión $0.1m + 8 - 12n\;$ para $m = 30\;$ y $n = \cfrac{1}{4}\;$ .

Ejercicio 12 (6'36") Sinopsis:

a) ¿Qué le ocurre a la expresión $100-x\;$ cuando la variable $x\;$ va disminuyendo?

b) ¿Qué le ocurre a la expresión $\cfrac{5}{x}+5\;$ cuando la variable $x\;$ va disminuyendo, pero manteniéndose positiva?

Ejercicio 13 (1'17") Sinopsis:

Expresa 25º Celsius (C) como una temperatura en grados Fahrenheit (F), usando la fórmula:

$F=\cfrac{9}{5}\,C+32\;$

Ejercicio 14 (3'26") Sinopsis:

El área de la superficie de un cubo es igual a la suma de las áreas de sus 6 caras. En consecuencia, vendrá dada por la fórmula $A=6x^2\;$ , siendo $x\;$ el valor de la arista del cubo.

Julia tiene dos recipientes de forma cúbica que quiere pintar. Uno tiene arista 2 y otro 1.5. Calcula el área total que quiere pintar.

Ejercicio 15 (2'44") Sinopsis:

Evalúa la expresión $5y^4-y^2\;$ cuando $y=3\;$ .

Valor numérico de una expresión algebraica

Actividad 1a Descripción:

Actividades en la que aprenderás y practicarás el cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.

Actividad 1b Descripción:

Actividades en la que aprenderás y practicarás el cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.

Actividad 2a Descripción:

Evaluar expresiones con una sola variable.

Actividad 2b Descripción:

Evaluar expresiones con dos variables.

Actividad 2c Descripción:

Evaluar expresiones con dos variables: fracciones y decimales.

Actividad 2d Descripción:

Intuición sobre el valor de una expresión.

Actividad 2e Descripción:

Intuición sobre el valor de una expresión.

Actividad 2f Descripción:

Evaluar expresiones con variables: problemas verbales.

Autoevaluación 1a Descripción:

Evaluar expresiones con una sola variable.

Autoevaluación 1b Descripción:

Evaluar expresiones con múltiples variables.

Autoevaluación 1c Descripción:

Evaluar expresiones con múltiples variables: fracciones y decimales.

Autoevaluación 1d Descripción:

Intuición sobre el valor de una expresión.

Autoevaluación 1e Descripción:

Evaluar expresiones con variables: problemas verbales.

Autoevaluación 1f Descripción:

Evaluar expresiones con potencias.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre el valor numérico de una expresión algebraica.

Valor numérico de una expresión algebraica

Actividad: Valor numérico de una expresión algebraica

Calcula el valor numérico del polinomio $x^3-xy-3\;\!$ en los casos:

a) $x=2 \, , \ y=0\;\!$

b) $x=-1 \, , \ y=1\;\!$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) x^3-xy-3 where x=2, y=0

b) x^3-xy-3 where x=-1, y=1

Monomios

Monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras elevadas a potencias de exponente natural.
Se llama coeficiente de un monomio al número que aparece multiplicando a las letras. Normalmente se coloca al principio. Si el coeficiente es un 1 no suele escribirse. Si el coeficiente es 0, el monomio resultante es el número 0, llamado monomio nulo.
A la parte con las letras se le llama parte literal y cada letra recibe el nombre de variable o indeterminada.
Si el monomio es igual a un número, por no tener parte literal, recibe el nombre de monomio constante.
Se denomina grado de un monomio con coeficiente no nulo a la suma de los exponentes de las letras. Si no hay letras (monomios constantes) el grado es cero.

Elementos y grado de un monomio

Notación:

Para nombrar un monomio usaremos una letra mayúscula (lo normal es usar las letras: P, Q, R, S, ...) seguida de las variables que forman parte del monomio, entre paréntesis.

Por ejemplo:

$P(x)=-3x^2\;$
$Q(x,y)=\cfrac{1}{3}\,x^2y\;$

Ejemplos:

a) $P(a,x)=3ax \;\!$ es un monomio de grado 2 y coeficiente 3.

b) $Q(x,y)=xy^2 \;\!$ es un monomio de grado 3 y coeficiente 1.

c) $R(x)=-5 \;\!$ es un monomio de grado 0 y coeficiente -5.

d) $S(x)=0 \;\!$ es el monomio nulo. Su grado es 0.

e) En la siguiente escena se puede observar el coeficiente y el grado de un monomio. En la parte superior se pueden cambiar los exponentes de las letras a, b, y x. Para cambiar el coeficiente del monomio modifica la casilla de abajo.

Click aquí si no se ve bien la escena

Monomios

Tutorial 1 (2'42") Sinopsis:

Álgebra.
Valor numérico de una expresión algebraica.
Tipos de expresiones algebraicas.
Monomios.
Partes y grado de un monomio.

Tutorial 2 (6'59") Sinopsis:

Monomios: Expresión general, coeficiente, parte literal y grado.

Tutorial 3: Grado de un monomio (3'48") Sinopsis:

Aprende a calcular el grado relativo y absoluto de un monomio.

Nota: Al "grado absoluto" de un monomio se le llama simplemente "grado" del monomio.

Ejercicio 1 (3'10") Sinopsis:

Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios: $-3ab,~ 2x^2y^3,~ 5x,~ -6x^4\;$

Ejercicio 2 (14'34") Sinopsis:

1) Indica cuáles de estas expresiones son monomios:

a) $2x+5y\;$ ; b) $4x+3\;$ ; c) $2y\;$ ; d) $-\cfrac{2}{3} x^2\;$ ;

e) $-20\;$ ; f) $0\;$ ; g) $\cfrac{7}{5}x^5+3x+2\;$

2) Escribe cinco expresiones que sean monomios.

3) Escribe el coeficiente y el grado de cada monomio:

a) $5x^2\;$ ; b) $\cfrac{1}{2} x\;$ ; c) $-13x^{10}\;$ ; d) $\cfrac{12}{3}\;$ ; e) $x^7\;$

4) Escribe un monomio de coeficiente -2, otro de coeficiente 7 y otro de coeficiente 1/2.

5) Escribe un monomio de grado 2, otro de grado 1, otro de grado 0 y otro de grado 10.

6) Escribe un monomio de coeficiente -2 y grado 3.

7) Escribe un monomio tal que su coeficiente y su grado sean iguales.

8) Escribe un monomio que no tenga grado y otro que tenga grado cero.

9) Haz una tabla en la que se recojan el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios:

a) $4x^2\;$ ; b) $-5\;$ ; c) $\cfrac{2}{3} x^4\;$ ; d) $17y^4\;$ ; e) $x^2\;$

Grado y elementos de un monomio Descripción:

Actividades en la que aprenderás y practicarás a hallar los elementos y el grado de un monomio.

Autoevaluación: Grado y elementos de un monomio Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el grado y los elementos de un monomio.

Grado de un monomio

Actividad: Grado de un monomio

Indica el grado y el coeficiente de los siguientes monomios:

a) $3a^2b^3c\!$

b) $-5xy^2z\!$

c) $\cfrac{2}{3}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) degree 3a^2b^3c´

b) degree -5xy^2z

b) degree 2/3

Monomios semejantes

Son monomios semejantes aquellos que tienen la misma parte literal, es decir, aquellos en los que intervienen las mismas variables con los mismos exponentes.

Ejemplos:

Son monomios semejantes: $2ax^4y^3 \, ; \; -3ay^3x^4 \, ; \; x^4y^3a \, ; \; 5x^4ay^3$

Las letras pueden aparecer en distinto orden ya que por la propiedad conmutativa las podemos reordenar.

Monomios: elementos, grado, semejanza y opuestos. Descripción:

Actividades en la que aprenderás y practicarás a hallar los elementos y el grado de un monomio. También practicaras con monomios semejantes y opuestos.

Monomios semejantes

Tutorial 1 (2'00") Sinopsis:

Aprende a distiguir cuando dos monomios son o no semejantes.

Tutorial 2 (4'45") Sinopsis:

Aprende a distiguir cuando dos monomios son o no semejantes.

Tutorial 3 (5'11") Sinopsis:

Aprende a distiguir cuando dos monomios son o no semejantes.

Tutorial 4 (2'40") Sinopsis:

Monomios semejantes. Ejemplos.

Tutorial 5 (2'40") Sinopsis:

Valor numérico de un monomio. Monomios constantes, monomios nulos y monomios semejantes. Ejemplos.

Ejercicio 1 (1'38") Sinopsis:

Encuentra los términos semejantes.

Ejercicio 2 (8'21") Sinopsis:

10) Indica cuáles de los siguientes monomios son semejantes:

$-2x^3 \ ; \ \ 5x^4 \ ; \ \ 3x^2 \ ; \ \ \cfrac{2}{7}x \ ; \ \ 7x \ ; \ \ -3x \ ; \ \ x^4 \cfrac{4}{5}x^2 \ ; \ \ -\cfrac{2}{3}x^3 \ ; \ \ -19x^4\;$

11) Escribe tres monomios semejantes a $2x^2\;$ .

12) Escribe tres monomios semejantes a $-\cfrac{1}{2}x^4\;$ .

13) Escribe tres monomios semejantes a $2\;$ .

14) Escribe tres monomios semejantes a $x^0\;$ .

15) Escribe cinco monomios constantes.

16) Escribe cinco monomios nulos.

Monomios opuestos

Dos monomios se dicen opuestos si son semejantes y tienen coeficientes opuestos.

Ejemplo:

Son monomios opuestos: $2ax^4y^3\,$ y $-2ax^4y^3\,$

Ejercicio (6'39") Sinopsis:

Calcula el opuesto de los siguientes monomios y luego súmalos:

33) $-2x^3\;$ ; 34) $4x^2\;$ ; 35) $\cfrac{1}{3}y^2\;$ ; 36) $-\cfrac{5}{3}y^5\;$

Valor numérico de un monomio

El valor numérico de un monomio es el número que se obtiene al sustituir las letras por ciertos números.

Con la notación que utilizamos para nombrar los monomios y que hemos visto anteriormente, resulta más sencillo hacer referencia al valor numérico de un monomio. El nombre que escogemos está acompañado de las variables del monomio, así que si queremos referirnos a un valor numérico en concreto no tenemos más que escribir el nombre del monomio cambiando las variables por el valor que corresponda. Fíjate cómo se hace en los siguientes ejemplos:

Ejemplos:

Halla el valor numérico de los siguientes monomios:

a) $P(x)=-2x^2 \;\!$ para x = 2.