Expresiones algebraicas (1º ESO)

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Tabla de contenidos

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Expresiones algebraicas

  • Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por las operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, ...), que respeta las reglas del lenguaje algebraico.
  • Las letras, que suelen representar cantidades desconocidas, no tienen un valor fijo y se denominan variables. Los números se denominan constantes porque tienen un valor fijo.


Tipos de expresiones algebraicas

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas. Nosotros nos vamos a centrar, de manera especial, en unas que llamaremos monomios y polinomios.

Una expresión algebraica, en la que en cada sumando, las variables sólo aparezcan multiplicadas entre sí con exponentes naturales, se llamará:

  • Monomio, si sólo tiene 1 sumando.
  • Polinomio, si tiene varios sumandos. Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...



Valor numérico de una expresión algebraica

El lenguaje algebraico sirve para pasar de casos particulares a casos generales, sin embargo, en muchas ocasiones haremos el proceso inverso, pasaremos de una expresión general a un valor concreto.

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras (variables) por números y se realizan las operaciones correspondientes, se obtiene un número al que llamaremos el valor númerico de la expresión algebraica para los valores de las letras asignados.

Valor numérico de (3x+2y)/z para x=2, y=-1 y z=4.
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Valor numérico de (3x+2y)/z para x=2, y=-1 y z=4.

ejercicio

Ejemplo: Valor numérico de una expresión algebraica


Halla el valor numérico:

a) 3x^5+2x\;\! para x=2\;\!
b) 2xy-3y^2+5\; para x=1\; e y=2\;.

Monomios

  • Monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras elevadas a potencias de exponente natural.
  • Se llama coeficiente de un monomio al número que aparece multiplicando a las letras. Normalmente se coloca al principio. Si el coeficiente es un 1 no suele escribirse. Si el coeficiente es 0, el monomio resultante es el número 0, llamado monomio nulo.
  • A la parte con las letras se le llama parte literal y cada letra recibe el nombre de variable o indeterminada.
  • Si el monomio es igual a un número, por no tener parte literal, recibe el nombre de monomio constante.
  • Se denomina grado de un monomio con coeficiente no nulo a la suma de los exponentes de las letras. Si no hay letras (monomios constantes) el grado es cero.
Elementos y grado de un monomio
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Elementos y grado de un monomio



Monomios semejantes

Son monomios semejantes aquellos que tienen la misma parte literal, es decir, aquellos en los que intervienen las mismas variables con los mismos exponentes.

Monomios opuestos

Dos monomios se dicen opuestos si son semejantes y tienen coeficientes opuestos.

Valor numérico de un monomio

El valor numérico de un monomio es el número que se obtiene al sustituir las letras por ciertos números.

Con la notación que utilizamos para nombrar los monomios y que hemos visto anteriormente, resulta más sencillo hacer referencia al valor numérico de un monomio. El nombre que escogemos está acompañado de las variables del monomio, así que si queremos referirnos a un valor numérico en concreto no tenemos más que escribir el nombre del monomio cambiando las variables por el valor que corresponda. Fíjate cómo se hace en los siguientes ejemplos:

Polinomios

  • Un polinomio es una expresión algebraica formada por un monomio o por la suma de varios monomios. A cada monomio se le llama término del polinomio. Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres trinomio; si tiene cuatro cuatrinomio etc.
  • Un polinomio se dice que es nulo si todos los monomios que lo componen tienen coeficiente cero.
  • Un polinomio está dado en forma reducida si en su expresión no aparecen monomios semejantes, ni nulos.
  • Se llama grado de un polinomio no nulo, al mayor de los grados de los monomios que lo componen cuando el polinomio se ha puesto en forma reducida. Un polinomio nulo tiene grado cero.
Elementos y grado de un polinomio
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Elementos y grado de un polinomio



Valor numérico y raíces de un polinomio

Si en un polinomio se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor númerico del polinomio para los valores de las letras dados.



Un número se dice que es una raíz de un polinomio si el valor numérico del polinomio para dicho número es cero.

Esto es, x=a\; es una raíz de un polinomio P(x)\; si y solo si P(a)=0\;.

O dicho de otra manera, las raíces de un polinomio P(x)\; son las soluciones de la ecuación P(x)=0\;.

Operaciones con monomios y polinomios

Suma y resta de monomios

ejercicio

Procedimiento


Para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes. La suma o resta es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes.

ejercicio

Ejemplos: Suma y resta de monomios


Calcula:

a) 5x - 2x + x \;\!
b) 5ax^2y - 2ax^2y \;\!

Reducción de polinomios

ejercicio

Procedimiento


Para reducir un polinomio sumaremos o restaremos los monomios semejantes que aparezcan en su expresión. Los monomios resultantes se suelen ordenar de mayor a menor grado.

ejercicio

Ejemplos: Reducción de polinomios


Reduce:

a) 3x - 2 - 5x + 5 \;\!
b) 3x^2 - 2x - x^2 + 5 \;\!

Suma y resta de polinomios

ejercicio

Procedimiento


Para sumar o restar polinomios, sumaremos o restaremos los monomios semejantes de ambos.

ejercicio

Ejemplos: Suma y resta de polinomios


Calcula:

a) (3x^2 - 2x + 5 ) + ( 5x^3 - x^2 + 2x ) \;\!
b) (3x^2 - 2x + 5 ) - ( x^2 + 2x) \;\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Expresiones algebraicas.


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1; 2; 3; 4; 6a,c,e; 7a,c,e; 8a,c,e

5; 6b,d,f; 7b,d,f; 8b,d,f,g,h; 9

Multiplicación de monomios

ejercicio

Procedimiento


Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes de cada monomio y las potencias con la misma base se agrupan y se multiplican.

Recordemos que: para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes.

ejercicio

Ejemplos: Producto de monomios


Calcula:

a) 4x^4y^3 \cdot 3x^2y \;\!
b) 12xy^2 \cdot (-\cfrac{3}{4} \cdot xy) \;\!

Multiplicación de un monomio por un polinomio

ejercicio

Procedimiento


Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la propiedad distributiva, es decir, se multiplica el monomio por cada término del polinomio y se suman los resultados.

ejercicio

Ejemplo: Producto de un monomio por un polinomio


Calcula el producto: (3x^2 - 2x + 5 ) \cdot 2x^2  \;\!

División de monomios

Entenderemos la división entre monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

ejercicio

Ejemplos: División de monomios


Calcula:

a) 4x^4y^3 : 2x^2y \;\!
b) 6x^4y : 2x^3y^2  \;\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones con monomios y polinomios


(Pág. 175)

10a,e,i; 11a,e,f; 12a,d,g,j; 13a,c,e; 15a,c,e; 16a,b,c,d,e; 17a,e,i; 19; 20

10b,c,d,f,g,h; 11b,c,d; 12b,c,e,f,h,i,k,l; 13b,d,f; 14; 15b,d,f; 16f,g,h,i; 17b,c,d,f,g,h; 18; 24

Actividades

Apéndice

Herramientas personales
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