Plantilla:Raíces
De Wikipedia
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Revisión de 14:19 31 dic 2017
Tabla de contenidos[esconder] |
Raíz n-ésima de un número
La raíz n-ésima 
de un número 
es otro número 
tal que 
y que escribimos simbólicamente ![b=\sqrt[n]{a}](/wikipedia/images/math/c/e/0/ce05f9d287d25fe0a5fd8e680bd177f5.png)
.
![\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a](/wikipedia/images/math/f/f/7/ff79017c635440f207b67b250c3660fb.png)
El número 
se llama radicando, el número 
índice y 
la raíz.
![\sqrt[5]{32}=2\;](/wikipedia/images/math/e/f/a/efae07f29bbbaaef03acb5b46afffb59.png)
porque 
.
Propiedades de las raíces
Propiedades
![\sqrt[n]{1}=1](/wikipedia/images/math/f/2/3/f2301fcbef74b110ad8d373f2b32a16b.png)
; ![\sqrt[n]{0}=0](/wikipedia/images/math/8/6/5/865db751c6cb2e12533fccdf8de1e1df.png)
, para cualquier valor del índice .
- Si
, ![\sqrt[n]{a}](/wikipedia/images/math/9/a/2/9a2b6d33f3d62a1e8bd99c76f3cb79f5.png)
existe cualquiera que sea el índice .
- Si
, sólo existe si el índice es impar.
- Si el índice es par y el radicando , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
- Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando .
![\sqrt[3]{1}=1](/wikipedia/images/math/d/5/3/d53d30c7123945d21786c0fb38eeeb18.png)
.
![\sqrt[5]{0}=0](/wikipedia/images/math/e/9/5/e95b8cee4e9e352608032036b0bd68d7.png)
.
![\sqrt[4]{16}=\pm 2](/wikipedia/images/math/3/5/c/35cc75069a6350b569ad8c8f72bf6ae2.png)
porque 
.
![\sqrt[3]{64}=4](/wikipedia/images/math/f/2/4/f2482a82a1ce97518a3bbef09d9575b5.png)
porque 
.
![\sqrt[3]{-8}=-2](/wikipedia/images/math/1/5/4/154ab22db729e6b6490caa36d8669830.png)
porque 
.
![\sqrt[4]{-8}= no \ existe](/wikipedia/images/math/a/2/1/a21d3d89fedd78f5c9a6378b3cf240f3.png)
porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).
![Como \ \ 6^3=216 \rightarrow \sqrt[3]{216}= ...](/wikipedia/images/math/3/c/3/3c378630d2615778e963ac624db86d87.png)
![Como \ \ (-6)^3=-216 \rightarrow \sqrt[3]{-216}= ...](/wikipedia/images/math/6/5/8/6587736293705d54e8f32954028d084c.png)
![Como \ \ 5^3=125 \rightarrow \sqrt[3]{125}= ...](/wikipedia/images/math/b/d/b/bdb68c764c3249b6a9780aa720742319.png)
![Como \ \ (-5)^3=-125 \rightarrow \sqrt[3]{-125}= ...](/wikipedia/images/math/e/7/0/e705216d0789f62aef7ec241081fabeb.png)
![Como \ \ 7^3=343 \rightarrow \sqrt[3]{343}= ...](/wikipedia/images/math/5/f/2/5f298eabe3ed377592f625e71f6488c0.png)
![Como \ \ (-7)^3=-343 \rightarrow \sqrt[3]{-343}= ...](/wikipedia/images/math/c/e/5/ce577674faca3babb2d3dfaac0413e21.png)
![Como \ \ 6^4=216 \ \ y \ \ (-6)^4 =216 \rightarrow \sqrt[4]{216}= ...](/wikipedia/images/math/c/b/4/cb4b33e4c8e211ead755140a2c66bba9.png)
![Como \ \ 2^5=32 \ \ y \ \ (-2)^5 =32 \rightarrow \sqrt[5]{32}= ... \ \ y \ \ \sqrt[5]{-32}= ...](/wikipedia/images/math/c/c/c/ccc2a79c409e95a6ea8eb4d3dd464bae.png)
![Como \ \ 3^6=729 \ \ y \ \ (-3)^6 =729 \rightarrow \sqrt[6]{729}= ...](/wikipedia/images/math/b/5/5/b554d8cc9395627f020eb1f365124e4e.png)
![Como \ \ 2^7=128 \ \ y \ \ (-2)^7 =-128 \rightarrow \sqrt[7]{128}= ... \ \ y \ \ \sqrt[7]{-128}= ...](/wikipedia/images/math/a/d/6/ad64ef0e208078f3159cae14f80cd300.png)
![Como \ \ 3^8=6561 \ \ y \ \ (-3)^8 =6561 \rightarrow \sqrt[8]{6561}= ...](/wikipedia/images/math/7/b/a/7ba166f1a52a30e3ea2be20046fc6f29.png)
![Como \ \ 2^9=512 \ \ y \ \ (-2)^9 =-512 \rightarrow \sqrt[9]{512}= ... \ \ y \ \ \sqrt[9]{-512}= ...](/wikipedia/images/math/3/a/9/3a962574019bdc46ed38d924b83f207c.png)
![Como \ \ 2^{10}=1024 \ \ y \ \ (-2)^{10} =1024 \rightarrow \sqrt[10]{1024}= ...](/wikipedia/images/math/7/e/d/7edae10fccfe7b465c672d8c9c045b91.png)
?
?
![\sqrt[3]{-27}\;](/wikipedia/images/math/7/f/9/7f964050f55904a351871c909842d531.png)
?
![\sqrt[3]{-64}\;](/wikipedia/images/math/1/a/c/1ac847b9288b852f7e2cd46adb661650.png)
?
![\sqrt[4]{-81}\;](/wikipedia/images/math/9/3/8/9380cfbe25a5f6b1f53b0e98557d5cb3.png)
?
![\sqrt[5]{-243}\;](/wikipedia/images/math/0/0/d/00d129c231e444389e6e90b5a1a8e808.png)
?
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
![\sqrt[3]{1}\;](/wikipedia/images/math/a/9/e/a9ed184fd0349444d061cc1d272e67c6.png)
; ![\sqrt[3]{-1}\;](/wikipedia/images/math/9/1/7/917ae3af6a2d50278779cc91cbbdea73.png)
![\sqrt[3]{8}\;](/wikipedia/images/math/1/3/2/132c2f74c8498afa99586eeab29a92a8.png)
; ![\sqrt[3]{-8}\;](/wikipedia/images/math/2/2/3/2232a48fe703bd572c3668d1f57c0066.png)
![\sqrt[3]{27}\;](/wikipedia/images/math/f/f/d/ffdb842d7cefcf30ac4e11b74ccdc8f3.png)
; ![\sqrt[3]{64}\;](/wikipedia/images/math/4/b/d/4bd0c615f84c6543e9f004c6bcfce737.png)
; ![\sqrt[3]{125}\;](/wikipedia/images/math/9/b/0/9b0b656102d06b662a6c1cfa6f46ee4c.png)
; ![\sqrt[3]{-125}\;](/wikipedia/images/math/b/d/6/bd68acb8f905cf5984575d47adbbe028.png)
![\sqrt[4]{1}\;](/wikipedia/images/math/4/2/3/42348ffb6e4d069c36b7529b4c3d61c7.png)
; ![\sqrt[4]{-1}\;](/wikipedia/images/math/3/0/4/3041c7b2e1985e0ce2b4e12419b1adfd.png)
![\sqrt[5]{32}\;](/wikipedia/images/math/5/a/4/5a4316aef4d84ea09023226c0b455ef1.png)
; ![\sqrt[5]{-32}\;](/wikipedia/images/math/e/4/b/e4b2e7ef8b833cd852ca9c1bedfade9b.png)
![\sqrt[6]{729}\;](/wikipedia/images/math/6/4/5/645cad2d63e42973a6e2a66d954d5272.png)
; ![\sqrt[6]{-729}\;](/wikipedia/images/math/c/8/9/c89f55205c50d79be31feca9e8e7fe21.png)
![\sqrt[7]{128}\;](/wikipedia/images/math/e/4/e/e4e24abf54c49df327ec72213ca1b2bd.png)
; ![\sqrt[7]{-128}\;](/wikipedia/images/math/5/7/f/57ff532d80dc61569bbab4448a648df4.png)
![\sqrt[4]{81}\;](/wikipedia/images/math/0/4/d/04d103e445158aa43cb56526c68b98c2.png)
![\sqrt[3]{-8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/b/b/c/bbc65bbad66511345d7cb3ac4f7a001c.png)
![\sqrt[3]{8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/3/e/c/3ec4111d51daf4478bc80d3d1bd1ef0a.png)
![\sqrt[4]{16}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/2/0/8/208788fa3a4920a05007fa9edad8dbc6.png)
![\sqrt[5]{32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/f/5/5/f552d101987249877deb51a2875a57db.png)
![\sqrt[5]{-32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/a/b/9/ab988d19836d333dfc399b9f3fefee8c.png)
![\sqrt[6]{1}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;](/wikipedia/images/math/7/0/6/70646a208681230895b71a7e18b7317b.png)
; ![\sqrt[3]{14}\;](/wikipedia/images/math/4/d/9/4d90b08a8a7ba14e1c60f25be0fb24ef.png)
; ![\sqrt[3]{20}\;](/wikipedia/images/math/f/a/a/faaf025a7b9f3b036eb836c60d8e4e34.png)
; ![\sqrt[3]{39}\;](/wikipedia/images/math/c/9/f/c9f16a3fa799c3b21b4f313600db621c.png)
La raíz como potencia de exponente fraccionario
Proposición: La raíz como potencia de exponente fraccionario
Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:
|
|
![\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}](/wikipedia/images/math/3/b/0/3b0234682d54453ceee722e89c782c2e.png)
Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario
Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario y calcula su valor:
![a)\ \sqrt[3] {125^4} \quad b)\ \sqrt {100^{-3}}](/wikipedia/images/math/5/9/e/59ebdba87736732560d47ebf9c21a75e.png)
(por ser el índice par tiene dos soluciones de signos opuestos)
![\sqrt[5]{b^9}](/wikipedia/images/math/c/b/9/cb9fc88c51f111bf29a3da084ddafdb4.png)
![\sqrt[6]{g^5}](/wikipedia/images/math/b/8/2/b82a93b7500035423187e5a378387cc5.png)
![\cfrac{1}{\sqrt[7]{x}}](/wikipedia/images/math/7/1/1/711fca9584b1002a983e18467e624273.png)
![3^a=\sqrt[5]{3^2}](/wikipedia/images/math/6/d/8/6d842078dcc499bd8f7362de399b3095.png)
Propiedades de las potencias de exponente fraccionario
Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.
Raíces exactas e inexactas
Se llaman raíces exactas de un número a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.
Raíces exactas e inexactas
Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, los exponentes de éstos deben ser todos divisibles por el índice de la raíz.
Ejemplo: Raíces exactas e inexactas
Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:
![a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0.0256}\quad c) \sqrt[3]{192}](/wikipedia/images/math/d/f/7/df7f4bb983c565de5f6c5ab3ff89efdd.png)
.
![\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=(2^3 \cdot 3^3)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6](/wikipedia/images/math/9/0/f/90ff62c218ce74b95403e00069fa46ec.png)
![\sqrt[3]{216}](/wikipedia/images/math/2/a/6/2a60cb9da80e1f9abad0623c37ccfb67.png)
es racional.
.
![\sqrt[4]{0.0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\pm \cfrac{2^2}{10^1}=\pm \cfrac{4}{10}=\pm 0'4](/wikipedia/images/math/2/1/1/2111a7f15ed884cde82acb4bee2152c1.png)
![\sqrt[4]{0.0256}](/wikipedia/images/math/f/e/0/fe057f07425971a1f2db4869683fe6bd.png)
es racional.
.
![\sqrt[3]{192}](/wikipedia/images/math/b/d/f/bdfe841e1073096ee42922125fc7e19d.png)
es irracional.
![\sqrt[4]{16}](/wikipedia/images/math/0/8/5/08539911f08513b980a050e5bd399ead.png)
![\sqrt[5]{-243}](/wikipedia/images/math/6/3/5/635e97dd723ead900066d5383852216f.png)
![\sqrt[6]{64}](/wikipedia/images/math/4/7/2/472e429662dd1bbb544e8af33cf8e11b.png)
![\sqrt[3]{-216}](/wikipedia/images/math/1/9/0/1900c7889aa4b60b66f43b9dc348d52c.png)
Raíces de fracciones
![-\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}+\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}](/wikipedia/images/math/f/5/5/f55a7abe041410d0d772b3f5f9249888.png)
![-8\sqrt[3]{\cfrac{-3}{5}}+\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{\cfrac{-3}{5}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[3]{\cfrac{-3}{5}}](/wikipedia/images/math/c/7/e/c7e1346a8d6ef7ddeb7f7c7972383303.png)
![\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}-\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}+2\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}](/wikipedia/images/math/e/7/4/e74f2414908471712a21bcd2c0727973.png)
![\sqrt[8]{\cfrac{9}{4}}+12\sqrt[8]{\cfrac{9}{4}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[8]{\cfrac{9}{4}}](/wikipedia/images/math/7/9/5/7956651986adce493726a51fce226382.png)
![\cfrac{-1}{3}\sqrt[11]{\cfrac{-3}{7}}+\cfrac{1}{9}\sqrt[11]{\cfrac{-3}{7}}-\cfrac{2}{3}\sqrt[11]{\cfrac{-3}{7}}](/wikipedia/images/math/f/c/e/fceb6863061e8ca281259ac86890e169.png)
![-\sqrt[5]{\cfrac{5}{3}}-\cfrac{5}{2}\sqrt[5]{\cfrac{5}{3}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[5]{\cfrac{5}{3}}](/wikipedia/images/math/9/2/2/92245797897977068795b35dc3cbcfc7.png)
![2\sqrt[3]{\cfrac{2}{5}} \cdot 3\sqrt[3]{\cfrac{4}{25}}](/wikipedia/images/math/f/8/1/f81614b373a70320fa5bbee491ded79d.png)
![\sqrt[3]{\cfrac{9}{2}} \cdot \cfrac{5}{6}\sqrt[3]{\cfrac{2}{125}}](/wikipedia/images/math/f/d/b/fdbcdfd572102f2971190e92ad2b9ca8.png)
![\cfrac{-2}{5}\sqrt[3]{\cfrac{-1}{3}} \cdot 5\sqrt[3]{\cfrac{-1}{9}}](/wikipedia/images/math/e/1/d/e1dc683585b12c3e8f8b0336e6cd3dce.png)
![2\sqrt[3]{\cfrac{7}{3}} \cdot \cfrac{1}{4}\sqrt[3]{\cfrac{9}{14}}](/wikipedia/images/math/4/e/5/4e5561c3d3d0f4cadb26ebea76193f5e.png)
![8\sqrt[3]{\cfrac{3}{7}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-7}{9}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-7}{2}}](/wikipedia/images/math/9/9/9/99904e001c4c05d9a33cc7f20320c6eb.png)
![3\sqrt[3]{\cfrac{9}{4}} \cdot \left( -\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{3}{2}} \right) \cdot \cfrac{2}{5}\sqrt[3]{125}](/wikipedia/images/math/d/3/c/d3cb69b0f72a7fed15f71aa8513dfbb6.png)
![\cfrac{4}{3}\sqrt[4]{\cfrac{3}{7}} \cdot 3\sqrt[4]{\cfrac{16}{3}}](/wikipedia/images/math/b/d/5/bd5b5b76b496c2f6825e62489c158052.png)
![\cfrac{1}{3}\sqrt[8]{\cfrac{1}{4}} \cdot \left( -\cfrac{9}{2}\sqrt[8]{\cfrac{2}{3}} \right) \cdot 4\sqrt[8]{\cfrac{3}{5}}](/wikipedia/images/math/7/4/4/74408c6f3e91a102054dcf8b4a208595.png)
![\left( -\cfrac{2}{3}\sqrt[3]{\cfrac{14}{5}} \right): \left( \cfrac{14}{12}\sqrt[3]{\cfrac{7}{10}} \right)](/wikipedia/images/math/a/9/1/a913d1108fd67aec4f52e62b81efa9e8.png)
![\left( \cfrac{9}{2}\sqrt[3]{\cfrac{14}{9}} \right) : \left( \sqrt[3]{\cfrac{-7}{3}} \right)](/wikipedia/images/math/8/9/e/89e41ac40d647d9d9d10fd9f080b8f9c.png)
![\left( \cfrac{12}{5}\sqrt[3]{\cfrac{18}{3}} \right): \left( -\cfrac{6}{5}\sqrt[3]{\cfrac{-9}{2}} \right)](/wikipedia/images/math/7/8/b/78b4e0f5d87c167f3b7d0e410f45c6ec.png)
![\left( -\cfrac{10}{3}\sqrt[4]{\cfrac{15}{49}} \right) : \left( \cfrac{5}{27}\sqrt[4]{\cfrac{49}{125}} \right)](/wikipedia/images/math/a/6/4/a64ae58b74db2719880d0c4bceb986c7.png)
![\left( -\cfrac{10}{4}\sqrt[5]{\cfrac{15}{7}} \right): \left( \cfrac{5}{6}\sqrt[5]{\cfrac{5}{14}} \right)](/wikipedia/images/math/9/4/7/9479dbe129a893330d386ef04c8dddcb.png)
![\cfrac{-\cfrac{10}{7}\sqrt[3]{\cfrac{15}{4}}}{5\sqrt[3]{\cfrac{8}{9}}}](/wikipedia/images/math/3/f/7/3f7ec32f3c77881d616b8760375d4d6f.png)
![\cfrac{-\cfrac{10}{6}\sqrt[3]{\cfrac{15}{4}}}{\cfrac{5}{3}\sqrt[3]{\cfrac{2}{25}}}](/wikipedia/images/math/2/f/5/2f578dac94a33d0ddc501f0c60f4fffb.png)
![\sqrt[3]{\cfrac{-1}{5}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-1}{5}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-1}{5}}](/wikipedia/images/math/6/3/9/63995d3707778bdb86de378c75aca586.png)
![\sqrt[3]{\cfrac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{2}{3}}](/wikipedia/images/math/6/3/3/633c62efe0db98851d8196c7d058cbe0.png)
![\sqrt[4]{\cfrac{3}{5}} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}}](/wikipedia/images/math/9/0/e/90e63a779d9f738b1332ad73f20d0c44.png)
![\sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}}](/wikipedia/images/math/9/f/0/9f0f9afc0dba273231a5b490e098027d.png)
; 45) 
; 46) 
; 48) 
; 49) ![\left( \sqrt[3]{\cfrac{7}{3}} \right)^6](/wikipedia/images/math/7/6/3/763844586d27849f01b0f220f197d4d0.png)
![\left( \sqrt[3]{\cfrac{5}{2}} \right)^9](/wikipedia/images/math/5/b/7/5b7af58a06ea229f4169c8f038eeb6a0.png)
; 51) ![\left( \sqrt[4]{\cfrac{7}{4}} \right)^8](/wikipedia/images/math/0/e/0/0e0e0fafb99b320da94e2293f4f14701.png)
; 52) ![\left( \sqrt[6]{\cfrac{21}{5}} \right)^{12}](/wikipedia/images/math/a/0/7/a07d93d0c3029249c9933a99a2eb2728.png)
![\left( \sqrt[21]{\cfrac{12}{5}} \right)^{14}](/wikipedia/images/math/5/5/3/55309d54139afb8fbea7172261e4f109.png)
; 55) 
; 56) 
; 58) 
; 59) 
; 61) 
; 62) ![\sqrt[3]{\sqrt{\cfrac{2}{5}}}](/wikipedia/images/math/f/e/9/fe9d5ed19933ef100bc8b0f67559fa52.png)
; 64) ![\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cfrac{25}{4}}}](/wikipedia/images/math/7/b/3/7b3a4b58a2b91246bf250ff1abd743b3.png)
; 65) ![\sqrt{\sqrt[3]{64}}](/wikipedia/images/math/0/e/d/0eddc7f2593e00fd623113cf77aff52f.png)
![\sqrt[4]{\sqrt[3]{\cfrac{2}{7}}}](/wikipedia/images/math/e/b/e/ebedfae4b0471be70ea604bbe26e5e19.png)
; 67) ![\sqrt[3]{\sqrt{\cfrac{12}{5}}}](/wikipedia/images/math/2/f/5/2f5c1b5dfc0e771272ee1b0c8e2ac6db.png)
Calculadora
![\sqrt[3] {-512}](/wikipedia/images/math/d/5/0/d5007990ae7e9a5dddf6e4eff90d9a71.png)
Raíz cuadrada
 Calculadora: Raíz cuadrada Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Ejemplo:[Mostrar]
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Raíz cúbica
Calculadora: Raíz cúbica Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla Ejemplo:[Mostrar]
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![\sqrt [3] {8}](/wikipedia/images/math/f/5/2/f5234f8dd97fefc954cf62fa258a3b72.png)
Otras raíces
Calculadora: Otras raíces Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla Ejemplo:[Mostrar]
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![\sqrt [4]{81}](/wikipedia/images/math/e/c/6/ec6e7957bf989cbaf4c80a2e4c59755c.png)
