Potencias

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Tabla de contenidos

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1 Potencias de naturales
2 Propiedades de las potencias de naturales
3 Potencias de enteros
4 Potencias de fracciones
- 4.1 Potencias de exponente negativo
5 Ejercicios

Potencias de naturales

Una potencia de base $a\;\!$ y exponente $n\;\!$ consiste en multiplicar $n\;\!$ veces la base $a\;\!$ .

$a^n =a \cdot a \cdots a\;\!$

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo.

En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:

La base es el número que se multiplica por sí mismo
El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño.

Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

Actividad Interactiva: Potencias

Actividad 1. Potencia de un número natural.

Actividad:[Mostrar]

Propiedades de las potencias de naturales

$a^0=1\,\!$ $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$ $\cfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\,\!$ $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

$(a^n \cdot b^n)=(a \cdot b)^n$ $\cfrac{a^n}{b^n}=\left ( \frac{a}{b} \right )^n\,\!$

Actividad Interactiva: Propiedades de las potencias

Actividad 1. Propiedades de las potencias de números naturales.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2. Autoevaluación.

Actividad:[Mostrar]

Potencias de enteros

Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Potencia de base negativa:
Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Ejemplos: [Mostrar]

Actividad Interactiva: Potencias de números enteros

Actividad 1. Potencias de base negativa.

Actividad:[Mostrar]

Potencias de fracciones

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

Ejemplos: [Mostrar]

Tan sólo queda añadir el siguiente caso:

Potencias de exponente negativo

Sea $n \in \mathbb{N}$ , se define la potencia de exponente negativo como:

$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}$

Como consecuencia, $\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}$ .

Ejemplos: [Mostrar]

Actividad Interactiva: Potencias de exponente negativo

Actividad 1. Potencias de exponente negativo.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2. Autoevaluación.

Actividad:[Mostrar]

Ejercicios

Actividad Interactiva: Operaciones con potencias

Actividad 1. Autoevaluación: Operaciones con potencias de enteros y racionales.

Actividad:[Mostrar]

Actividades Interactivas: Propiedades de las potencias

Actividad 1: Producto de potencias.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2: Cociente de potencias.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 3: Potencia de un producto.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 4: Potencia de un cociente.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 5: Potencia de una potencia.

Actividad:[Mostrar]

Actividad Interactiva: Potencias

Actividad 1. Juegos.

Actividad:[Mostrar]

Ejercicios: Potencias de naturales

1. Simplifica:

a) $(x^2)^5\,\!$ b) $x^3 \cdot x^4 \cdot x^2$ c) $(x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x$

Solución:[Mostrar]

2. Simplifica:

a) $\cfrac{3^5}{3^2}$ b) $\cfrac{5^4}{5^2}$ c) $\cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}$

Solución:[Mostrar]

Ejercicios: Potencias de enteros

1. Calcula:

a) $(-2)^3 \,\!$ b) $-2^4 \,\!$ c) $(-2)^6 \,\!$ d) $(-1)^{10} \,\!$ e) $(-1)^{11}\,\!$ f) $-2^0 \,\!$

Solución:[Mostrar]

Ejercicios: Potencias de fracciones

1. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) $\cfrac{-5^2}{5^5}$ b) $\cfrac{0,001}{10^2}$ c) $\cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}$

Solución:[Mostrar]

2. Simplifica:

a) $\left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3$ b) $\left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2$ c) $\left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}$

Solución:[Mostrar]

3. Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

$a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}$

Solución:[Mostrar]

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 Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno:
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 * '''Cociente de potencias de la misma base:'''
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 * '''Potencia de exponente 0:'''
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 Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente.
 Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.
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 Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.
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