Potencias

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Potencias de números naturales

Una potencia de base a\;\! y exponente n\;\! consiste en multiplicar n\;\! veces la base a\;\!.

a^n =a \cdot a \cdots a\;\!

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo.

En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:

  • La base es el número que se multiplica por sí mismo
  • El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño.

Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias


Actividad 1. Potencia de un número natural.

Propiedades de las potencias de naturales

     a^0=1\,\!                    a^m \cdot a^n=a^{n+m}            \cfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\,\!

(a^n \cdot b^n)=(a \cdot b)^n            \cfrac{a^n}{b^n}=\left ( \frac{a}{b} \right )^n\,\!            (a^m)^n=a^{m \cdot n}



ejercicio

Actividad Interactiva: Propiedades de las potencias


Actividad 1. Propiedades de las potencias de números naturales.
Actividad 2. Autoevaluación.
Actividad 3. El Googol.
Actividad 4. Elevando a a potencias.
Actividad 5. Une con flechas las respuestas correctas.

Potencias de números enteros

Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Potencia de base negativa:
Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias de números enteros


Actividad 1. Potencias de base negativa.

Potencias de números fraccionarios

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

Tan sólo queda añadir el siguiente caso:

Potencias de exponente negativo

Sea n \in \mathbb{N}, se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}

Como consecuencia, \left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}.

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Actividad Interactiva: Potencias de exponente negativo


Actividad 1. Potencias de exponente negativo.
Actividad 2. Autoevaluación.

Ejercicios

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Actividad Interactiva: Operaciones con potencias


Actividad 1. Autoevaluación: Operaciones con potencias de enteros y racionales.

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Actividades Interactivas: Propiedades de las potencias


Actividad 1: Producto de potencias.
Actividad 2: Cociente de potencias.
Actividad 3: Potencia de un producto.
Actividad 4: Potencia de un cociente.
Actividad 5: Potencia de una potencia.
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Actividad Interactiva: Potencias


Actividad 1. Juegos.
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Ejercicios: Potencias de naturales


1. Simplifica:

a) (x^2)^5\,\! b) x^3 \cdot x^4 \cdot x^2 c) (x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x

2. Simplifica:

a) \cfrac{3^5}{3^2} b) \cfrac{5^4}{5^2} c) \cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}

ejercicio

Ejercicios: Potencias de enteros


1. Calcula:

a) (-2)^3 \,\! b) -2^4 \,\! c) (-2)^6 \,\! d) (-1)^{10} \,\! e) (-1)^{11}\,\! f) -2^0 \,\!

ejercicio

Ejercicios: Potencias de fracciones


1. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) \cfrac{-5^2}{5^5} b) \cfrac{0,001}{10^2} c) \cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}

2. Simplifica:

a) \left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3 b) \left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2 c) \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}

3. Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}


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