Potencias

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Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

Calculadora

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Propiedades de las potencias de naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

Actividades

Potencias de enteros

Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Potencia de base negativa:
Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias de números enteros

Actividad 1. Potencias de base negativa.

Potencias de fracciones

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

Tan sólo queda añadir el siguiente caso:

Potencias de exponente negativo

Sea n \in \mathbb{N}, se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}

Como consecuencia, \left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}.

ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias de exponente negativo

Actividad 1. Potencias de exponente negativo.
Actividad 2. Autoevaluación.

Ejercicios

ejercicio

Actividad Interactiva: Operaciones con potencias

Actividad 1. Autoevaluación: Operaciones con potencias de enteros y racionales.

ejercicio

Actividades Interactivas: Propiedades de las potencias

Actividad 1: Producto de potencias.
Actividad 2: Cociente de potencias.
Actividad 3: Potencia de un producto.
Actividad 4: Potencia de un cociente.
Actividad 5: Potencia de una potencia.
ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias

Actividad 1. Juegos.
ejercicio

Ejercicios: Potencias de naturales

1. Simplifica:

a) (x^2)^5\,\! b) x^3 \cdot x^4 \cdot x^2 c) (x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x

2. Simplifica:

a) \cfrac{3^5}{3^2} b) \cfrac{5^4}{5^2} c) \cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}

ejercicio

Ejercicios: Potencias de enteros

1. Calcula:

a) (-2)^3 \,\! b) -2^4 \,\! c) (-2)^6 \,\! d) (-1)^{10} \,\! e) (-1)^{11}\,\! f) -2^0 \,\!

ejercicio

Ejercicios: Potencias de fracciones

1. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) \cfrac{-5^2}{5^5} b) \cfrac{0,001}{10^2} c) \cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}

2. Simplifica:

a) \left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3 b) \left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2 c) \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}

3. Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}


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