Cociente de polinomios (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

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Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}

ejercicio

Ejemplos: Cociente de monomios


Calcula:

a) 4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!
b) 6x^4y : 2ax^3  \;\!

División de polinomios

La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.

Dados dos polinomios P(x)\; (dividendo) y Q(x)\; (divisor) de modo que el grado de P(x)\; sea mayor o igual que el grado de Q(x)\; y el grado de Q(x)\; sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios C(x)\; (cociente) y R(x)\; (resto) tales que:

P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,
dividendo = divisor × cociente + resto

que también podemos representar como:

  • El grado de C(x)\; es igual a la diferencia entre los grados de P(x)\; y Q(x)\;, mientras que el grado de R(x)\; será, como máximo, un grado menor que Q(x)\;.
  • Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

ejercicio

Ejemplo: División de polinomios


Divide los siguientes polinomios:

P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, \, x - 3\;
Q(x)  = x^{2} - 2 \, x - 1 \;

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini

ejercicio

Regla de Ruffini


La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x-r)\;.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini


Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!
Q(x)=x-2\,\!

Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Teorema


Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.

ejercicio

Procedimiento para factorizar polinomios por Ruffini


Para factorizar un polinomio P(x) mediante la regla de Ruffini, seguiremos los siguientes pasos:

  • Por el teorema anterior, los candidatos a raíces del polinomio P(x) son los divisores (positivos y negativos) del término independiente.
  • Para cada candidato a raíz, "a", efectuaremos la división de P(x) entre (x-a), mediante la regla de Ruffini.
  • Si el resto es cero, "a" será una raíz de P(x). Si no, seguiremos probando con el siguiente candidato.
  • Si "a" resulta ser una raíz, entonces tendremos una primera factorización: P(x)=(x-a)· Q(x), donde Q(x) tiene un grado menos que P(x).
  • Seguiremos probando con los candidatos (incluido el último que resultó ser raíz) para factorizar Q(x) por Ruffini.
  • El proceso para cuando no quedan candidatos o Q(x) tiene grado 1.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=x^4-4x^3+x^2+6x\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Cociente de polinomios


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