Ángulos
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Tabla de contenidos |
Ángulo
En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Actividad en la que deberás construir un ángulo usando las herramientas de dibujo que se te proporcionan. ![]() Ángulos: definición, clasificación y medida. ![]() Ángulos: definición, clasificación y medida. ![]() Concepto de ángulo. Elementos. Amplitud. Región angular |
Tipos de ángulos
Clasificación de los ángulos según su amplitud
Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:
- Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
- Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
- Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
- Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
- Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
- Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
- Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
- Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver una animación con los distintos tipos de ángulos según su abertura.
![](/wikipedia/images/thumb/9/9d/Escuela.jpg/22px-Escuela.jpg)
En este video vamos a ver cómo se clasifican los ángulos según su amplitud: rectos agudos, obtusos, llanos, completos, nulos, convexos y cóncavos.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
En este video vamos a clasificar los ángulos según su amplitud de manera dinámica en: nulo, obtuso, llano, cóncavo, convexo, recto y agudo.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
En este video vamos a ver la clasificación de los ángulos de acuerdo a sus medidas: ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo llano, ángulo completo, ángulo entrante o cóncavo, ángulo negativo y ángulo nulo.
Actividad en la que comprobarás tus conocimientos sobre los tipos de ángulos.
Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice
Plantilla:Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice
Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal
Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:
Propiedades
En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas mediante otra recta transversal. También podrás ver cuando estos ángulos coinciden o son suplementarios. |
Medida de ángulos
Sistema sexagesimal
En este sistema la unidad es el grado sexagesimal y el ángulo completo tiene 360º.El ángulo llano tiene 180º, porque es la mitad de un ángulo completo y el ángulo recto tiene 90º, porque es la mitad de un ángulo llano. Cuatro ángulos rectos forman un ángulo completo.
Actividad Interactiva: Sistema sexagesimal
1. Representación de ángulos.
Actividad: Arrastra los puntos A y B de la escena para obtener los distintos ángulos:
El ángulo se nombra |
Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').
Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").
Operaciones con ángulos
Suma
La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Suma en el sistema sexagesimal
- Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?
Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:
2 h 48 min 35 s + 2 h 45 min 30 s ___________________ 4 h 93 min 65 s
Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la suma se puede escribir así:
4 h 94 min 5 s
De la misma forma, 94 min equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:
5 h 34 min 5 s
Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.
Actividad Interactiva: Suma de ángulos
1. Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. Los grados, minutos y segundos superiores corresponden a los del primer sumando y los inferiores a los del segundo sumando. |
Resta
Para restar tendremos en cuenta las mismas consideraciones que para sumar. Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Resta en el sistema sexagesimal
- En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?
Debemos hacer la siguiente operación:
3 h 0 min 0 s − 2 h 48 min 35 s ___________________
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48 (minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".
2 h 60 min 60 s − 2 h 48 min 35 s ___________________ 0 h 11 min 25 s
Actividad Interactiva: Resta de ángulos
1. Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes restas de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. |
Multiplicación por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Producto por un número en el sistema sexagesimal
- Multiplica 18º 26' 35" por 3.
18º 26' 35" x 3 _______________ 54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
55º 19' 45"
Actividad Interactiva: Producto por un número en el sistema sexagesimal
1. Producto de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. |
División por un número natural
Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.
Analicemos el siguiente ejemplo:
Actividad Interactiva: División por un número en el sistema sexagesimal
1. División de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.
Actividad: Realiza en tu cuaderno las siguientes divisiones de ángulos:
A continuación, construye en la siguiente escena los ángulos anteriores para comprobar los resultados obtenidos. Sil pulsas en "pasos" iras viendo el resultado poco a poco. |
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se opera con ángulos gráficamente y algebraicamente.
Relaciones entre ángulos
Ángulos complementarios y suplementarios
- Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto.
- Dos ángulos son suplementarios si suman un ángulo llano).
Actividad Interactiva: Ángulos complementarios y suplementarios
1. Calcula los ángulos complementario y suplementario.
Actividad: Calcula los ángulos complementario y suplementario de los siguientes:
Realízalo en tu cuaderno y comprueba luego el resultado en las escenas siguientes: |
Propiedades
Propiedades: Relaciones entre ángulos
- Dos ángulos opuestos por el vértice (vértice común y lados de uno prolongación de los del otro) son iguales.
- Los ángulos que forma una recta al cortar a dos rectas paralelas son iguales.
- Dos ángulos con lados perpendiculares son:
- Iguales: si ambos son agudos o ambos obtusos.
- Suplementarios: si uno es agudo y el otro obtuso.
Ángulos en los polígonos
Ángulos interiores y exteriores
En el dibujo de la derecha, el ángulo |
Polígonos cóncavos y convexos
- Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
- Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.
Ángulos en un triángulo
Propiedad
Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se obtiene la suma de los ángulos triángulo.
![](/wikipedia/images/thumb/4/49/Carreon.jpg/22px-Carreon.jpg)
Ejemplos que ilustran la propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Los ángulos de un triángulo miden ,
y
. Determina el valor de dichos ángulos.
Ángulos en un cuadrilátero
Propiedad
Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.
En la siguiente escena de Geogebra.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se calcula la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Halla el ángulo que falta en los siguientes cuadriláteros.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Halla los ángulos que faltan en los siguientes cuadriláteros.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
Halla el ángulo que falta en el siguiente cuadrilátero.
![](/wikipedia/images/thumb/0/00/Julioprofe.jpg/22px-Julioprofe.jpg)
Los ángulos de un cuadrilátero miden ,
,
y
. Determina el valor de dichos ángulos.
Ángulos en un polígono de n lados
Propiedades
- La suma de los ángulos interiores de un polígono de
lados es igual a
.
- Si el polígono de
lados es regular:
- Cada ángulo interior mide
.
- Cada ángulo exterior mide
.
- Cada ángulo interior mide
- Desde un vértice cualquiera del polígono se pueden trazar n-3 diagonales que dividen al polígono en n-2 triángulos. Sumando los ángulos de todos esos triángulos se obtiene la fórmula, ya que la suma de los ángulos de cada triángulo es 180º.
- Si además el polígono es regular:
- Al tener todos sus ángulos interiores iguales, cada uno de ellos se obtendrá dividiendo el valor del primer apartado por el número de lados, n.
- Para ver la medida del ángulo exterior restaremos a 180º el ángulo interior:
![180^\circ - \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ}{n}=\cfrac{360^\circ}{n}](/wikipedia/images/math/5/0/9/509109b65f9e51e389983a43bb92e929.png)
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
- Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
- Ejemplos de aplicación.
- Deducción de la fórmula para hallar la medida de los ángulos interiores de un polígono regular.
![](/wikipedia/images/thumb/f/f8/Yoestudio.jpg/22px-Yoestudio.jpg)
Deducción de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Suma de los ángulos interiores de un polígono.
![](/wikipedia/images/thumb/4/49/Carreon.jpg/22px-Carreon.jpg)
- Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
- Cálculo de los ángulos interiores de un polígono regular y de su suma.
![](/wikipedia/images/thumb/c/cf/Matemovil.jpg/22px-Matemovil.jpg)
Ángulos interiores de un cuadrado y de un hexágono regular.
![](/wikipedia/images/thumb/e/eb/Childtopia.jpg/22px-Childtopia.jpg)
¿Existe un polígono convexo cuyos ángulos sumen 1440º? Indica su nombre y la cantidad de lados que tiene.
![](/wikipedia/images/thumb/8/8f/Velazco.jpg/22px-Velazco.jpg)
Ángulo exterior de un polígono regular
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo central y el arco de circunferencia que determina.
Ángulo inscrito
Propiedades
Propiedades
- Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
- La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Las dos primeras propiedades se pueden comprobar (no es una demostración) en la siguiente escena:
En esta escena podrás comprobar la relación que hay entre ángulos centrales y ángulos inscritos en una circunferencia.
La tercera propiedad la puedes comprobar en esta otra escena:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás comprobar qué propiedad tienen todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia.
En esta actividad podrás ver cómo es un ángulo inscrito y su relación con el ángulo central correspondiente.
En esta actividad podrás ver cómo un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Otros ángulos
![](/wikipedia/images/thumb/0/06/Laescuelaencasa.jpg/22px-Laescuelaencasa.jpg)
Ángulos en una circunferencia: Interior, central, inscrito, semiinscrito, interior y circunscrito.
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver los distintos tipos de ángulos que puede haber en una circunferencia: central, inscrito, semiinscrito, circunscrito, interior, exterior.
En esta escena podrás practicar el cálculo del valor de distintos tipos de ángulos en una circunferencia.