Triángulos

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Tabla de contenidos

1 Triángulo
2 Clasificación de los triángulos
- 2.1 Según sus lados
- 2.2 Según sus ángulos
3 Construcción de triángulos
4 Igualdad de triángulos
5 Rectas y puntos notables en un triángulo
6 Triángulos rectángulos
- 6.1 Teorema de Pitágoras
- 6.2 Clasificar un triángulo conocidos sus lados
7 Ejercicios

Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados. Por tanto, tiene tres vértices y tres ángulos.

Nomenclatura:

En un triángulo, la letra que se usa para el vértice es mayúscula: $A \,\ B,\ C$ .
Las mismas letras mayusculas, con un "sombrero", para nombrar el ángulo: $\hat A, \ \hat B, \ \hat C$ , aunque también son usuales las letras griegas: $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ .
El nombre de cada lado se expresa con una letra minúscula: $a,\ b,\ c$ ; es la letra correspondiente al vértice opuesto al lado. También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas: $BC,\ AC,\ AB$ , las de los vértices contenidos en ese lado.

Propiedades

Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:

Sus tres ángulos suman 180º.
La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.

Demostración:

1. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.

Para comprobar esta propiedad vamos a hacer uso de la siguiente escena. En ella, A es un punto fijo, B puede moverse horizontalmente y C libremente: esto permite dibujar cualquier triángulo. La recta que pasa por C es paralela al lado AB con lo cual los ángulos verdes son iguales y los amarillos también (alternos internos). Si sumamos los tres ángulos en el vértice C, obtenemos siempre un ángulo llano.

2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.

En la siguiente escena puedes comprobar esta propiedad. Mueve los vértices para cambiar la forma del triángulo.

3. Es rígido, de hecho, el triángulo es el único polígono indeformable.

Observa la escena, arrastra los vértices y comprueba que:

Con tres varillas iguales podemos formar un triángulo, que no se deforma.

Con cuatro varillas iguales, el cuadrilátero que se forma, puede deformarse, no es rígido.

Esta propiedad tiene muchas aplicaciones en la construcción. Observa torres de la luz, estructuras metálicas de puentes,... la forma externa puede ser variada, pero llevan diagonales internas que dividen su estructura en triángulos.

Clasificación de los triángulos

Según sus lados

Equilátero: Si tiene los tres lados iguales
Isósceles: Si tiene dos lados iguales.
Escaleno: Si tiene tres lados desiguales.


Equilátero	Isósceles	Escaleno

Según sus ángulos

Rectángulo: Si tiene un ángulo recto
Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso
Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos


Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo

Actividad Interactiva: Clasificación de los triángulos

1. Actividades.

Actividad:

Utiliza la escena para contestar en tu cuaderno las siguientes cuestiones:

Si un triángulo tiene dos ángulos agudos, ¿también lo es el tercero?
Dibuja un triángulo rectángulo e isósceles.
¿Puede ser un triángulo rectángulo y equilátero a la vez?.
Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 25º. ¿Cuánto mide el otro?

Arrastra los vértices para modificar el triángulo.

Construcción de triángulos

Un triángulo, tiene tres lados y tres ángulos. Para construir un triángulo hay que conocer tres de esos datos, siendo al menos uno de ellos un lado:

Conocidos los tres lados.
Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Conocido un lado y sus dos ángulos contiguos.

Actividad Interactiva: Construcción de triángulos

1. Construcción de un triángulo conociendo los tres lados.

Actividad:

El proceso de construcción se muestra en la figura:

Recuerda que para poder realizar la construcción la medida de cada lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.

Se representa un segmento de medida igual al primer lado.
Desde cada extremo del primer lado se traza una circunferencia de radio el valor del segundo y tercer lado.
El triangulo tiene por vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de las circunferencias.

2. Construcción de un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Actividad:

El proceso de construcción se muestra en la figura:

Se representa uno de los segmentos.
Se traza el ángulo que forman los lados.
Se lleva el segundo lado conocido sobre el lado del ángulo.
Basta con unir los extremos de los dos lados para construir el triángulo.

3. Construcción de un triángulo conocido un lado y sus dos ángulos contiguos.

Actividad:

El proceso de construcción se muestra en la figura:

La suma de los dos ángulos conocidos ha de ser menor de 180º.

Se construye el lado conocido.
Desde cada uno de los extremos del lado se trazan los ángulos dados.
La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo.

Igualdad de triángulos

Dos triángulo son iguales si tienen sus lados y sus ángulos iguales.

Para que dos triángulos sean iguales basta con que se verifique una de las siguientes condiciones:

Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.
Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo comprendido entre ellos.
Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y son iguales sus ángulos contiguos.

Rectas y puntos notables en un triángulo

Medianas y baricentro

La mediana de un triángulo es una recta que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y es el centro de gravedad del triángulo: desde este punto podríamos atarlo con un hilo y quedaría suspendido horizontalmente.

Alturas y ortocentro

La altura de un triángulo es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

Mediatrices y circuncentro

Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares a los puntos medios de cada lado. Las tres mediatrices siempre se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices del triángulo).

Bisectrices e incentro

Las tres bisectrices de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

Actividad Interactiva: Elementos notables de un triángulo

1. Medianas y baricentro.

Actividad:

Se llama mediana de un triángulo al segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro. El baricentro, G, siempre está en el interior del triángulo.

Mueve los vértices del triángulo y comprueba que siempre es así.

El baricentro, suele denotarse por la letra G, Centro de Gravedad.

Como se ve en la figura, el segmento CG es de medida el doble que el segmento GM.

Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

Mueve los vértices del triángulo hasta conseguir que GM=1,80 cm. En esa situación ¿Cuánto mide la mediana CM?
¿Es posible determinar el baricentro trazando solamente una mediana? Explica el procedimiento.

2. Alturas y ortocentro.

Actividad:

Altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto o su prolongación formando ángulo recto.

Las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto que se llama ortocentro.

Contesta en tu cuaderno:

Mueve los vértices del triángulo y observa donde se encuentra el ortocentro en cada tipo de triángulo:

a) En un triángulo acutángulo.

b) En un triángulo rectángulo.

c) En un triángulo obtusángulo.

3. Mediatrices y circuncentro.

Actividad:

Recuerda que la mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

Observa que las tres mediatrices se cortan en un punto, que se denomina circuncentro (Ci).

Mueve los vértices del triángulo y comprueba que siempre es así.

El circuncentro tiene una propiedad muy importante, si se traza una circunferencia con centro en él, que pase por uno de los vértices del triángulo, también pasa por los otros dos vértices. El circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo.

A esta circunferencia se le llama circunferencia circunscrita.

Mueve los vértices del triángulo para comprobar que el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.

Para determinar el circuncentro, basta con trazar dos de las mediatrices y su punto de corte. Ya sabemos que la tercera mediatriz también se corta con las anteriores en el mismo punto.

El trazado de mediatrices, y en consecuencia el circuncentro resuelven dos importantes problemas geométricos>

1. Determinar el centro de una circunferencia. Imagina que encuentras una circunferencia dibujada. ¿Cómo calcular su centro?

El proceso a seguir es:

a) Se representan tres puntos cualquiera en ella A, B, C. Construimos dos segmentos, por ejemplo AB y BC.

b) Se trazan las mediatrices de los dos segmentos.

c) El punto en que se cortan las mediatrices es el centro de la circunferencia.

2. Dados tres puntos cualesquiera, construir la circunferencia que pasa por ellos. Explica el proceso a seguir.

Contesta en tu cuaderno usando la siguiente escena:

Responde a las siguientes preguntas:

a) Si el triángulo es acutángulo (todos sus ángulos menores de 90º ) ¿Dónde se encuentra el circuncentro?

b) ¿Cuándo está en el exterior del triángulo?

c) Intenta, moviendo alguno de los vértices, que el triángulo sea rectángulo. ¿Dónde está en este caso el circuncentro?

Se desea construir un depósito de agua para abastecer a tres pueblos A, B, C no alineados. ¿Dónde hay que construir el depósito para que esté a la misma distancia de los tres pueblos?

4. Bisectrices e incentro.

Actividad:

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales.

Las tres bisectrices de los ángulos un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro.

El incentro siempre es un punto situado en el interior del triángulo.

El incentro tiene una importante propiedad, y de ahí su nombre, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Para construir la circunferencia inscrita se procede como se muestra en la imagen:

Se construyen las bisectrices.
La intersección de las bisectrices es el incentro.
Desde el incentro se traza una perpendicular a uno de los lados.4.- Se traza la circunferencia con centro el incentro y que pase por la intersección con la perpendicular al lado.

La circunferencia inscrita es tangente los tres lados, por tanto, el incentro equidista de los tres lados del triángulo.

Observa la siguiente escena y contesta en tu cuaderno:

El incentro, para un triángulo cualquiera, no está alineado con el ortocentro, baricentro y circuncentro, pero si lo está en un tipo de triángulo.

Mueve los vértices del triángulo de forma que el incentro esté en la recta que pasa por ortocentro, circuncentro y baricentro. ¿Cómo es el triángulo en este caso?

Mueve nuevamente los vértices del triángulo hasta conseguir que sea equilátero (aproximadamente). ¿Qué ocurre?

4. Identifica los puntos notables de un triángulo.

Actividad:

Observa la siguiente escena y contesta en tu cuaderno quién es cada punto:

Debes mover los vértices del triángulo hasta conseguir saber cual es cada uno.

5. Recta de Euler.

Actividad:

En la figura se muestran el ortocentro, baricentro y circuncentro.

Mueve los vértices del triángulo y observa que estos tres puntos están siempre alineados, (pertenecientes a la misma recta). Mueve el botón situado fuera del triángulo y observa la relación que existe entre las distancias entre ellos. A la recta que contiene a estos tres puntos, se la denomina recta de Euler, en honor a su descubridor.

Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. El mayor de los lados, opuesto al ángulo recto, se le llama hipotenusa. A los otros dos, que forman el ángulo recto, se les llama catetos.

Actividad Interactiva: Triángulo rectángulo

1. Construcción de un triángulo rectángulo usando una circunferencia.

Actividad:

La siguiente escena muestra como construir un triángulo rectángulo. Consiste en inscribirlo en una circunferencia cuyo diámetro cincida con la hipotenusa.

Mueve el punto C y comprueba que el triángulo inscrito de esta forma siempre es rectángulo.

Arrastra los vértices para modificar el triángulo.

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado de la suma de los catetos

$a 2 + b 2 = c 2$

donde a y b son los catetos y c la hipotenusa.

Demostración:

Fíjate en la figuar de la derecha y observa como el cuadrado grande, de lado

a + b

, puede descomponerse en un cuadrado de lado

c

y 4 triángulos rectángulos, como el de partida, de catetos

a

b

e hipotenusa

c

La superficie del cuadrado grande de lado $a + b$ es:

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\;\!$

La superficie de los cuatro triángulos rectángulos es :

$4 \cdot \cfrac {b \cdot a}{2}=2ab$

Restando el área del cuadrado grande de lado $a + b$ menos las areas de los 4 triángulos rectángulos, se obtiene el área del cuadrado de lado $c$ :

$c^2=(a+b)^2-2ab\;\!$

Desarrollando el cuadrado del binomio:

$c^2=(a^2+b^2+2ab)-2ab\;\!$

De donde obtenemos, simplificando:

$c^2=a^2+b^2 \;\!$

Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras, por ejemplo 3,4,5. También son ternas pitagóricas sus múltiplos: 6,8,10; 9,12,15 ...

Actividades Interactivas: Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1. Conocidos los catetos: a=3 cm. y b=2 cm., calcular la hipotenusa, c.

Actividad:

Usaremos el teorema de Pitágoras:

$c^2=a^2+b^2;\ c^2=3^2+2^2;\ c^2=9+4=13;\ c=\sqrt {13}=3,61$

Compruébalo en la escena siguiente:

2. Conocido un cateto a=3 cm. y la hipotenusa c=5 cm., calcular el otro cateto.

Actividad:

Usaremos, de nuevo, el teorema de Pitágoras:

$c^2=a^2+b^2;\ 5^2=3^2+b^2;\ b^2=25-9=16;\ c=\sqrt {16}=4$

Compruébalo en la escena siguiente:

3. Halla la altura de un triángulo equilatero de 4 cm. de lado.

Actividad:

4. Halla la altura de un triángulo isósceles cuyos lados miden c=4 cm. y a=b=2,6 cm.

Actividad:

5. Determina la longitud de cada lado del siguiente triángulo.

Actividad:

Clasificar un triángulo conocidos sus lados

En un triángulo cualquiera, si llamamos $a$ al lado mayor, y a los otros dos $b$ y $c$ , se cumple que:

Si $a 2 > b 2 + c 2$ , el triángulo es obtusángulo
Si $a 2 = b 2 + c 2$ , el triángulo es rectángulo
Si $a 2 < b 2 + c 2$ , el triángulo es acutángulo

Actividad Interactiva: Clasificar un triángulo conocidos sus lados

1. Clasifica los siguientes triángulos, atendiendo a sus ángulos, sabiendo que:

a) Sus lados miden 4, 5 y 2.
b) Sus lados miden 5, 3 y 4.
c) Sus lados miden 5, 3 y 3.

Actividad:

Primero, en tu cuaderno, haz los cálculos necesarios para contrestar a las pregunta. A continuación, en la siguiente escena, mueve los puntos para cambiar el valor de los lados y comprueba los resultados que has obtenido.