Ecuaciones de segundo grado
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Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es aquella que se puede expresar de la forma:
![ax^2+bx+c=0, \quad a\ne 0](/wikipedia/images/math/e/f/c/efcbfce800ee7ed5282bc3558a26123d.png)
que llamaremos forma general.
Ejemplo: Ecuación de segundo grado
Pasa a forma general la ecuación:
![3x-2x^2+5=-4x^2+3-x\;\!](/wikipedia/images/math/9/2/c/92cdaccd89a8ef19eb9c7625724f8e20.png)
Para ponerla en forma general, pasaremos todos los términos al miembro de la izquierda:
![3x-2x^2+5+4x^2-3+x=0\;\!](/wikipedia/images/math/3/4/2/3428dfea6f1620ed2cce240ec7b95e64.png)
Agrupando términos semejantes:
![2x^2+4x+2=0\;\!](/wikipedia/images/math/9/0/3/9031b82aa0aad743a1bf3eaef644ab55.png)
Resolución de la ecuación de segundo grado
Fórmula de la ecuación de segundo grado
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:
![x=\cfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}](/wikipedia/images/math/7/8/d/78d138676c24e00b4c5693062069b2f3.png)
donde el signo significa que una solución se obtiene con el signo
y otra con el signo
.
1. Se divide la ecuación por :
![x^2+ \cfrac{b}{a}x+ \cfrac{c}{a}=0](/wikipedia/images/math/3/3/1/331965eab23c07cd4a08f1dcccac079c.png)
2. Se multiplica y divide por el coeficiente de la
:
![x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}=0](/wikipedia/images/math/3/6/4/364bb30a598049578669b81c67a804c0.png)
3. Se suma alos dos miembros de la igualdad :
![x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{c}{a}+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}](/wikipedia/images/math/6/8/9/689b41c3f52d26c9fd6381b822059f90.png)
4. Se pasa restando a la derecha :
![x^2+ 2\cfrac{b}{2a}x+ \cfrac{b^2}{4a^2}=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}](/wikipedia/images/math/0/6/3/063093c4131b43ae474ccb402c4eaedd.png)
5. Observando que el lado izquierdo es el desarrollo de :
![\left ( x+\cfrac{b}{2a} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}](/wikipedia/images/math/d/4/8/d48d8dfc634e4ac579e4c8c2129598d4.png)
6. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:
![x+\cfrac{b}{2a}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}](/wikipedia/images/math/0/3/6/036dd2756510742108c5c72931d79f68.png)
7. Se despeja x:
![x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a^2}- \cfrac{c}{a}}](/wikipedia/images/math/b/8/c/b8c5c2f371fb8f9f4813ac28be42b474.png)
8. Se simplifica la expresión:
![x=- \cfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a^2}}=- \cfrac{b}{2a} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=- \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}](/wikipedia/images/math/a/3/2/a327b6f02f14cb103e4c3ea53a371e22.png)
Ejemplo: Resolución de la ecuación de segundo grado
- Ejemplos de ecuaciones de segundo grado resueltas.
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Actividad Interactiva: Resolución de una ecuación de segundo grado
Actividad 1: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.
Actividad:
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Discriminante de una ecuación de segundo grado
Llamamos discriminante de una ecuación de segundo grado a:
![\triangle = b^2-4ac](/wikipedia/images/math/5/7/a/57adb4969ce7cce71eaa2b82d0bb4eb8.png)
por tanto:
- Si
la ecuación no tiene solución.
- Si
la ecuación tiene dos soluciones.
- Si
la ecuación tiene una solución (doble).
Actividad Interactiva: Discriminante de una ecuación de segundo grado
Actividad 1: Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
Actividad:
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Ecuaciones de segundo grado incompletas
Una ecuación de segundo grado es incompleta, si ocurre uno de los siguientes casos:
:
- En este caso las soluciones se obtienen despejando x:
![ax^2+c=0; \quad ax^2=-c; \quad x=-\cfrac{c}{a};\quad x=\pm \sqrt {-\cfrac{c}{a}}](/wikipedia/images/math/f/b/b/fbb28c5b29ec30ef32cb2023125cae6b.png)
:
- En este caso, sacando factor común e igualando a cero cada factor:
![ax^2+bx =0; \quad x \cdot (ax+b)=0 \quad \left \{ \begin{matrix} x_1=0 \\ x_2=-\cfrac{b}{a} \end{matrix} \right .](/wikipedia/images/math/e/2/0/e20d3aa56eb46a09fcd7b3046f37ab92.png)
Ejemplo: Ecuaciones de segundo grado incompletas
- Ejemplos de ecuaciones de segundo grado incompletas resueltas.
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:
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:
Resolución de problemas mediante ecuaciones de segundo grado
Actividades Interactivas: Planteamiento y resolución de sistemas
Actividad 1: Un campo de fútbol deberá ocupar una superficie rectangular de 7.500 m², siendo el largo 25 m mayor que el ancho. Halla las dimensiones del campo.
Actividad: |