Números enteros

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Números enteros

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Números enteros

El conjunto de los números enteros es

\mathbb{Z}=\left \lbrace \cdots, -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Son infinitos y, al igual que los números naturales sirven para contar. Sin embargo, los números enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una cuenta bancaria, un año de la era antes de Cristo, el número de una planta del sótano de un edificio, etc.

Podemos representarlos en una recta:

ejercicio

Actividades Interactivas: Números enteros

1. Introducción al conjunto de los números enteros.
Actividad:
En la escena adjunta te presentamos unos ejemplos en los que se muestra la necesidad de utilizar números enteros.

Sigue las instrucciones que te van apareciendo en escena y anota los ejemplos en tu cuaderno.

2. Representación de los números enteros en la recta numérica.
Actividad:
En esta escena vas a conocer como se representan los números enteros en la recta numérica.

Orden en el conjunto de los enteros

En el gráfico anterior se observa el orden que existe en el conjunto de los números enteros, siendo los números negativos menores que los positivos y que el cero.

Propiedad:
Si\ a<b,\ entonces\ -b<-a\quad \forall\;a,\ b \in \mathbb{N}

ejercicio

Actividades Interactivas: Orden en los números enteros

1. ¿Cómo se ordenan los números enteros?.
Actividad:
En esta escena aprenderás a comparar números enteros. Anota lo que aprendas en tu cuaderno.

Lee atentamente las indicaciones. Pulsa INICIO cada vez que quieras ver un ejemplo nuevo.

2. Autoevaluación.
Actividad:
En esta escena deberas decir que número es el mayor. Anota los resultados en tu cuaderno.

Pulsa INICIO cada vez que quieras ver un ejemplo nuevo.

Operaciones con enteros

Opuesto de un entero

El opuesto de un número entero a es otro número entero -a.

ejercicio

Actividad Interactiva: Opuesto de un número entero

1. Calcula el opuesto de un número entero.
Actividad:
Cambia, utilizando el pulsador, los valores y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es el opuesto de cero?

b) Si el número es negativo ¿qué signo tiene su opuesto?

c) Si el número es positivo ¿qué signo tiene su opuesto?

Valor absoluto de un entero

El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe |a|\;\! y se define del siguiente modo:

|a|= \begin{cases} \ \ a & \mbox{si }a>0 \\ -a & \mbox{si }a<0 \end{cases}

Por ejemplo, |-3|=3 \,\! y |5|=5 \,\!.

ejercicio

Actividad Interactiva: Valor absoluto de un número entero

1. Calcula el valor absoluto de un número entero.
Actividad:
Cambia, utilizando el pulsador, los valores y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:

Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el valor absoluto de cero?

b) ¿Qué signo tiene el valor absoluto de un número negativo? ¿Y de uno positivo?

c) ¿El valor absoluto de un número puede ser negativo?

Suma y resta de enteros

La suma de números enteros es otro número entero. La resta de números enteros es otro número entero resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.

ejercicio

Actividad Interactiva: Suma de números enteros

1. Practica la suma de números enteros.
Actividad:
Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

  • Suma de dos enteros:
  • Suma de tres enteros (Agrupando los que tienen el mismo signo):
  • Suma de tres números enteros (Agrupandolos de dos en dos):

Jerarquía de las operaciones con enteros

Al operar con números enteros se atiende a la misma jerarquia de las operaciones con naturales.

ejercicio

Actividad Interactiva: Uso del paréntesis

1. Operaciones con paréntesis:
Actividad:
Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

  • Operaciones sencillas con paréntesis:
  • Más operaciones con paréntesis:
2. Operaciones combinadas:
Actividad:
En esta actividad debes marcar en la ventana bajo la escena el número que sigue al resolver la expresión. Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá.

Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Multiplicación de enteros

Regla de los signos

Si dos números enteros tienen el mismo signo su producto es un entero positivo. Y si tienen distinto signo, el producto es un entero negativo. Ésto es:

(+) \cdot (+) = (+)
(-) \cdot (-) = (+)
(+) \cdot (-) = (-)
(-) \cdot (+) = (-)

ejercicio

Actividad Interactiva: Regla de los signos

1. Practica el producto de números enteros.
Actividad:
Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

División de enteros

La división de números enteros, al igual que la división con números naturales, no siempre es otro entero. Con la división , al igual que con la multiplicación, se aplica la misma regla de los signos.

ejercicio

Actividad Interactiva: División de números enteros

1. Practica el cociente de números enteros.
Actividad:
Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Aplicaremos la regla de lo signos al igual que con el producto:

(+) : (+) = (+)\;\!
(-) : (-) = (+)\;\!
(+) : (-) = (-)\;\!
(-) : (+) = (-)\;\!

Potencias de enteros

Los enteros cumplen las mismas propiedades de las potencias de los números naturales.

Potencia de base negativa:
Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Ejemplos: 

ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias de números enteros

Actividad 1. Potencias de base negativa.
Actividad:
Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) ( − 3)4 b) ( − 4)5 c) ( − 10)5 d) ( − 2)10

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente.

Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Ejercicios y problemas

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios

1. Ordena los siguientes números enteros: -3, -16, 2, -7, 9, 0.
Solución:
− 16 < − 7 < − 3 < 0 < 2 < 9

2. Calcula:

a) |-13| \,\! b) |(2-8)-4| \,\! c) ||3-5|-|2-11||\,\!

Solución:
a) 13 b) 10 c) 7

3. Calcula:

a) 16-(9-5)-5+2= \,\!
b) (-15-13)-9-(2-12+6)= \,\!
c) (-3) \cdot [5 \cdot (8-6) -3 \cdot (3-7)]=

Solución:
a) 9 b) -33 c) -66

4. Calcula:

a) (-2)^3 \,\! b) -2^4 \,\! c) (-2)^6 \,\! d) (-1)^{10} \,\! e) (-1)^{11}\,\! f) -2^0 \,\!

Solución:
a) -8 b) -16 c) 64 d) 1 e) -1 f) -1

Problemas

ejercicio

Problemas

1. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?
Solución:
1' 12"
2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C.?
Solución:
2.589 años
3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m?
Solución:
2.300 m.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_enteros"
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