Progresiones aritméticas

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Término general de una progresión aritmética
3 Suma de términos de una progresión aritmética
4 Ejercicios

Definición

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, $d\;\!$ , que llamaremos diferencia.

Por ejemplo:

es una progresión aritmética con diferencia d=4.

Término general de una progresión aritmética

Término general de una progresión aritmética

Sean $a_1, a_2, a_3, ..... \;\!$ términos de una progresión aritmética de diferencia $d\;\!$ .

Entonces, se cumple que:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración:

En efecto, razonando por inducción:

$a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + d + d = a_1 + 2 \cdot d \;\!$

$a4 = a3 + d = a1 +2d + d = a_1 + 3 \cdot d \;\!$

........................

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Actividad Interactiva: Progresiones aritméticas

Actividad 1: Ejercicios de autoevaluación sobre progresiones aritméticas.

Actividad:

Pulsa "Nuevo" para que aparezcan otras progresiones.

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Suma de términos de una progresión aritmética

Suma de términos de una progresión aritmética

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es:

$S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}$

Demostración:

El porqué de esta fórmula se deduce de la siguiente historia:

En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse.

Pero... una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.

Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüss. Fue uno de los mas grandes matemáticos.

Intenta enterarte de algo más sobre él.

Gauss y el ajedrez

Ejercicios

Problemas

1. Comprueba que las sucesiones siguientes son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia y el término general de cada una de ellas.

a) 1, -1, -3, -5, -7,.... b) 2, 5, 8, 11, 14,.... c) -7, -5, -3, -1, 1,...

Solución:

$a) \quad a_n=-2n+3 \qquad b)\quad a_n=3n-1 \qquad c)\quad a_n=2n-9$

2. Si $a_1=0\;\!$ y $d = 3\;\!$ , en una progresión aritmética, ¿cuánto vale $a_8\;\!$ ?

Solución:

$a_n=3n-3; \qquad a_8=21$

3. Si $a_{10}=14\;\!$ y $d = -2\;\!$ , calcular $a_1\;\!$ .

Solución:

$14=1_1+(10-1).(-2); \qquad a_1=32$

4. Al excavar tierra para hacer un túnel se pagan 700€ por el primer metro y 95€ de aumento por cada metro sucesivo. ¿Cuánto se pagará por el décimo metro excavado? Calcular el total abonado por los 10 metros excavados.

Solución:

$a_{10}=1555; \qquad S_{10}=\frac{(700+1555).10}{2}=11275$