Números racionales: Operaciones

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Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones:

Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
Si tienen distintos denominadores, primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.

Ejemplo: Suma y resta de fracciones

Calcula: $\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}$

Solución:

Primero reducimos a común denominador. Para ello, calculamos el m.c.m. de los denominadores: $m.c.m.(4, 6, 2)=12\;\!$ .

$\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}=\cfrac{9}{12} + \cfrac{8}{12} - \cfrac{6}{12}=$

Luego sumamos o restamos los númeradores, dejando el mismo denominador:

$=\cfrac{9+8-6}{12}=\cfrac{11}{12}$

Actividad Interactiva: ''Suma y resta de fracciones

Actividad 1: Aprende a sumar y restar fracciones.

Actividad:

Cuando tenemos juntas sumas y restas seguimos el mismo proceso que si tuviéramos solamente sumas.

Para sumar y restar fracciones es necesario que tengan todas el mismo denominador. Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas. Para ello se siguen estos pasos:

Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone de denominador de cada una.
Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número por el denominador de una fracción y se multiplica por el numerador.
Finalmente se suman y restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
Si se puede se simplifica.

En esta escena puedes ver el proceso paso a paso, pulsando sobre el triángulo azul.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad 2: Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones.

Actividad:

Realiza en papel aparte estas operaciones y luego marca aquí su resultado.

Marca primero su numerador, pulsa intro, luego marca su denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. Esta actividad no permite rectificaciones, por eso no emplees los triángulos para variar el número marcado.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad: Suma y resta de fracciones

Efectúa las siguientes operaciones:

a) $\cfrac{1}{4} + \cfrac{5}{6} + \cfrac{3}{8}$

b) $\cfrac{11}{15} - \cfrac{7}{12} + \cfrac{3}{20}$

c) $2-\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{6}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 1/4+5/6+3/8

b) 11/15-7/12+3/20

c) 2-1/2+1/3-1/6

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones, se pone como numerador, el producro de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

$\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$

No obstante, es conveniente simplificar los numeradores entre los denominadores antes de efectuar los productos.

Ejemplo: Producto de fracciones

Calcula: $\cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}$

Solución:

Multiplicamos numeradores y denominadores, simplificando antes de efectuar el producto:

$\cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}=\cfrac{10\cdot4\cdot8}{6\cdot6\cdot5}=\cfrac{16}{9}$

Actividad Interactiva: ''Producto de fracciones

Actividad 1: Aprende a multiplicar fracciones.

Actividad:

Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a común denominador, se multiplican directamente.

Multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador, multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador. A continuación se simplifican.

No obstante, es conveniente simplificar antes de multiplicar.

En esta escena puedes ver el proceso paso a paso, pulsando sobre el triángulo azul.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad 2: Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones.

Actividad:

Realiza en papel aparte estas operaciones y luego marca aquí su resultado.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.

Actividad: Multiplicación de fracciones

Efectúa las siguientes operaciones:

a) $\cfrac{2}{5} \cdot \cfrac{10}{12}$

b) $\cfrac{11}{14} \cdot \cfrac{21}{22} \cdot \cfrac{2}{3}$

c) $\cfrac{15}{28} \cdot \cfrac{21}{18}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 2/5*10/12

b) 11/14*21/22*2/3

c) 15/28*21/18

Inversa de una fracción

Dada una fracción $\cfrac {a}{b}\ ,\quad a,b \ne 0$ , su inversa es la fracción $\cfrac {b}{a}$ .

Por ejemplo, la inversa de $\cfrac {3}{5}$ es $\cfrac {5}{3}$ .

Actividad Interactiva: Inversa de una fracción

Actividad 1: Halla la fracción inversa de una fracción.

Actividad:

La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad.

La fracción que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de ella, es su fracción inversa. Lógicamente, si una fracción es inversa de otra, también son sus inversas todas las equivalentes a esa. La fracción de valor 0 es la única que no tiene inversa.

Marca la fracción inversa, para ello debes marcar primero el numerador, pulsar intro, después el denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. Esta actividad no admite rectificaciones, por eso no puedes utilizar los triángulos para variar los números marcados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

División de fracciones

Para dividir dos fracciones, se pone como numerador, el producro del primer numerador por el segundo denominador, y como denominador, el producto del primer denominador por el segundo numerador.

$\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$

No obstante, es conveniente simplificar antes de efectuar los productos.

Ejemplo: Cociente de fracciones

Calcula: $\cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}$

Solución:

Multiplicamos en cruz, simplificando antes de efectuar el producto:

$\cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}=\cfrac{6 \cdot 15}{5 \cdot 4}= \cfrac{9}{2}$

Actividad Interactiva: Cociente de fracciones

Actividad 1: Aprende a dividir fracciones.

Actividad:

Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Una fracción se puede dividir por cualquier otra, menos por la fracción 0.

Haz la división en tu cuaderno y luego comprueba el resultado, viendo el desarrollo paso a paso. Para ello pulsa la flecha azul.

Click aquí si no se ve bien la escena

Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.

Actividad: División de fracciones

Efectúa las siguientes operaciones:

a) $\cfrac{12}{5} : \cfrac{6}{10}$

b) $\cfrac{21}{10} : \cfrac{15}{14}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) (12/5)/(6/10)

b) (21/10)/(15/14)

Ejercicios: División de fracciones

1. Efectúa las siguientes operaciones:

a) $\cfrac{12}{5} : \cfrac{6}{10}$ b) $\cfrac{21}{10} : \cfrac{15}{14}$

Solución:

a) $4\,$ b) $\frac{49}{25}$

La fracción como operador

Para calcular una fracción $\cfrac {a}{b}$ de una cantidad $C\;\!$ , procederemos multiplicando la fracción por la cantidad $C\;\!$ :

$P=\cfrac {a}{b} \cdot C$

Ejemplo: La fracción como operador

De una herencia de 27 millones de euros, María recibe las tres quintas partes, su hermano Ramón, la mitad del resto, y su hermana Matilde, lo que queda.

a) ¿Qué fracción le corresponde a cada uno?

b) Calcula cuánto se lleva cada uno.

Solución:

a) Calculamos la fracción que se cada uno:

María recibe: $\cfrac{3}{5}$
Ramón recibe: $\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2}{5}=\cfrac{1}{5}$
Matilde recibe: $1-(\cfrac{3}{5}+\cfrac{1}{5})=1-\cfrac{4}{5}=\cfrac{1}{5}$

b) Calculamos cuántos euros se lleva cada uno:

María recibe: $\cfrac{3}{5} \cdot 27=\cfrac{3 \cdot 27}{5}=\cfrac{81}{5}$ millones de €
Ramón recibe: $\cfrac{1}{5} \cdot 27=\cfrac{27}{5}$ millones de €
Matilde recibe: $\cfrac{1}{5} \cdot 27=\cfrac{27}{5}$ millones de €

Ejercicios

Actividad: Operaciones con fracciones

Efectúa las siguientes operaciones:

a) $\left ( \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} \right ) - \left ( \cfrac{3}{4} - \cfrac{1}{6} \right )$

b) $1+\cfrac{7}{6} \cdot \cfrac{-2}{14}$

c) $\left ( \cfrac{3}{5}-\cfrac{2}{6} \right ):\cfrac{3}{15}$

d) $\cfrac{1}{2}-\cfrac{5}{6}:\cfrac{10}{2}+\cfrac{5}{12}: \left ( \cfrac{5}{4} +1\right )$

e) $\cfrac{\cfrac {1}{3}-\left ( \cfrac{3}{4}-\cfrac{2}{6}+1 \right )}{2+\cfrac {2}{3}}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) (1/2+1/3)-(3/4-1/6)

b) 1+(7/6)*(-2/14)

c) (3/5-2/6)/(3/15)

d) 1/2-(5/6)/(10/2)+(5/12)/(5/4+1)

e) (1/3-(3/4-2/6+1))/(2+2/3)

Problemas: La fracción como operador

1. El aire es una mezcla de gases. En la capa más próxima a la superficie de la Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones: $\cfrac{3}{4}$ de nitrógeno, $\cfrac{1}{5}$ de oxígeno, $\cfrac{3}{10000}$ de anhídrido carbónico y el resto son gases nobles. Halla cuántos litros de cada uno de estos gases se encuentran en 1 $m 3$ de aire.

Solución:

Nitrógeno = 750 l.; oxígeno = 200 l.; anhídrido carbónico = 0,3 l.; g. nobles = 49,7 l.

2. La sangre humana se compone de $\cfrac{9}{20}$ de corpúsculos (glóbulos rojos,glóbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que la sangre de una persona constituye aproximadamente $\cfrac{1}{14}$ de su masa, ¿cuánto pesan los corpúsculos sanguíneos de un individuo de 77 kg?

Solución:

$77\cdot \frac{1}{14}\cdot \frac{9}{20}= \frac{693}{280}= 2,475 \ kg$

3. Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas más que en el B. Sabiendo que en el B se encuentran los $\cfrac{7}{22}$ del total, ¿cuántas personas hay en la colonia?

Solución:

880 personas; ya que 1/22 del total son 40 personas

4. En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte claveles y el resto son tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 $m 2$ y en cada metro cuadrado hay 200 flores, ¿cuántas rosas blancas se recogerán?

Solución:

$720 \cdot 200 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}= 6000$

5. En un congreso internacional, $\cfrac{3}{8}$ de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son europeos ni americanos. ¿Cuántos congresistas hay?

Solución:

168 personas ya que 7/24 del total son 49 personas.

6. Disponemos de tres grifos para llenar un depósito. El primero lo llena en 3 horas, el segundo en 4 horas, y el tercero, en 6. Si se abren los tres a la vez, ¿cuánto tardarán en llenar el depósito?

Solución:

Los tres a la vez llenan los 3/4 del depósito en una hora, luego tardan 1 h. 20 m.

7. La diferencia entre los $\cfrac{4}{5}$ y los $\cfrac{2}{3}$ de un número es igual a 8. ¿Cuál es ese número?

Solución:

8. Si se unen dos cables eléctricos, se obtiene un cable de 440 m. Si sabemos que uno mide los $\cfrac{4}{7}$ del otro, ¿cuál es la longitud de cada cable?

Solución:

160 m. y 280 m.

9. Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan la cuarta parte, los puerros los dos quintos, y las zanahorias, el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 $m 2$ a la de las zanahorias. ¿Cuál es la extensión del huerto?

Solución:

600

m 2

ya que 1/20 del huerto mide 30

m 2

10. Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000 € y nos hemos comprometido a pagar 250 € al mes. Después de 24 meses hemos pagado los $\cfrac{5}{8}$ del precio total. Calcula el precio del apartamento.

Solución:

48000 €

Problemas: Fraciones

1. Los $\cfrac{4}{7}$ de una pieza de tela cuestan 52 €, y el resto mide 6 metros. Calcula la longitud total y el precio total de la pieza.

Solución:

2. En cierto país trabajan $\cfrac{2}{5}$ de la población. De los trabajadores, $\cfrac{1}{4}$ se dedica a la construcción, $\cfrac{3}{25}$ a la industria, $\cfrac{2}{5}$ al sector servicios, y el resto a la agricultura.