Números racionales (3ºESO Académicas)

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(pág. 12-13)

Tabla de contenidos

1 Números naturales
2 Números enteros
3 Números racionales
- 3.1 Representación de fracciones en la recta numérica
4 Simplificación de fracciones
5 Fracciones equivalentes
6 Ejercicios

Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Advertencia:

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero (0) puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de las matemáticas, el conjunto de los números naturales puede incluir o no al cero.

Ejemplos

Veamos distintos ejemplos de uso de los números naturales:

Como número cardinal: Los días de la semana son 7.
Como número ordinal: El atleta británico quedó 3º en la prueba de cien metros lisos.
Como identificador: Tú número de carnet de socio del Atleti es el 2868.

Los números naturales

Tutorial 1 (3'08") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 2 (4'56") Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 3 (4'19") Sinopsis:

Tutorial de introducción al tema:

Números naturales.
Sistemas de numeración.
Sistema de numeración decimal.

Acertijo (2'06") Sinopsis:

Hace unas horas tenía 16 años y el año que viene cumpliré 19. ¿Cómo explicas esta situación?

Los números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números naturales.

¿Qué números aparecieron primero, los cardinales o los ordinales?

Existen dos teorías sobre el origen de la numeración, que además está relacionada con la cuestión de qué números aparecieron primero, los cardinales (1, 2, 3,...) o los ordinales (1º, 2º, 3º,...) La teoría que genera más consenso defiende el argumento de la necesidad. Todo habría comenzado a causa de la necesidad de contar objetos; por ello se habrían creado primero los números cardinales y después, los ordinales.

La otra teoría defiende la base espiritual de los números, que habrían tenido un uso ritual: cierto tipo de ceremonias requerían que los participantes se desplazaran o se situaran en un orden ritual preestablecido; por eso los números ordinales serían anteriores a los cardinales. Esta teoría además postula que los números se originaron en un lugar geográfico determinado, desde el que se propagaron al resto del mundo; también establece la división de los números naturales en pares e impares, considerando los impares masculinos y los pares, femeninos, una clasificación que comparten hoy en día muchas culturas del planeta.

(Extracto de "El mundo es matemático: Del ábaco a la revolución industrial". Pág. 10)"

El género de los números y otras curiosidades

Véanse los artículos de la BBC:

Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Nos vemos obligados a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros

$\mathbb{Z}=\left \lbrace -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$

Está formado por:

El conjunto de los números naturales o enteros positivos : $\mathbb{Z}^+=\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace$ .
Sus opuestos, los enteros negativos: $\mathbb{Z}^-=\left \lbrace \cdots, -1 ,\ -2,\ -3, \cdots \right \rbrace$ .
El cero (0).

Como consecuencia, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ , que se lee: "el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros".

Números naturales, números enteros y la recta numérica

Tutorial 1 (3'24") Sinopsis:

Los números enteros: utilidad y definición.

Tutorial 2 (3'37") Sinopsis:

Los números enteros: utilidad y definición.

Tutorial 3a (10'19") Sinopsis:

En este video vamos a ver lo que son los números enteros y también las clases de números enteros que hay, es decir, números enteros positivos y números enteros negativos, además del cero.

Tutorial 3b (5'03") Sinopsis:

El conjunto de los números enteros. El subconjunto de los números enteros positivos, el de los negativos y el cero. Representación y notación.

Tutorial 4 (5'48") Sinopsis:

El conjunto de los números enteros. Utilidad. Representación y operaciones en la recta numérica.

Tutorial 5 (8'58") Sinopsis:

Las criaturas o entes llamados números no exixten realmente: nadie ha visto jamás un número, ya sea famoso (como el representado por el símolo 5 y llamado cinco) o no. Los números sólo exixten a la luz de la inteligencia humana. Existen en la medida en que nos son útiles. Los Números Naturales son todos enteros y positivos. Son muy útiles para contar, pero tienen sus limitaciones, de manera que hubo que inventar otro tipo de números...

Tutorial 6 (10'58") Sinopsis:

Number systems evolved from the natural "counting" numbers, to whole numbers (with the addition of zero), to integers (with the addition of negative numbers), and beyond. These number systems are easily understood using the number line.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Tutorial 7 (4'13") Sinopsis:

Utilidad de números negativos en la vida real. El conjunto de los números enteros. Representación en la recta numérica.

Números racionales

Los números enteros son útiles para contar u ordenar objetos, pero hay veces en las que es necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la tercera parte, etc. Estas medidas se expresan por medio de fracciones.

Una fracción es una expresión de la forma $\frac{a}{b}\;$ , o bien, $a/b\;$ , donde $a\;$ y $b\;$ son números enteros, siendo $b \ne 0 \;$ .

Al número $a\;$ lo llamaremos numerador y al número $b\;$ , denominador.

Observación:

Una fracción se puede interpretar como una cantidad determinada de porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales:

El denominador sirve para representar las partes en que se divide la unidad.

El numerador sirve para representar las porciones que tomamos.

El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador. Según su valor, una fracción pueden ser:

Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.

Observación:

Esta definición nos da otra forma de interpretar a una fracción, ya que nos permite verla como una "división indicada" en las que el dividendo es el numerador y el cociente el denominador.

Fracciones

Tutorial 1 (19'26") Sinopsis:

Tutorial que explica el concepto de fracción y su representación gráfica, en partes de la unidad y en la recta numérica.

00:00 a 04:14: Conceptos básicos. Ejemplos introductorios.
04:14 a 05:38: Definición matemática de fracción.
05:38 a 09:45: Representación de fracciones como partes de la unidad (Ejemplos).
09:45 a 19:26: Representación de fracciones en la recta numérica (Ejemplos).
11:25 a 13:45: Aplicación del Teorema de Tales para la división de segmentos en partes iguales.

Tutorial 2 (13'06") Sinopsis: