Números racionales: Definición

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Fracciones y números racionales

Los números enteros son útiles para contar u ordenar objetos, pero hay veces en las que es necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la tercera parte, etc. Estas medidas se expresan por medio de fracciones.

  • Una fracción se expresa de la forma  \cfrac {a}{b} \, ,  con  a,b \in \mathbb{Z} , \, b \ne 0, donde a\;\! se llama numerador y b\;\! denominador.
    • El denominador indica las partes iguales en que se divide la unidad.
    • El numerador indica las partes que tomamos de dicha división.
  • El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador.
  • Una fracción puede ser:
    • Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
    • Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.

El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace

Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}

Fracciones propias e impropias

  • Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor es menor que 1.
  • Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Su valor es mayor que 1.

ejercicio

Actividades Interactivas: Fracciones propias e impropias


    Separa las fracciones propias de las impropias.

Fracción en forma mixta

Una fracción se dice que está en forma mixta si está expreada com suma de un entero y una fracción propia.

ejercicio

Proposición: Expresar una fración impropia en forma mixta


Toda fracción impropia se puede escribir en forma mixta:

\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}

donde c\;\! es el cociente y r\;\! es el resto de la división de D\;\! entre d\;\!.

Calculadora

Calculadora: Fracciones impropias


Para convertir una fracción impropia a forma mixta (suma de un número entero y una fracción menor que la unidad), usaremos la tecla Fracción.

Representación de fracciones en la recta numérica

ejercicio

Actividades Interactivas: Representación de fracciones en la recta numérica


    Haz en tu cuaderno la representación de las siguientes fracciones en la recta numérica:

\cfrac {3}{5}\, , \ \cfrac {7}{2}\, , \ -\cfrac {8}{3}\, , \ -\cfrac {4}{7}\, , \ \cfrac {1}{10}\, , \ \cfrac {14}{4}

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.

ejercicio

Obtención de fracciones equivalentes a una dada


Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador por un mismo número, se obtienen fracciones equivalentes. Por tanto, toda fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella.

ejercicio

Comprobación de que dos fracciones son equivalentes


Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.

\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c


ejercicio

Actividades Interactivas: Fracciones equivalentes


Actividad 1: Busca una fracción equivalente a la dada.
Actividad 2: Comprueba si dos fracciones son equivalentes o no (Método de los productos cruzados).
Actividad 3: Junta las fracciones equivalentes.

wolfram

Actividad: Fracciones equivalentes


a) ¿Son equivalentes las fracciones: \cfrac{124}{360} y \cfrac{31}{90}?

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

  • Simplificar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente con numerador y denominador menores que los de partida.
  • Para simplificar una fracción debemos dividir numerador y denominador por un mismo número, distinto de 1.
  • Este proceso se puede repetir hasta que ya no encontremos más divisores comunes distintos de 1, en cuyo caso, la fracción así obtenida se dice que es irreducible.

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Actividades Interactivas: Simplificación de fracciones


Actividad 1: Simplifica las fracciones.
Actividad 2: Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible.

wolfram

Actividad: Simplicar fracciones


a) Simplifica \cfrac{140}{26}.

Orden en el conjunto de los racionales

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Ordenar fracciones


  • De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador.
  • Para ordenar fracciones con distinto denominador debemos primero reducirlas a común denominador.

Veamos un ejemplo:

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Ejemplo: Ordenar fracciones


Ordena las fracciones:
\cfrac{3}{5}\ ,\quad \cfrac{2}{4}\ ,\quad\cfrac{7}{10}

ejercicio

Actividad Interactiva: Ordenar fracciones


Actividad 1: Ordena de menor a mayor estas fracciones.

wolfram

Actividad: Ordenar fracciones


a) Ordena de menor a mayor las fracciones: \cfrac {5}{12} \; , \ \cfrac{3}{6} \; , \ \cfrac{5}{8} \; , \ \cfrac{1}{3}

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios: Fracciones equivalentes


1. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:

\cfrac {15}{20} \quad \cfrac{3}{5}\quad \cfrac{8}{16}\quad\cfrac{3}{4}\quad \cfrac{15}{25}\quad \cfrac{1}{2}\quad \cfrac{21}{28}

2. Simplifica las fracciones:

a) \cfrac{70}{14} b) \cfrac{300}{420} c) \cfrac{105}{60}

Herramientas personales
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